|
|||||
| 1. | a. | y = -2x2 + 28x
+ 8 xT = -28/-4 = 7 yT = -2 • 72 + 28 • 7 + 8 = 106 de top is (7, 106) |
|||
| b. | 5x2 + 60x
- 125 xT = -60/10 = -6 yT = 5 • (-6)2 + 60 • -6 - 125 = -305 de top is (-6, -305) |
||||
| c. | x2 - 12x
+ 4 xT = 12/2 = 6 yT = 62 - 12 • 6 + 4 = -32 de top is (6, -32) |
||||
| d. | y = 0,5x2 - 4x
+ 1 xT = 4/1 = 4 yT = 0,5 • 42 - 4 • 4 + 1 = -7 de top is (4, -7) |
||||
| 2. | y
= 2x2 + px + q xT = -p/4 = -3 dus p = 12 y = 2x2 + 12x + q top invullen: 20 = 2 • (-3)2 + 12 • -3 + q 20 = 18 - 36 + q q = 38 |
||||
| 3. | y = -2x2
+ ax + 1 De top is xT = -a/-4 = 0,25a yT = -2(0,25a)2 + a• 0,25a + 1 = 9 -0,125a2 + 0,25a2 = 8 0,125a2 = 8 a2 = 64 a = 8 ∨ a = -8 |
||||
| 4. | y = 3x2
+ px - 6 xT = -p/6 = -1/6p yT = 3(-1/6p)2 + p • -1/6p - 6 yT = 3 • 1/36p2 -1/6p2 - 6 yT = -1/12p2 - 6 yT = xT - 8 geeft dan -1/12p2 - 6 = -1/6p- 8 0 = 1/12p2 -1/6p - 2 vermenigvuldig met 12: p2 - 2p + 24 = 0 (p - 6)(p + 4) = 0 p = 6 ∨ p = -4 p = 6 geeft xT = -1 en yT = -9 dus de top is dan (-1, -9) p = -4 geeft xT = 2/3 en yT = -71/3 dus de top is dan (2/3 , -71/3) |
||||
| 5. | y =
ax2 + x + a xT = -1/2a yT = a (-1/2a)2 - 1/2a + a = 0 a • 1/4a2 - 1/2a + a = 0 1/4a - 1/2a + a = 0 -1/4a + a = 0 vermenigvuldig nu alles met 4a -1 + 4a2 = 0 4a2 = 1 a2 = 1/4 a = ±1/2 a = 1/2 geeft xT = -1 en de top (-1, 0) a = -1/2 geeft xT = 1 en de top (1, 0) |
||||
| 6. | y = px2
+ 2x + 2q xT = -2/2p = -1/p yT = p • (-1/p)2 + 2 • -1/p + 2q yT = 1/p - 2/p + 2q = -1/p + 2q dus de top is (-1/p , -1/p + 2q) y = 8x2 + px + q xT = -p/16 = -1/16p yT = 8(-1/16p )2 + p • -1/16p + q yT = 1/32p2 - 1/16p2 + q = -1/32p2 + q dus de top is (-1/16p , -1/32p2 + q) Als die toppen gelijk zijn, dan moet gelden: -1/p = -1/16p en -1/p + 2q = -1/32p2 + q Uit de eerste vergelijking volgt (vermenigvuldig alles met -16p): 16 = p2 dus p = 4 p = -4 De tweede vergelijking geeft dan: Voor p = 4: -1/4 + 2q = -1/2 + q ⇒ q = -1/4 Voor p = -4: 1/4 + 2q = -1/2 + q ⇒ q = -3/4 |
||||
| 7. | a. | x = p snijden met
y = 2x- 1 geeft y = 2p - 1
en snijpunt (p, 2p - 1) y = 2p - 1 snijden met y = 4 - x geeft 2p - 1 = 4 - x ⇒ x = 5 - 2p en snijpunt (5 - 2p, 2p - 1) De breedte van de rechthoek is dan (5 - 2p) - p = 5 - 3p en de breedte is 2p - 1 De oppervlakte is (5 - 3p)(2p - 1) = 10p - 5 - 6p2 + 3p = -6p2 + 13p - 5 |
|||
| b. | -6p2
+ 13p - 5 is een bergparabool met top xT
= -13/-12
= 13/12 maximum is yT = -6(13/12)2 + 13 • 13/12 - 5 = 49/24 (2,041666..) |
||||
| 8. | a. | Bij x = p hoort
y = 4 - 1,5p en dat is de hoogte van de rechthoek. De oppervlakte is dan p • (4 - 1,5p) = 4p - 0,5p2 |
|||
| b. | De top van de parabool is
xT = -4/-1 = 4 Dan is y = 4 • 4 - 0,5 • 42 = 16 - 8 = 8 |
||||
| c. | 4p - 1,5p2
= 2,66 -1,5p2 + 4p - 2,66 = 0 ABC formules geeft dan D = 42 - 4•-1,5 • -2,66 = 0,04 Dan is p = (-4 ± 0,2)/-3 p = 1,4 ∨ p = 19/15 |
||||
| 9. | a. | y = -4x2
+ px + 1 xT = -p/-8 p = 8xT y = -4x2 + 8x • x + 1 y = 4x2 + 1 |
|||
| b. | y = 2x2 - px +
p x = p/4 p = 4x y = 2x2 - 2x • x + 4x y = -2x2 + 4x |
||||
| c. | y = px2
+ 2x - 3 x = -2/2p p = -1/x y = -1/x • x2 + 2x - 3 = x + 2x - 3 = x -3 dus het is de lijn y = x - 3 |
||||
| d. | y = px2 - 4x +
p2 xT = 4/2p = 2/p p = 2/x y = 2/x • x2 - 4x + (2/x)2 y = 2x - 4x + 4/x2 y = 4/x2 - 2x |
||||
| 10. | a. | y
= x2 + bx
- 6 xT = -b/2 = -5 dus b = 10 yT = (-5)2 + 10 • -5 - 6 = 25 - 50 - 6 = -31 |
|||
| b. | -6 kun je met gehele
getallen alleen schrijven als -6 • 1 of -3 • 2
of 6 • -1 of 3 • -2 Dat geeft de parabolen: y = (x - 6)(x + 1) y = (x - 3)(x + 2) y = (x + 6)(x - 1) y = (x + 3)(x - 2) |
||||
| c. | y
= x2 + bx
- 6 xT = -b/2 geeft b = -2xT y = x2 - 2x • x - 6 y = -x2 - 6 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||