© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. De oppervlakte is   lengte • breedte = (x + 3)(x + 4)
(x + 3)(x + 4) = 72
x2 + 3 + 4x + 12 = 72
x2 + 7x - 60 = 0
(x - 5)(x + 12) = 0
x = 5 ∨  x = -12
De tweede vervalt, dus x = 5
       
2. Alle hoeken in de figuur zijn 45º of 90º
Dat betekent dat alle driehoeken gelijkbenig zijn.

De lengtes zijn daarom zoals in de figuur hiernaast.

Oppervlakte terras is  x • (20 - x) = 20x - x2
20x - x2 = 96
0 = x2 - 20x + 96
0 = (x - 12)(x - 8)
x = 12  ∨   x = 8
       
3. a. Als p de prijs is, dan is 295 - p de prijsverlaging in centen
Dan is (295 - p)/5 = 59 - 0,2p  het aantal keer dat de prijs met 5 cent is verlaagd.
Het aantal porties is dan 120 + 8•(59 - 0,2p) = 592 - 1,6p
Omzet = aantal portie • prijs  = (592 - 1,6p)•p  = 592p - 1,6p2
       
  b. De grafiek, van O(p) is een parabool.
Nulpunten:  592p - 1,6p2 = 0
p(592 - 1,6p) = 0
p = 0  ∨  p = 370
Midden daar tussenin ligt de top, dus bij p = 185
O(185) = 592 • 185 - 1,6 • 1852 = 54760 centen dus  €547,60
       
  c. Winst = omzet - kosten  = (592p - 1,6p2)  - (140 • aantal porties)
W =  592p - 1,6p2 - 140(592 - 1,6p)
W =  592p - 1,6p2 - 82880 + 224p
W = -1,6p2 + 816p - 82880
Dat is een bergparabool met de top bij  p = -b/2a = -816/2•-1,6 = 255  dus een prijs van  €2,55
       
4. Stel de breedte van de paden x

Linkerfiguur:
Het gras is dan nog (8 - 2x) bij (6 - 2x) en heeft dus oppervlakte (8 - 2x) • (6 - 2x)
Dat moet de helft van de totale oppervlakte zijn, dus 0,5 • 8 • 6 = 24
24 =  (8 - 2x) • (6 - 2x)
24 = 48 - 16x - 12x + 4x2 
0 = 4x2 - 28x + 24
0 = x2 - 7x + 6
0 = (x - 6)(x - 1)
x = 6  ∨  x = 1
x = 6 kan in deze tuin niet, dus blijft over x = 1

Rechterfiguur:
Schuif de vier stukken gras tegen elkaar aan, dan heb je één rechthoek van (8 - x) bij (6 - x)
De oppervlakte daarvan moet weer 24 zijn.
(8 - x)(6 - x) = 24
48 - 8x - 6x + x2 = 24
x2 - 14x + 24 = 0
(x - 2)(x - 12) = 0
x = 2  ∨  x = 12
x = 12 kan in deze tuin niet, dus blijft over x = 2
       
5. Als AQ = x dan is QB = 5 - x
Alle zijden zijn in stukken x en (5 - x) verdeeld
De oppervlakte van een oranje driehoek is dan  0,5 • x • (5 - x)
Daar zijn er vier van, dus die hebben totale oppervlakte 4 • 0,5 • x • (5 - x)
Trek dat van het hele vierkant af, en je houdt de oppervlakte van PQRS over:
25 - 4 • 0,5 • x • (5 - x) = 17
25 - 2x(5 - x) = 17
25 - 10x + 2x2 = 17
2x2 - 10x + 8 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 4)(x - 1) = 0
x = 4  ∨  x = 1
       
6. a. Voor het aantal leden geldt:   L = 320 + 12t
Voor de contributie geldt:  C = 130 + 4t
Inkomsten = L • C = (320 + 12t) • (130 + 4t)
I = 41600 + 1280t + 1560t + 48t2
I = 48t2 + 2840t + 41600		  
       
  b.  48t2 + 2840t + 41600 = 100000
 48t2 + 2840t - 58400 = 0
ABC formule dan maar.
D = 28402 - 4 • 48 • -58400 = 19278400
t = (-2840 ±√19278400)/(2•48) = (-2840 ± 4390,72)/96  = -75,3  of  16,2
Dat laatste is de juiste oplossing dus voor het eerst meer, dat zal zijn in 2017
       
7. a. Laten we de kubus in verticale vlakken snijden. Daar zijn er dan n + 1 van

De voorkant heeft (n + 1)2 stippen en de achterkant ook.

Daartussenin staan nog n - 1 verticale vlakken, waarvan alle punten op de omtrek een stip zijn.
Een vierkant van n bij n heeft op de omtrek  4•(n + 1) - 4 stippen staan, immers elk zijde heeft n + 1 stippen, maar dan tellen we de 4 hoeken dubbel. Dat zijn 4•(n + 1) - 4  = 4n + 4 - 4 = 4n stippen

Het totaal aantal is dan   2• (n + 1)2  + (n - 1)4n
= 2(n2 + 2n + 1) + 4n2 - 4n
= 2n2 + 4n + 2 + 4n2 - 4n
= 6n2 + 2
       
  b. 1000000 = 6n2 + 2
6n2 = 999998
n2 = 1666662/3
n = √1666662/3  = 408, 25
Voor het eerst meer dan een miljoen zal dus zijn bij n = 409		  
       
  c. Nummer n heeft 6n2 + 2 stippen

Nummer n - 1 heeft  6(n - 1)2 + 2 stippen
6(n - 1)2 + 2  = 6(n2 - 2n + 1) + 2
= 6n2 - 12n + 6 + 2
= 6n2 - 12n + 8

De toenamen van nummer n - 1 naar nummer n is dan   (6n2 + 2) - (6n2 - 12n + 8)
= 6n2 + 2 - 6n2 + 12n - 8
= 12n - 6

12n - 6 = 1000
12n = 1006
n = 83,8 dus meer dan 1000 voor het eerst bij n = 84
       
8. Stel dat x passagiers zich extra aanmelden.
Dan zijn er in totaal 30 + x passagiers.
De prijs is dan  320 - 5x
De inkomsten zijn  I = aantal • prijs = (30 + x)(320 - 5x)
I = 9600 - 150x + 320x - 5x2
I = -5x2 + 170x + 9600

Dat is een bergparabool met de top bij  x = -170/(2 • -5) = 17
Dus bij 30 + 17 = 47 passagiers zijn de inkomsten maximaal
       
9. Stel dat het vierkant x bij x is.
Dan is het nieuwe vierkant  (x - 6) bij (x + 3)
(x- 6)(x + 3) = 70
x2 - 6x + 3x - 18 = 70
x2 - 3x - 88 = 0
(x - 11)(x + 8) = 0
x = 11  x = -8
Het vierkant was dus 11 bij 11
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)