© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Het eerste bedrag geeft:  12u + 500k = 214,40
Het tweede bedrag geeft:  8u + 300k = 129,60
       
   
       
  Optellen geeft  100k = 40  dus k = 0,40
Dan is 8u = 129,60 - 300k = 129,60 - 300 • 0,40 = 9,60
Dus u = 1,20
       
2. Stel dat een bosi B meter is en dat een tra T meter is.
1,92 = 8B + 4T
1,60 = 6B + 5T
       
     
       
  Optellen geeft -8T = -0,64  dus  T = 0,08
Dan is 6B = 1,60 - 5T = 1,60 - 5 • 0,08 = 1,20 
Dus B = 0,20
Een bosi is 20 cm en een tra is 8 cm.
       
3. Stel dat de vader nu V jaar oud is en de zoon Z jaar.

Over 10 jaar is de vader dan V + 10 en de zoon Z + 10 en dan is de vader dubbel zo oud als de zoon.
Dus moet gelden  V + 10 = 2(Z + 10)
Herschrijven:  V = 2Z + 10

Als de zoon drie keer zo oud is als nu, dan is hij 3Z jaar oud en dat duurt nog 2Z jaar.
Dan is de vader  V + 2Z jaar oud geworden en dat is kennelijk 25 jaar ouder dan 3Z.
Dus moet gelden  V + 2Z = 3Z + 25

Vul de eerste vergelijking in deze tweede in:  2Z + 10 + 2Z = 3Z + 25
4Z + 10 = 3Z = 25
Z = 15 
Dan is  V = 2Z + 10 = 40
De vader is 40 en de zoon is 15.
       
4. Stel de totale lengte van het stuk waarover de wagentjes in elkaar passen x en het stuk dat uit blijft steken y
10 wagentjes hebben dan totale lengte x + 10y = 2,9
20 wagentjes hebben dan totale lengte x + 20y = 4,9

Die de tweede vergelijking MIN de eerste en je krijgt  10y = 2,0 dus y = 0,20
Dan is x = 2,9 - 10y = 2,9 - 2 = 0,9
De totale lengte van een wagentje is dan x + y = 0,20 + 0,9 = 1,10 m.
       
5. Noem de getallen x en y
Dan geldt  x + y = 60.

Als x 3 hoger is dan de helft van y, dan geldt  x = 0,5y + 3
invullen in de eerste vergelijking geeft  0,5y + 3 + y = 60
1,5y = 57
y = 38  en dan is x = 22
38 • 22 = 836
       
6. Noem het aantal spinnen S, het aantal vlinders V en het aantal muggen M
De vleugelvergelijking is dan   2V + M = 20
Het totale aantal geeft  V + M + S = 18
De potenvergelijking geeft 8S + 6V + 6M = 118

Maak van de eerste vergelijking  M = 20 - 2V en vervang M in de andere twee daardoor.

Dat geeft V + 20 - 2V + S = 18  ofwel  -V + S = -2
En ook 8S + 6V + 6(20 - 2V) = 118  ofwel  8S - 6V = -2

Maak van de eerste S = V - 2 en vul dat in in de tweede:  8(V - 2) - 6V = -2
8V - 16 - 6V = -2
2V = 14
V = 7

Dan is S = V - 2 = 5  en   M = 20 - 2V = 6
Er zijn 5 spinnen, 6 muggen en 7 vlinders.
       
7. Stel in 1980 de leeftijd van de vader V en die van de zoon Z.

Dat betekent in 1980  dat  V = 10Z + 6

In 1990 is de vader V + 10 en de zoon Z + 10 jaar oud.
Dan geldt  V + 10 = 3(Z + 10) + 7

Vul de eerste vergelijking in in de tweede vergelijking:  10Z + 6 + 10 = 3(Z + 10) + 7
10Z + 16 = 3Z + 37
7Z = 21
Z = 3
       
8. Stel dat Antoinette nu A jaar is, en haar opa O jaar.
Over drie jaar is opa dan O + 3 dus moet gelden  O + 3 = 6(A - 1)
Verder is O + A = 68.

Uit de tweede vergelijking volgt A = 68 - O en dat kun je invullen in de eerste:
O + 3 = 6(68 - O - 1)
O + 3 = 402 - 6O
7O = 399
O = 57  en dan is A = 11
       
9. Stel dat de kapitein nu K jaar is en het schip S.
Dan is K + S = 56

Toen de kapitein S was, is dus  K - S jaar geleden.
Dus toen was het schip  S - (K - S) = 2S - K jaar.
Dus geldt K = 2(2S - K)  ofwel  K = 4S - 2K  ofwel  3K = 4S

Maak van de eerste vergelijking S = 56 - K en vul dat in in de laatste:
3K = 4(56 - K)
3K = 224 - 4K
7K = 224
K = 32
Dan is S = 56 - 32 = 24
       
10. Noem het eerste getal uit de rij x en het tweede getal y
Dan wordt de rij;

x   y   (x + y)   (x + 2y)   (2x + 3y)   (3x + 5y)  (5x + 8y)

