|
|||||
| 1. | Blauw zijn de asymptoten, rood is de grafiek: | ||||
|
|
|||||
| Die f is nog een aparte: 2/(6 - x) + 3 = 2/-(x - 6) + 3 = -2/(x - 6) + 3 = 3 - 2/(x - 6) | |||||
| 2. | a. | asymptoot x =
5 geeft y = a + b/(x
-
5) asymptoot y = 1 geeft y = 1 + b/(x - 5) punt (6,2) invullen geeft 2 = 1 + b/(6 - 5) ofwel 2 = 1c + b en dat geeft b = 1 Een mogelijke formule is y = 1 + 1/(x - 5) |
|||
| b. | asymptoot x =
1 geeft y = a + b/(x
- 1) asymptoot y = -2 geeft y = -2 + b/(x - 1) punt (2, 0) invullen geeft 0 = -2 + b/(2 - 1) ofwel 0 = -2 + b en dat geeft b = 2 Een mogelijke formule is y = -2 + 2/(x - 1) |
||||
| c. | asymptoot x =
4 geeft y = a + b/(x
- 4) asymptoot y = 1 geeft y = 1 + b/(x - 4) de grafiek is omgeklapt, dus dat wordt y = 1 - b/(x - 4) punt (5, 0.5) invullen geeft 0,5 = 1 - b/(5 - 4) ofwel 0,5 = 1 - b en dat geeft b = 0,5 Een mogelijke formule is y = 1 - 0,5/(x - 4) |
||||
| d. | asymptoot x =
3 geeft y = a + b/(x
-
3) asymptoot y = -2 geeft y = -2 + b/(x - 3) de grafiek is omgeklapt dus dat wordt y = -2 - b/(x - 3) punt (2, -1) invullen geeft -1 = -2 - b/(2 - 3) ofwel -1 = -2 - - b en dat geeft b = 1 Een mogelijke formule is y = -2 - 1/(x - 3) |
||||
| e. | asymptoot x = 1
geeft y = a + b/(x
-
1) asymptoot y = 5 geeft y = 5 + b/(x - 1) punt (2, 7) invullen geeft 7 = 5 + b/(2 - 1) ofwel 7 = 5 + b dus b = 2 Een mogelijke formule is y = 5 + 2/(x - 1) |
||||
| f. | asymptoot x = -2
geeft y = a + b/(x + 2) asymptoot y = 0 geeft y = b/(x + 2) punt (0, 2) invullen geeft 2 = b/(0 + 2) ofwel 2 = b/2 dus b = 4 Een mogelijke formule is y = 4/(x + 2) |
||||
| 3. | a. | G moet tussen 0 en 60 liggen G = 0 geeft 0 = 32/s - 4 32/s = 4 s = 8 G = 60 geeft 60 = 32/s - 4 32/s = 64 s = 0,5 Dus s moet tussen 0,5 en 8 liggen. |
|||
| 4. | a. | verticale asymptoot
als 2x + 5 = 0 dus als x = -2,5 horizontale asymptoot: vul voor x een heel groot getal in. Dat levert y ≈ 0,5 |
|||
| b. | verticale asymptoot
als x2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0 ∨ x = -3 er zijn dus twee verticale asymptoten. horizontale asymptoot: vul voor x een heel groot getal in. Dat levert y = 0 |
||||
| c. | de wortel bestaat
alleen als x - 3 ≥ 0 dus
als x ≥ 3 verticale asymptoot als √(x - 3) = 0 dus bij x = 3. Maar alleen vanaf de rechterkant loopt de grafiek daar naar toe. horizontale asymptoot: vul voor x een heel groot getal in, dat levert y = 0 |
||||
| d. | verticale asymptoot
als x2 - 3x
- 10 = 0 (x - 5)(x + 2) = 0 x = 5 ∨ x = -2 er zijn dus twee verticale asymptoten. horizontale asymptoot: vul voor x een heel groot getal in, dat geeft y = 0 |
||||
| e. | De wortel bestaat
alleen als 3/(2x - 4) ≥
0 Dat is zo als 2x - 4 >
0 dus als x > 2 verticale asymptoot als 2x - 4 = 0 dus als x = 2. Maar alleen vanaf de rechterkant loopt de grafiek daar naar toe. horizontale asymptoot: vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft y = 0 |
||||
| .f. | verticale asymptoot
als x - 1 = 0 of 3x + 12 = 0 dus als
x = 1 ∨ x = -4 er zijn dus twee verticale asymptoten. horizontale asymptoot: vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft y ≈ 2 + 0 = 2 |
||||
| 5. | a. | Als de functie niet
bestaat voor x < 3 zou ik iets proberen als y = √(x
- 3) Als er een verticale asymptoot is bij = 3 moet er dan ook nog door nul gedeeld worden voor x = 3. Dat kan bijvoorbeeld met y = 1/√(x - 3) |
|||
| b. | Met een verticale
asymptoot bij x = 2 probeer je meteen iets als y =
1/(x - 2) Omdat het altijd positief moet zijn kun je het kwadraat ervan nemen: y = 1/(x - 2)2 |
||||
| c. | Verticale asymptoot
x = -2 geeft iets als y = 1/(x
+ 2) Dat gaat naar nul voor x oneindig groot. Horizontale asymptoot y = 3 krijg je door y = 1/(x + 2) + 3 |
||||
| 6. | a. | 120 mensen op 3 · 30 = 90 m2 is per persoon 90/120 = 0,75 m2 | |||
| b. | 50 = 87
- 26/(M +
