© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. x4 + 2x2 - 15 = 0  noem x2 = p
p2 + 2p - 15 = 0
(p - 3)(p + 5) = 0
p = 3  ∨  p = -5
x2 = 3  ∨    x2 = -5
x = √3   ∨  x = -√3
       
  b. 9x2 + x4 + 18 = 0   noem x2 = p
p2 + 9p + 18 = 0
(p + 6)(p + 3) = 0
p = -6  ∨   p = -3
x2 = -6 ∨  x2 = -3
geen oplossing
       
  c. x4 + 14 = 9x2   noem x2 = p
p2 - 9p + 14 = 0
(p - 7)(p - 2) = 0
p = 7  ∨   p = 2
x2 = 7  ∨  x2 = 2
x = √7  ∨  x = -√7  ∨ x = √2  ∨  x = -√2
       
  d. 3x4 - 6x2 = 144   noem x2 = p
3p2 - 6p - 144 = 0
p2 - 2p - 38 = 0
(p - 8)(p + 6) = 0
p = 8  ∨   p = -6
x2 = 8  ∨  x2 = -6
x = √8  ∨   x = -√8
       
  e. x6 + 4x3 = 12  noem  x3 = p
p2 + 4p - 12 = 0
(p - 2)(p + 6) = 0
p = 2  ∨   p = -6
x3 = 2  ∨  x3 = -6
x = 21/3  ∨  x = (-6)1/3
       
  f. 6 • (2x - 4)3 = (2x - 4)2    noem  2x - 4 = p
6p3 = p2
6p3 - p2 = 0
p2(6p - 1) = 0
p2 = 0  ∨  6p - 1 = 0
p = 0   ∨  6p = 1
p = 0  ∨  p = 1/6
2x - 4 = 0  ∨  2x - 4 = 1/6
2x = 4  ∨   2x = 41/6
x = 2  ∨   x = 21/12
       
  g. x8 = 4x4 + 12   noem  x4 = p
p2 - 4p - 12 = 0
(p + 2)(p - 6) = 0
p = -2  ∨  p = 6
x4 = -2  ∨  x4 = 6
x = 61/4  ∨  x = -61/4
       
  h.  x8 - 5x5 + 4x2 = 0
x2 (x6 - 5x3 + 4) = 0
x2 = 0  ∨   x6 - 5x3 + 4 = 0  noem in dit tweede deel x3 = p
x = 0  ∨  p2 - 5p + 4 = 0
x = 0  ∨   (p - 4)(p - 1) = 0
x = 0  ∨   p = 4  p = 1
x = 0  ∨  x3 = 4 ∨  x3 = 1
x = 0  ∨  x = 41/3  ∨  x = 1  
       
  i. x7  - x5 - 6x3 = 0
x3 (x4 - x2 - 6 ) = 0
x3 = 0 ∨ x4 - x2 - 6 = 0  noem in dit tweede deel x2 = p
x = 0  ∨  p2 - p - 6 = 0
x = 0  ∨   (p - 3)(p + 2) = 0
x = 0  ∨  p = 3  ∨   p = -2
x = 0  ∨   x2 = 3  ∨  x2 = -2
x = 0  ∨  x = √3  ∨  x = -√3 
       
  j. x2 (x2 + 5) = 2(x2 - 1)    noem x2 = p
p(p + 5) = 2(p - 1)
p2 + 5p = 2p - 2
p2 + 3p + 2 = 0
(p + 3)(p + 2) = 0
p = -3   ∨   p = -2
x2 = -3  ∨  x2 = -2
geen oplossing.
       
2. x4 - x2 + p = 0  noem  x2 = a
a2 - a + p = 0

Dat heeft geen oplossingen voor a als D < 0, één oplossing voor a als D = 0 en anders twee oplossingen voor a
D = (-1)2 - 4•1• p  = 1 - 4p
geen oplossingen voor a als  p > 1/4
één oplossing voor a als  p = 1/4
twee oplossingen voor a als p < 1/4. 

