© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Neem het vertrekpunt van de kogel als oorsprong.

g/(2v²) = 0,00049
De parabool is dan   y = x• tanα  -  x2 • 0,00049(tan2α + 1)

De parabool moet ook door (200, 0) gaan.
0  =  200tanα - 19,6(tan2α + 1)
Noem tanα = p
200p - 19,6p2 - 19,6 = 0
-19,6p2 + 200p - 19,6 = 0
ABC formule geeft dan p = 0,09896  ∨  p = 10,10512
p = 0,09896  geeft  tanα = 0,3145  en  α = 17,5º
p = 10,10512 geeft  tanα = 3,1789  en  α = 72,5º
       
2. v = 120  geeft  g/(2v²) = 0,00034
α = 30º geeft tanα = 0,57735
De paraboolvergelijking wordt dan ( neem de oorsprong de plaats waar de kogel de loop verlaat)
y = 0,57735x - 0,00034 • x2 • 1,3333
y = 0,57735x - 0,000453x2

Het hellende vlak gaat door (0, -1)  en heeft een hoek van 10º,
dat betekent dat het hellinggetal gelijk is aan tan10º = 0,17633
Dus dat vlak heeft vergelijking  y = 0,17633x - 1

Snijden met de paraboolbaan:
0,57735x - 0,000453x2  = 0,17633x - 1
0,000453x2 - 0,40102x - 1 = 0
De ABC formule geeft dan x = -2,48  of  x = 887,7
De tweede is de juiste oplossing: de kogel komt op horizontale afstand ongeveer 888 meter op de grond.
       
3. a. v = 230 km/uur is 63,89 m/s en dat  geeft  g/(2v²) = 0,0012
 y = x• tanα  -  x2 • 0,0012(tan2a + 1)
De parabool moet ook door (150, 0) gaan.
0  =  150tanα - 27,01(tan2α + 1)
Noem tanα = p
-27,01p2 +150p - 27,01 = 0
De ABC-formule geeft dan  p = 0,1863  of p = 5,3672
p = 0,1863  geeft  tanα = 0,432  en  α = 23,3º
p = 5,3672 geeft  tanα = 2,316 en α = 66,7º
       
  b. α = 40º  geeft  tanα = 0,839
De parabool wordt dan  y = 0,839x - 1,704•g/(2v²)•x2
Die moet door (0, 150) gaan:
0,839 • 150 - 1,704 • g/(2v²) • 1502 = 0
38341 • g/(2v²) = 125,85
g/(2v²)= 0,00328
2v2 = 2985,71
v2 = 1292,85
v = 38,6 m/s  en dat is 139 km/uur
       
4. Kies als oorsprong het punt waar de bal wordt losgelaten.
α = 60º dus  tanα = 1,732  (√3)  en  tan2α + 1 = 4
De parabool is:  y = 1,732x +  ax2     (met   a = -g/2v²• 4 = -2g/v²)

De parabool gaat door  (4.6, 3.05 - 2.15) = (4.6, 0.9)
Invullen":   0,9 = 1,732 • 4,6 + a • 4,62
0,9 = 7,9672 + a • 21,16
a • 21,16 = -7,0672
a = -0,334

De top ligt bij  -1,732/2 • -0,334 = 2,593
y =  -0,334 • 2,5932 + 1,732 • 2,593 = 2,24
De hoogte van de oorsprong was  2,15 dus de hoogte van de top is 2,15 + 2,25 = 4,40 m
       
5. Kies als oorsprong het punt waar de bal het kanon verlaat.
v = 100 km/uur = 100/3,6 = 27,7778 m/s
y = x • tanα + ax2
Het hoogste punt zit dan bij x =  -tanα/2a  en dat moet 2,5 meter zijn (samen met de beginhoogte precies 4m)
2,5 =   -tanα/2a • tanα  + a( -tanα/2a)2 
2,5 = tan2α(-1/2a + 1/4a)
2,5 = tan2α  • (-1/4a)

Maar a = -9,8/2•27,7778² • (tan2α + 1) = -0,00635 • (tan2α + 1)

invullen geeft  2,5 = tan2α • 1/(0,0254(tan²α + 1))
vermenigvuldig met 0,0254 • (tan2α  + 1):    2,5 • 0,0254(tan2α + 1) = tan2α
0,0635 • (tan2α + 1) = tan2α
0,0635 • tan2α + 0,0635 = tan2α
0,0635 = 0,9365 • tan2α
tan2α = 0,0678
tanα = 0,26
α = 14,6º
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)