Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

x • │6 - x │ = 5

voor x < 6:
x(6 - x) = 5
6x - x² = 5
x² - 6x + 5 = 0
(x - 5)(x - 1) = 0
x = 5 ∨ x = 1 en die zijn beiden goed.

voor x > 6:
x • -(6 - x) = 5
-6x + x² = 5
x² - 6x - 5 = 0
ABC-formule: x = ^{(6 ±}^√^(36+20))/₂ = -0,74 ∨ 6,74 en vanwege de voorwaarde wordt dat x = 6,74

2x + x • │1 - x│ = 0

voor x < 1:
2x + x( 1 - x) = 0
2x + x - x² = 0
3x - x² = 0
x(3 - x) = 0
x = 0 ∨ x = 3 en vanwege de voorwaarde wordt dat x = 0

voor x > 1:
2x + x• -(1 - x) = 0
2x - x + x² = 0
x + x² = 0
x(1 + x) = 0
x = 0 ∨ x = -1 en vanwege de voorwaarde geeft dat geen oplossing.

│x - 1│ = 2 • │5 - x│

voor x < 1;
-(x - 1) = 2 • (5 - x)
-x + 1 = 10 - 2x
x = 9 maar die vervalt vanwege de voorwaarde

voor 1 < x < 5:
x - 1 = 2 • (5 - x)
x - 1 = 10 - 2x
3x = 11
x = ¹¹/₃ en die voldoet.

voor x > 5:
x - 1 = 2 • -(5 - x)
x - 1 = -10 + 2x
9 = x en die voldoet ook.

neem a < b dan zijn er weer drie gevallen:

voor x < a staat er -(x - a)• -(x - b) = (x - a )(x - b) want dit laatste is positief (min keer min is plus)

dat geeft (x - a)(x - b) = (x - a )(x - b) en dat klopt.

voor a < x < b staat er (x - a)•-(x- b) = -(x - a)(x - b) want dat laatste was negatief (min keer plus is min)

dat geeft -(x - a)(x - b) = -(x - a)(x - b) en dat klopt ook

voor x > b staat er (x - a) • (x - b) = (x- a)(x - b) want dat laatste was positief (plus keer plus is plus)

dat klopt dus ook.

De regel klopt kennelijk altijd!!

f (x) = 2│4 - 2x│ - 3│x + 4│

splitsen bij x = 2 en bij x = -4 geeft:

•    x < -4:   y = 2(4 - 2x) - 3•-(x + 4) = 8 - 4x + 3x - 12 = -x - 4
•    -4 < x < 2:   y = 2(4 - 2x) - 3(x + 4) = 8 - 4x - 3x - 12 = -7x - 4
•    x > 2: y = 2 • -(4 - 2x) - 3(x + 4) = -8 - 4x - 3x - 12 = -7x - 20

2x •│x² - 6x + 8│
x² - 6x + 8 = (x - 2)(x- 4) dus splitsen bij x = 2 en x = 4:

• x < 2 en x > 4: y = 2x(x² - 6x + 8) = 2x³ - 12x² + 16x
• 2 < x < 4: y = 2x • -(x² - 6x + 8) = -2x³ + 12x² - 16x

│x - │2 - x││
eerst de binnenste absolute waarde: splitsen bij x = 2
x < 2 geeft │x - (2 - x)│ = │2x - 2│ en dan deze weer splitsen bij x = 1:
• x < 1: y = -(2x - 2) = -2x + 2
• 1 < x < 2: y = 2x - 2

x > 2 geeft │x - -(2 - x)│ = │2│ = 2
dus voor x > 2 is het altijd y = 2.

| | x - 2 | - 3 | splitsen bij x = 2.

x < 2 geeft   | -(x - 2) - 3 | =   | -x - 1 |   en dan deze weer splitsen bij x = -1
• x < -1:   y = -x - 1
• -1 < x < 2:   y = -(-x - 1) = x + 1

x > 2 geeft   | (x - 2) - 3 | =   | x - 5 | en dan deze weer splitsen bij x = 5
• 2 < x < 5:   y = -x + 5
• x > 5:   y = x - 5

Hieronder zie de grafiek van de vier delen van deze functie:

Daaruit zie je eenvoudig dat er precies drie oplossingen zijn voor y = a = 3

f(x) = | -8 + | x | |
eerst splitsen bij x = 0:
x > 0 geeft y = | -8 + x | en dat moet je weer splitsen bij x = 8:
• 0 < x < 8 geeft y = 8 - x
• x > 8 geeft y = -8 + x

x < 0 geeft y = | -8 - x | en dat moet je weer splitsen bij x = -8
• x < -8 geeft y = -8 - x
• -8 < x < 0 geeft y = 8 + x

Hieronder zie de grafiek van de vier delen van deze functie:

a+b.

splitsen bij x = 0.

