© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
jaar aantal (A) hoeveel er bij kan (B) Q = B/A
1
2
3
4
5
6		 2871
2945
3020
3098
3177
3258		 7129
7055
6980
6902
6823
6742		 2,483
2,396
2,311
2,228
2,148
2,069
       
  b. de factoren voor Q zijn:
2,396/2,483 = 0,965
2,311/2,396 = 0,965
2,228/2,311 = 0,964
2,148/2,228 = 0,964
2,069/2,148 = 0,963
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan 0,964 dus dit is exponentieel.
de beginwaarde is  2,483/0,964 = 2,576
De formule is dan  Q = 2,576 · 0,964t
       
  c.
    10000 = A + 2,58 · 0,96t · A
10000 = A · (1 + 2,58 · 0,96t)		  
     
       
   
    8000 + 20640· 0,96t = 10000
20640 · 0,96t = 2000
0,96t = 0,0969
t = log(0,0969)/log(0,96) = 57,2 jaar
       
2. a. De factoren zijn achtereenvolgens:
24/20 = 1,20  en  30/24 = 1,25  en  37/30 = 1,23  en 45/37 = 1,22
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan (gemiddeld)  1,22  dus de groei is exponentieel.
De beginwaarde is bij t = 0  en is  20/1,22 = 16,4
Samen geeft dat de formule  A(t) = 16,4 · 1,22t
       
  b. 700 = 16,4 · 1,22t 
42,68  = 1,22t
t = log(42,68)/log(1,22) = 18,9 jaar		  
       
  c. Y1 = 16,4 * 1,22^X
Y2 = 490/(1 + 30 * 0,8^X)
Y3 = Y2 - Y1
Y4 = 120
calc - intersect  Y3 en Y4  geeft t = 10,2		  
       
  d. Neem t  oneindig groot, dan gaat 0,8t naar nul.
Dat geeft  A(t) = 490 dus uiteindelijk zullen er 490  mobieltjes komen.		  
       
3. a. Neem t  oneindig groot, dan gaat 0,8t naar nul.
Dat geeft  A(t) = 8400 dus uiteindelijk zullen er 8400  mobieltjes komen.		  
       
  b.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A(t) 400 494 609 747 914 1112 1345 1617 1928 2280 2669
A(t)/A(t - 1) - 1,24 1,23 1,23 1,22 1,22 1,21 1,20 1,19 1,18 1,17
    Na 8 dagen vindt hij voor het eerst een factor kleiner dan 1,2  
       
  c. 5000 = 8400/(1 + 20 · 0,8t)
5000(1 + 20 · 0,8t) = 8400
5000 + 100000 · 0,8t = 8400
100000 · 0,8t = 3400
0,8t = 0,034
t = log(0,034)/log(0,8) = 15,15 dagen		  
       
4. a.
maand 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aantal (in miljoenen) 2,3 3,7 5,6 8,4 11,7 15,5 19,2 22,5 25,0 26,8 28,0
log(G/A - 1) 1,08 0,85 0,64 0,41 0,19 -0,03 -0,25 -0,48 -0,70 -0,92 -1,15
       
  b. De grafiek wordt een rechte lijn (zie hiernaast)
De beginwaarde daarvan is 1,08
De helling is  (-1,15  - 1,08)/(10 - 0) = -0,22

De vergelijking is dan   log(G/A - 1) = -0,22t + 1,08
G/A - 1 = 10-0,22t + 1,08

G/A = 1 + 10-0,22t  · 101,08  
= 1 + 12 · (10-0,22)t 
= 1 + 12 · (0,6)t 

   
       
5. a. t = 10  geeft  V = 26
26 = 40/(1 + a · 0,810)
26 (1 + a · 0,107) = 40
1 + a · 0,107 = 1,538
a · 0,107 = 0,538
a = 14,3
       
  b. Als t naar oneindig gaat, gaat  0,8t  naar nul.
Dan gaat  a · 0,8t  ook naar nul, en dat hangt niet van de waarde van a af.
Dan gaat de noemer van V naar 1, dus de hele breuk gaat naar 40.
De grenswaarde zal daarom 40 zijn.
       
  c. 30 = 40/(1 + 6 · 0,8t)
1 + 6 · 0,8t = 4/3
6 · 0,8t = 1/3
0,8t = 1/18
t = log(1/18)/log(0,8) = 12,95
       
  d. Y1 = 40/(1 + 6 * 0,8^X)
Y2 = nDerive (Y1, X, X)
calc - maximum (Y2)  geeft dan   t = 8,03  (dan is de groeisnelheid 2,23)
       
6. a. t = 0  geeft L = 1
t = 1 geeft  L = 1,81447
De groeifactor is dus ongeveer 1,81
       
  b. De grenswaarde is L = 400, dus de exponentiλle fase duurt tot L = 200
200 = 400/(1 + 399•0,11t) 
⇒  200(1 + 399 • 0,55)t = 400
⇒  1 + 399 • 0,55t = 2
⇒ 399 • 0,55t = 1 
⇒  0,55t = 0,0025 
⇒  t = log(0,0025)/log(0,55) » 10,02 weken
       
7. a. 2000 = 4200/(1 + 54 • 0,87t)
2000 • (1 + 54 • 0,87t) = 4200
2000 + 108000 • 0,87t = 4200
108000 • 0,87t = 2200
0,87t = 0,02037
t = log0,02037/log0,87 = 27,96 dagen.
       
  b. 4200/(54 • 0,87t)
= (4200/54) • 0,87-t
= 77,78 • (0,87-1)t
= 77,78 • 1,15t
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)