Het derde getal is 8, dus  x + y = 8

Het laatste getal is 13 keer het eerste, dus  5x + 8y = 13x

Maak van de eerste vergelijking x = 8 - y en vul dat in in de tweede:  5(8 - y) + 8y = 13(8 - y)
40 - 5y + 8y = 104 - 13y
40 + 3y = 104 - 13y
16y = 64
y = 4  en dan is x = 8 - 4 = 4
De rij wordt:   4 - 4 - 8 - 12 - 20 - 32 - 52 - 84
Het volgende getal is dus 84
       
11. Stel dat V in totaal  x keer gelijk is aan 1 een y keer gelijk aan 2.

Dan is  x + y + 56  + 33 + 4 = 107   ofwel  x + y = 14    .....(1)

Verder is  1• x + 2 • y + 3 • 56 + 4 • 33 + 5 • 4 = 347,  ofwel  x + 2y = 27   .....(2)

Van de eerste vergelijking kun je maken  y = 14 - x  en vervolgens vul je dat in in de tweede vergelijking.
Dat geeft  x + 2(14 - x) = 27
-x = -1
Dus x = 1  en dan is y = 13
       
12. Stel s slagroompunten en m moorkoppen.
120s + 80m = 7120
2s + 2,5m = 156

Uit de tweede volgt  s = 78 - 1,25m  en dat kun je invullen in de eerste:
120(78 - 1,25m) + 80m = 7120
9360 - 150m + 80m = 7120
70m = 2240
m =  32  en dan is  s = 78 - 1.25 • 32 = 38
dus 32 moorkoppen en 38 slagroompunten
       
13. a. VI = 2,5 • 80 + 150t = 200 + 150t
VII = 3 • 80 + 125t + 75 = 315 + 125t

200 + 150t = 315 + 125t
25t = 115
t =  4,6 uur.
Bedrijf I is goedkoper voor tijden minder dan 4,6 uur
       
  b. 2,5a + 150t = 1385
3a + 125t + 75 = 1385

vermenigvuldig de bovenste met 6 en de onderste met 5:     15a + 900t = 8310  en   15a + 625t = 6550
trek ze van elkaar af:   275t = 1760
t = 6,4 uur  en dan is  a = 170 km
       
14. Stel de hoeveelheid gras die per dag per are groeit gelijk aan g  en de hoeveelheid gras die aan het begin per are op het weiland staat A
Dan eten 75 runderen  in 12 dagen een hoeveelheid  60A + 720g
per rund per dag is dat   60/900 • A + 720/900 • g

Dan eten 81 runderen in 15 dagen een hoeveelheid  72A + 1080g
per rund per dag is dat 72/1215 • A + 1080/1215 • g 

Dat moet gelijk zijn, en daaruit volgt:

900(72A + 1080g) = 1215(60A + 720g)
64800A + 972000g = 72900A + 874800
97200g = 8100A
A = 12g
per rund per dag is dat  60/900 • 12g + 720/900 • g  =  1,6 hoeveelheid gras

x runderen eten in 18 dagen 96 are leeg, dus     18 • 96g +  96A   hoeveelheid gras.
18 • 96g + 96 • 12g  = 2880g hoeveelheid gras
per dag is dat 160g hoeveelheid gras
met 1,6 per rund zijn dat dus 100 runderen.
       
15. Stel dat vader V euro geeft, en de oudste broer O en de jongste broer J
V = 1/2(J + O)
O = 1/3(V + J)
J = 10

de laatste invullen in de eerste twee:
V = 5 + 1/2O
O = 1/3V + 10/3

de bovenste invullen in de onderste
O = 1/3(5 + 1/2O) + 10/3
O = 5/3 + 1/6O + 10/3
5/6O = 5
O = 6
Dan is V = 8  en  J = 10
Samen geeft dat 24 euro.
       
16. Noem de zijden a, b en c
ab = 10
bc = 15
ac = 24

uit (1) volgt  b = 10/a
uit (2) volgt c = 24/a
Deze twee invullen in (3)  geeft:  10/a • 24/a = 15
240 = 15a2   
a = 4 en dan is b = 2,5  en  c = 6
De inhoud is  4 • 2,5 • 6 = 60 cm3
       
17. P = (1.4, 0) geeft  a(1,4 + b + c/1,4) = 0  dus   1,4 + b + c/1,4 = 0
Q = (12, 0) geeft   a(12 + b + c/12) = 0 dus   12 + b + c/12
De eerste geeft  b = -1,4 - c/1,4 en dat kun je invullen in de tweede:
12 - 1,4 - c/1,4 + c/12  = 0
10,6 - 0,6309...c = 0
c = 16,8
Dan is b = -1,4 - c/1,4  = -13,4
T = (4.1, 2.4)  geeft dan  2,4 = a(4.1 - 13,4 + 16,8/4,1)
2,4 = -5,20...a
a = -0,46
a ≈ -0,5
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)