0,05) dat kan natuurlijk met de GR, maar algebraïsch is 't veel leuker: -37 = -26/(M + 0,05) -37(M + 0,05) = -26 -37M - 1,85 = -26 24,15 = 37M M = 24,15/37 = 0,65 |
||||
| c. | Neem M een oneindig groot getal
(dan kun je zeker vrij lopen) dan wordt het stuk 26/(M + 0,05) gelijk aan nul. Dus wordt V = 87 m/min. 87 m/min = 87m/1 min = 0,087 km/(1/60)uur = 0,087/(1/60) km/uur = 5,22 km/uur |
||||
| d. | V = 70 geeft in de eerste grafiek
M = 1,5 M = 1,5 geeft in de onderste grafiek N = 140 |
||||
| e. | Als de snelheid van
de voetgangersstroom V m/min is, dan verlaat een
stuk tunnel van lengte V meter per minuut de tunnel. De oppervlakte van dat stuk is 3·V Als de module M is, dan bevat dat stuk dus 3V/M mensen, dus N = 3V/M Met de oorspronkelijke formule voor V geeft dat dan: |
||||
|
|
|||||
| Invoeren bij Y1 in de
GR en dan calc - maximum geeft M = 0,522 en N = 239 Dan is 239 = 3V/0,522 ofwel V = 41,6 m/min. |
|||||
| 7. | a. | T(0) = 120/3
= 40 ˚C Dus als het 2 graden daalt moet gelden T = 38 ˚C 38 = (37t + 120)/(t + 3) 38(t + 3) = 37t + 120 38t + 114 = 37t + 120 t = 6. Het duurt dus 6 uur. |
|||
| b. | Vul voor t een
heel groot getal in, bijv. 1000000 Dat geeft T = 37,00009 dus de temperatuur zal uiteindelijk 37 ˚C worden. |
||||
| c. | 37,6 = (37t +
120)/(t + 3) 37,6(t + 3) = 37t + 120 37,6t + 112,8 = 37t + 120 0,6t = 7,2 t = 7,2/0,6 = 12 uur. |
||||
| 8. | a. | de zesde maand loopt
van t = 5 tot t = 6 t = 5 geeft N = 18000 + 12000/(1 + 2,5) = 18000 + 3429 = 21429 t = 6 geeft N = 18000 + 12000/(1 + 3) = 22000 Er komen dus 22000 - 21429 = 571 mieren bij. |
|||
| b. | 16000 = 18000
-
12000/(1 + 0,5t) -2000 = -12000/(1 + 0,5t) -2000(1 + 0,5t) = -12000 -2000 - 1000t = -12000 10000 = 1000t t = 10 dus na 10 maanden |
||||
| c. | vul voor t een
heel groot getal in, bijv. 1000000 Dat geeft N = 18000 - 12000/500001 = 17999,9 uiteindelijk zullen er ongeveer 18000 mieren komen. |
||||
| 9. | a. | Als T kleiner dan 15
is, dan is 225/T2
groter dan 1, en dan wordt P negatief. Dat kan niet, want P is een percentage en zal tussen 0 en 100 moeten liggen. |
|||
| b. | Als T groter wordt, wordt T2
ook groter Dan wordt 225/T2 kleiner Dan wordt 1 - 225/T2 groter Dan wordt 100(1 - 225/T2) ook groter. |
||||
| c. | De helft betekent P = 50 50 = 100(1 - 225/T2) 0,5 = 1 - 225/T2 -0,5 = -225/T2 -0,5T2 = -225 T2 = 450 T = √450 = 21,2 |
||||
| d. | 160 mensen gebruiken
1,6P consumpties, dus dat levert 0,5
· 1,6P = 0,8P euro op de kosten zijn 1 + 3 • (T - 15) De winst is dan W = 0,8P - (1 + 3(T - 15)) en met de formule voor P levert dat: W = 0,8 · 100(1 - 225/T2) - (1 + 3(T - 15)) Zet deze formule in Y1 van de GR calc - maximum levert T = 22,9 ˚C en W = 20,98 |
||||
| 10. | a. | begintemperatuur:
t = 0 geeft T = 800/b = 80
dus b = 10 eindtemperatuur: neem voor t een heel groot getal, dan moet er 22 uitkomen. Als t heel groot is, dan is at + 800 ongeveer gelijk aan at Als t heel groot is, dan is t + 10 ongeveer gelijk aan t Dan staat er T = at/t = a = 22 |
|||
| b. | T = 50 en t = 6 en
a = 20 geeft 50 = (20
· 6 + 800)/(6 + b) 50 = 920/(6 + b) 50(6 + b) = 920 300 + 50b = 920 50b = 620 b = 12,4 |
||||
| c. | 20 + 520/(t
+ b) = 20(t + b)/(t + b) + 520/(t + b) = (20t + 20b + 520)/(t + b) dan moet gelden 20t + 20b + 520 = 20t + 800 20b + 520 = 800 20b = 280 b = 14 |
||||
| d. | 40 = (20t + 800)/(t
+ 10) 40(t + 10) = 20t + 800 40t + 400 = 20t + 800 20t = 400 t = 20 de vloeistof is warmer voor 0 < t < 20 |
||||
| e. | Kies twee punten van
een grafiek, bijvoorbeeld van de rode grafiek (4, 60) en (8, 50) invullen: 60 = (4a + 800)/(4 + b) en 50 = (8a + 800)/(8 + b) 60 = (4a + 800)/(4 + b) 60(4 + b) = 4a + 800 240 + 60b = 4a + 800 50 = (8a + 800)/(8 + b) 50(8 + b) = 8a + 800 400 + 50b = 8a + 800 b = 0,16a + 8 Vul deze tweede in voor b in de bovenste vergelijking: 240 + 60(0,16a + 8) = 4a + 800 240 + 9,6a + 480 = 4a + 800 5,6a = 80 a = 14,3 Dan is b = 0,16a + 8 = 10,3 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
