© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. a. 2x2 + 3x + p = 0  heeft precies één oplossing als D = 0
D = 32 - 4•2•p = 9 - 8p
9 - 8p = 0  geeft  p = 9/8 		 
       
  b. ax2 + 3x - 6  heeft geen oplossingen als D < 0
D = 32 - 4•a•-6 = 9 + 24a
9 + 24a = 0 als a = -9/24
9 + 24a < 0 als a < -9/24		  
       
  c. -2x2 + px + 4  heeft twee oplossingen als D > 0
D = p2 - 4•-2•4  = p2 + 32
Dat is altijd groter dan nul, want p2  is altijd positief.		  
       
2. Voor het snijpunt geldt:    y = 2x - 3  én   x2 + y2 = r2
Vul de eerste in de tweede in:  x2 + (2x - 3)2 = r2
x2 + (2x - 3)(2x - 3) = r2
x2 + 4x2 - 12x + 9 = r2
5x2 - 12x  + 9 - r2 = 0
Dat heeft twee oplossingen als D > 0
D = 122 - 4•5•(9 - r2) > 0
144 - 180 + 20r2 > 0
20r2 > 40
r2 > 2
r > √2  of  r < -√2
       
3. a. Ze raken elkaar als ze één snijpunt hebben
2x + p =  4x - x2  moet dus één oplossing hebben
x2 - 2x + p = 0  moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
D = (-2)2- 4•1•p = 0
4 - 4p = 0
p = 1
       
  b. Ze raken elkaar als ze één snijpunt hebben
2x2 + 3x + p   = -x2 + 4x + 6   moet één oplossing hebben
3x2 - x + p - 6  = 0  moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
(-1)2 - 4•3•(p - 6) = 0
1 - 12p + 24 = 0
12p = 25
p = 25/12 
       
  c. Ze raken elkaar als ze één snijpunt hebben
4x2 + px + 13 = x + 4  moet één oplossing hebben
4x2 + x(p - 1) + 9 = 0  moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
(p - 1)2 - 4•4•9 = 0
(p - 1)2 = 144
p - 1 = 12 ∨  p - 1 = -12
p = 13  ∨  p = -11		  
       
4. a. Ze raken elkaar als ze één snijpunt hebben
2x - a  = ax2 + 5   moet één oplossing hebben
ax2 - 2x + 5 + a = 0  moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
(-2)2 - 4•a•(5 + a) = 0
4 - 20a - 4a2 = 0
a2 + 5a - 1 = 0
ABC-formule:  D = 52 - 4•1•-1 = 29
a = (-5 ± √29)/2  = -21/2  ± 1/2√29
       
  b. Ze raken elkaar als ze één snijpunt hebben
-5x2 + 2x + a =  2x2 + ax + 23  moet één oplossing hebben
0 = 7x2 + x(a - 2) + (23 - a)  moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
D = (a - 2)2 - 4•7•(23 - a) = 0
a2 - 4a + 4 - 644 + 28a = 0
a2 + 24a - 640 = 0
ABC-formule:  D = 242 - 4•1•-640 = 3136
a = (-24 ± √3136)/2 =  -12 ± 28 =  -40  of  16
       
5. Een lijn door de oorsprong heeft vergelijking y = ax
Die raakt de parabool als er één snijpunt is.
ax = x2 + 4  moet één oplossing hebben
x2 - ax + 4 = 0 moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
(-a)2 - 4•1•4 = 0
a2 - 16 = 0
a2 = 16
a = 4  ∨   a = -4
Het zijn de lijnen y = 4x en y = -4x
       
6. a. De lijn van het dak gaat door  (-1, 1) en (19, 11)
De helling is dan  (11 - 1)/(19 - - 1) = 10/20 = 0,5  dus de vergelijking is y = 0,5x + b
(-1, 1)  invullen: 1 = 0,5 • -1 + b  geeft  b = 1,5
Dat geeft de gevraagde vergelijking.
       