Maar het gaat om de oplossingen voor x
als p > 1/4 zijn er geen oplossingen voor a dus ook niet voor x
als p = 1/4  dan is  a2 - a + 1/4 = 0  ⇒  (a - 1/2)2 = 0 ⇒  a = 1/2  en dan is p = ±√1/2   
  als p < 1/4 : 
a2 - a + p is een dalparabool, en als p kleiner wordt zakt die parabool omlaag. 
de parabool gaat door (0, 0) als p = 0
als p < 0 wordt, dan zakt de parabool nog verder naar beneden en zal één van de nulpunten negatief worden. In dat geval is er nog maar één positief nulpunt, en dus één positieve  a en dus 2 waarden voor x

samengevat:
•  p > 1/4:  geen oplossingen voor x
•  p = 1/4:  twee oplossingen voor x
•  0 < p < 1/4:  vier oplossingen voor x
•  p < 0:  twee oplossingen voor x. 
Dat geeft de grafiek hiernaast.
       
3. (9x² - 27)/x³ = px
9x2 - 27 = px4
px4 - 9x2 + 27 = 0 
vervang  x2 = a
pa2 - 9a + 27 = 0
Er zijn vier oplossingen voor x als er twee verschillende positieve oplossingen voor a zijn.
er zijn twee oplossingen als D > 0: 
(-9)2 - 4•p•27 > 0  ⇒  81 - 108p > 0  ⇒   p < 0,75
Die oplossingen moeten ook nog positief zijn.  Ze zijn  a =  (9 ± √D)/2p 
Dat is beiden positief als p > 0  en  bovendien  9 - √D > 0
Dat laatste betekent √D < 9 ⇒  D < 81  ⇒  81 - 108p < 81 ⇒  p > 0
  
Conclusie:  er zijn vier oplossingen als  0 < p < 0,75
(in plaats van met de formule te beredeneren kun je het natuurlijk ook direct uit de grafiek hiernaast zien)
       
4. xA = 1  ⇒   yA =  12 + 12 • 1-2 = 1 + 12 = 13
yB = 13 geeft:  13 =  x2 + 12x-2
Vermenigvuldig met x2 :    13x2 = x4 + 12
Noem nu  x2 = p:   13p = p2 + 12
p2 - 13p + 12 = 0
(p - 12)(p - 1) = 0
p = 1 ∨  p = 12
x2 = 1  ∨  x2 = 12
x = 1 ∨  x = -1 ∨ x = √12 ∨ x = -√12
Omdat x > 0  is punt B:  (√12, 13)  = (3.46, 13)
Dus xB ≈ 3,46
       
5. Noem de beide rechthoekszijden x en y
Dan geldt  0,5 • x • y = 24  (vanwege de oppervlakte)  en  x2 + y2 = 100 (vanwege de schuine zijde)
Uit de eerste vergelijking volgt  x = 48/y  en dat kun je invullen in de tweede:
(48/y)2 + y2 = 100
2304/y2 + y2 = 100
vermenigvuldig alles met y2 :   2304 + y4 = 100y2
y2 = p geeft dan   p2 - 100p + 2304 = 0
De ABC-formule geeft  p = 64  p = 36
y2 = 64 geeft zijde  y = 8  en  x = 48/8 = 6
y2 = 36 geeft zijde y = 6 en x = 48/6 = 8
De zijden zijn dus 6 en 8, en dan is de omtrek 6 + 8 + 10 = 24
       
6. 3x + 31 - x = a
3x + 3 • 3-x = a
Noem 3x = p
p + 3/p = a
p2 + 3 = ap
p2 - ap + 3 = 0
Dat heeft minstens één oplossing voor p als  a2 - 4•1•3 > 0
a2 > 12
a ≤ -√12  Ú  a ≥ √12
3x = p  heeft alleen oplossingen  als p > 0
p = (a ± √D)/2  moet dus positief zijn,
en dat zal alleen zo zijn bij de variant  a ≥ Ö12
a - √D > 0
a > √D
a > √(a2 - 12)
a2 > a2 - 12  en dat klopt altijd.
Er is dus minstens één oplossing als  a ≥ √12
Dat kun je in de grafiek hiernaast ook zien.