x > 0 geeft y = ^x²/_{(x² + 1)}
x < 0 geeft y = ^x²/_{(-x²
+ 1)}

Hiernaast zie je de grafiek van f en de lijn y = 0,5x

^x²/_{(x²
+ 1)} = 0,5x
x² = 0,5x(x²+ 1)
x² = 0,5x³ + 0,5x
0 = 0,5x³ - x² + 0,5x
0 = 0,5x(x² - 2x + 1)
0 = 0,5x(x - 1)²
x = 0 ∨ x = 1

^x²/_{(-x²
+ 1)} = 0,5x
x² = 0,5x(-x²+ 1)
x² = -0,5x³ + 0,5x
0,5x³ + x² - 0,5x = 0
0,5x(x² + 2x - 1) = 0
x = 0 ∨ x² + 2x - 1 en dat geeft met de ABC-formule x = -1±√2 en daarvan is alleen -1-√2 kleiner dan 0.

Aflezen uit de grafiek: f(x) < 0,5x geldt voor: 〈-1-√2, 0〉 en 〈0, 1〉 en 〈1, →〉

De functie bestaat vanwege het deel onder de wortel alleen voor x ≥ -2

2 - √(2x + 4) = 0
√(2x + 4) = 2
2x + 4 = 4
x = 0
Dat geeft de twee functievoorschriften:
• -2 ≤ x < 0: y = 2 - √(2x + 4)
• x > 0: y = -2 + √(2x + 4)

Snijden met y = a

2 - √(2x + 4) = a
√(2x + 4) = 2 - a
2x + 4 = (2 - a)²
2x = (2 - a)²- 4
x = 0,5(2 - a)² - 2

-2 + √(2x + 4) = a
√(2x + 4) = a + 2
2x + 4 = (a + 2)²
2x = (a + 2)² - 4
x = 0,5(a + 2)² - 2

Het verschil tussen die twee oplossingen is de afstand AB:
(0,5(a + 2)² - 2) - (0,5(2 - a)² - 2)
= 0,5(a + 2)² - 2 - 0,5(2 - a)² + 2
= 0,5(a + 2)² - 0,5(2 - a)²
= 0,5(a² + 4a + 4) - 0,5(4 - 4a + a²)
= 0,5a² + 2a + 2 - 2 + 2a - 0,5a²
= 4a

Vanwege de teller splitsen we functie bij x = 2:
x > 2 geeft f(x) = ^{(2x- 4)}/_{(x
- 1)}
x < 2 geeft f(x) = ^{(-2x +
4)}/_{(x\- 1)}

Dat geeft de grafieken hiernaast.

Als p verandert draait de grafiek van g om het punt (1, 0)
Voor p < 0 daalt de grafiek en is er géén snijpunt met de grafiek van f

Voor p > 0 is er altijd links van de y-as een snijpunt.
Het aantal snijpunten rechts van de y-as bekijken we apart:

voor p = 0 is er één snijpunt (namelijk (2, 0)).

hier is er één extra snijpunt, dus in totaal 2

grensgeval: 2 extra snijpunten, dus in totaal 3

3 extra snijpunten dus in totaal 4.

Kortom: het gaat om grensgeval C: voor welke p raakt de grafiek van g die van f?
functies gelijk:   ^{(2x - 4)}/_{(x -
1)} = p(x - 1)
hellingen gelijk: ^{(2(x - 1) - (2x - 4))}/_{(x
- 1)}_² = p   ofwel p = ²/_{(x - 1)²}
de tweede invullen in de eerste:   ^{(2x - 4)}/_{(x
- 1)} = ²/_(x_{- 1)}
dat geeft 2x - 4 = 2 dus x = 3 en dan is p = 0,5
conclusie:
p < 0 :   geen snijpunt
p = 0: één snijpunt
0 < p < 0,5:   vier snijpunten
p = 0,5: drie snijpunten
p > 0,5: twee snijpunten.

Splits de formule in twee delen.
|x - 2| = 0 bij x = 2
x < 2: y = -(x- 2)•(¹/₂x + 2) + 1 = -¹/₂x² - 2x + x + 4 + 1 = -¹/₂x² - x + 5
x > 2 doet er niet toe: het gaat om de raaklijn aan het deel x < 2

y ' = -x - 1 dus x = 2 geeft helling y '= -3
De lijn y = -3x + b moet door het punt (2, 1) gaan
1 = -6 + b geeft b = 7
De raaklijn is de lijn y = -3x + 7

10.

De grafiek snijdt de x-as voor x > 1
Dan is |x - 1| = x - 1
x - 1 + ^{(x- 5)}/_{(2x - 5)} = 0
^{(x- 5)}/_{(2x - 5)} = -x + 1
x - 5 = (-x + 1)(2x - 5)
x - 5 = -2x² + 5x + 2x - 5
2x² - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x = 0 (maar die vervalt) ∨ x = 3

Verticale asymptoot: 2x- 5 = 0 dus x = 2,5

De grafiek ligt voor 2,5 < x < 3 onder de x-as.