  b. Het grensgeval vinden we als de bal het dak raakt.
In dat geval heeft de vergelijking 0,5x + 1,5 = vx - (9,8/v²) • x2  één oplossing
 (9,8/v²) • x2  + x(0,5 - v) + 1,5  moet één oplossing hebben en dat is als D = 0
(0,5 - v)2 - 4•(9,8/v2)•1,5 = 0
0,25 - v + v2 - 58,8/v2 = 0
Y1 = 0,25 - X + X^2 - 58,8/(X^2)
calc - zero geeft X = v = 3,03
De bal komt niet tegen het dak als v < 3,03
       
7. a. Als oorsprong is het punt van loslaten gekozen.
De algemene formule van een parabool is  y = ax2 + bx + c
We weten als dat voor de vorm geldt  a = 1/20 = 0,05 
maar dan negatief want het is een bergparabool, dus a = -0,05
De parabool moet door (0, 2) gaan en invullen geeft c = 2
       
  b. Het dak is de lijn y = 12
Laten we het grensgeval berekenen waarbij de bal het dak net raakt.
Dan heeft  12 = -0,05x2 + bx + 2  precies één oplossing
-0,05x2 + bx - 10 = 0  heeft één oplossing als D = 0
b2 - 4•-0,05•-10 = 0
b2 - 2 = 0
b2 = 2
b = ±√2

b = √2 geeft vergelijking y = -0,05x2 + x√2 + 2 
De bal wordt gevangen bij y = 2 :   -0,05x2 + x√2 + 2  = 2
-0,05x2 + x√2 = 0
x(-0,05x + √2) = 0
x = 0  ∨  x = 20√2   Dus de afstand tussen beiden is 20√2 = 28,3 meter

(b = √2 geeft vergelijking y = -0,05x2 - x√2 + 2
Dat zou op dezelfde manier geven x = -20√2 dus dan gaat de bal naar links)
       
8. In het snijpunt met de x-as is y = 0, dus geldt  (x2 - 11x + c)•√x = 0
Dat geeft  √x = 0  Ú  x2 - 11x + c = 0
De eerste oplossing is de oorsprong.
De tweede vergelijking mag dus maar één oplossing hebben
Dat is zo als de discriminant ervan nul is:  b2 - 4ac = 112 - 4 • 1 • c = 0
Dat geeft  121 - 4c = 0 Þ  c = 301/4.
       
9. a. Vermenigvuldig alles met (x - 3)   (het geval x = 3 bekijken we straks wel)
Dat geeft x2 = p(x - 3) + 9
x2 =  px - 3p + 9
x2 - px + 3p - 9 = 0
Dat heeft geen oplossingen als  D < 0
(-p)2 - 4•1•(3p - 9) < 0
p2 - 12p + 36 < 0
los eerst op  p2 - 12p + 36 = 0
(p - 6)(p - 6) = 0
p = 6
Dit is dus een dalparabool die bij p = 6 de x-as raakt. Dus wordt hij nooit negatief en is altijd D ³ 0

Als x = 3 de oplossing van de kwadratische vergelijking is, zijn er ook geen oplossingen.
x = 3 invullen:
32 - 3p + 3p - 9 = 0  geeft 0 = 0 dus dat klopt altijd. Kennelijk is x = 3 voor elke p een oplossing.

Voor p = 6 is er maar één oplossing:  x2 - 6x + 9 = 0  geeft  x = 3  en dat mag niet!
Dus er is altijd een oplossing x ≠ 3  mits  p ≠ 6
       
  b. x2 - px + 3p - 9 = 0  is de vergelijking waaraan de oplossingen x moeten voldoen.
ABC-formule dan maar:
D = (-p)2 - 4•1•(3p - 9) = p2 - 12p + 36 = (p - 6)2
Dat geeft  x = (p ± (p - 6))/2 
De eerste oplossing is  x = (2p - 6)/2 = p - 3   en die mag, zolang p maar niet 6 is
De tweede oplossing is  x = 6/2 = 3  maar die mag niet.
Als p alle waarden aanneemt, dan doet p - 3 dat ook
De oplossingen kunnen dus alle waarden aannemen, behalve uiteraard x = 3
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)