       
7. a. x√x + x3 = 30  noem  x√x = p
p + p2 = 30
p2 + p - 30 = 0
(p - 5)(p + 6) = 0
p = 5 ∨  p = -6
x√x = 5 ∨  x√x = -6
de tweede heeft geen oplossing, en de eerste geeft  x1,5 = 5 ⇒  x = 51/1,5 = 2,92
       
  b. x - 4√x + 4 = 0   noem  √x = p
p2 - 4p + 4 = 0
(p - 2)2 = 0
p = 2
√x = 2
x = 4
       
  c. 2x5 = x2√x + 10   noem   x2√x = p
2p2 = p + 10
2p2 - p - 10 = 0
De ABC-formule geeft dan   p = 2,5  p = -2
x2√x = 2,5     (x2√x = -2 heeft geen oplossingen)
x2,5 = 2,5
x = 2,51/2,5 = 1,44
       
  d. x3/4 = x√x - 6  noem  x3/4 = p
p = p2 - 6
p2 - p - 6 = 0
(p - 3)(p + 2) = 0
p = 3 ∨  p = -2
x3/4 = 3     (x3/4 = -2 heeft geen oplossingen)
x = 34/3 = 4,33
       
  e. √(x + 1) + x + 1 = 20  noem  √(x + 1) = p
p + p2 = 20
p2 + p - 20 = 0
(p - 4)(p + 5) = 0
p = 4  ∨  p = -5
√(x + 1) = 4    (√(x + 1) = -5 heeft geen oplossingen)
x + 1 = 16
x = 15
       
  f. 2√x = x - 24   noem  √x = p
2p = p2 - 24
p2 - 2p - 24 = 0
(p - 6)(p + 4) = 0
p = 6  ∨  p = -4
√x = 6    (√x = -4 heeft geen oplossingen)
x = 36
       
  g. x3√x - 3x2 = 10√x
x3√x - 3x2 - 10√x = 0
√x(x3 - 3x√x - 10) = 0
√x = 0  ∨  x3 - 3x√x - 10 = 0  noem in dit tweede deel  x√x = p
x = 0  ∨   p2 - 3p - 10 = 0
x = 0  ∨   (p - 5)(p + 2) = 0
x = 0  ∨   p = 5  ∨   p = -2
x = 0  ∨  x√x = 5    (x√x = -2 heeft geen oplossingen)
x = 0  ∨  x1,5 = 5
x = 0  ∨ x = 51/1,5 = 2,92
       
  h. 22x - 10 • 2x + 16 = 0  noem  2x = p
p2 - 10p + 16 = 0
(p - 2)(p - 8) = 0
p = 2 ∨   p = 8
2x = 2  ∨  2x = 8
x = 1  ∨ x = 3
       
8. b. x - 4√x + 4 = 0
x + 4 = 4√x
(x + 4)2 = 16x
x2 + 8x + 16 = 16x
x2 - 8x + 16 = 0
(x - 4)2 = 0
x = 4
       
  e. √(x + 1) + x + 1 = 20
√(x + 1) = 19 - x
x + 1 = (19 - x)2
x + 1 = 361 - 38x + x2
0 = x2 - 39x + 360
0 = (x - 24)(x - 15)    (de ABC-formule kan ook)
x = 24 ∨ x = 15
controleren:  x = 15 is de enige oplossing.   
       
  f. 2√x = x - 24  
4x = (x - 24)2
4x = x2 - 48x + 576
0 = x2 - 52x + 576
0 = (x - 36)(x - 16)    (de ABC-formule kan ook)
x = 36 ∨ x = 16
controleren: x = 36 is de enige oplossing.
       
9. a. x +  p  = √(x - 1)  is het snijpunt
x + p + 1 - 1 = √(x - 1)
x - 1  + p + 1 = √(x - 1)
       
  b. noem √(x - 1) = q
q2 + p + 1 = q
q2 - q + p + 1 = 0
       
  c. de vergelijking uit b) heeft één oplossing als D = 0
(-1)2 - 4•1•(p + 1) = 0
1 - 4(p + 1) = 0
1 - 4p - 4 = 0
4p = -3
p = -3/4
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)