© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Het brandstof verbruik is hoe snel de hoeveelheid brandstof verandert, dus is de afgeleide.
B =  5600 • 0,99204t 
B' = 5600 • 0,99204t • ln(0,99204)
B'(0) =  -44,75  liter per uur
B'(24) = -36,94 liter per uur
Dat is  44,75 - 36,94 = 7,81 l/uur minder en dat is  7,81/44,75 • 100% = 17,45% minder
       
  b. B(288) = 5600 • 0,99204288 = 560,52 liter is er nog aanwezig.
B'(288) = 5600 • 0,99204288 • ln(0,99204) = -4,48  liter/uur is het verbruik op dat moment.
Als dat verbruik zo blijft kan men nog  560,52/4,48 = 125 uur doorvliegen.
       
2. a. Bij 50% is L(x) = 50000.
Voer de formule van L in bij Y1= in de GR en Y2 = 50000.
intersect levert een leeftijd van ongeveer 80,19 jaar.
       
  b. L'(x)  is hoe snel L(x) verandert per jaar. Omdat L afneemt zal L' negatief zijn en de afname van L voorstellen. Dat is het aantal sterfgevallen (negatief getal).
-L' is dus ook het aantal sterfgevallen maar nu positief.
delen door L geeft dan het aantal sterfgevallen per levende.
Fiona heeft dus gelijk.
       
  c. De afgeleide van gx is  gx • lng
De afgeleide van  100000 • 0,999x  is dan  100000 • 0,999x • ln0,999
De afgeleide van  100000 • 0,999u  is dan  100000 • 0,999u  • ln0,999 • u'
u = 1,085x - 1  dus  u'= 1,085x • ln(1,085)
samen geeft dat  L'= 100000 • 0,999u  • ln0,999 • 1,085x • ln(1,085)
ln0,999 • ln1,085 • 100000 = -8,16  vandaar....
       
  d.  
    S(x) = 0,0000816 • 1,085x
Dus  b = 0,0000816  en  g = 1,085
       
3. a. de totale bevolking is gelijk aan de oorspronkelijke bevolking plus de nieuwkomers.
de oorspronkelijke bevolking is  B = 150000 • 0,99t
de nieuwkomers zijn  N = 1000t

N = B is het omslagpunt.
Y1 = 150000 * 0,99^X en Y2 = 1000X en dan intersect geeft  t = 72,4
Dat zal zijn in 2037
       
  b. Het totaal aantal inwoners is  T = B + N =  150000 • 0,99t + 1000t
Dat is minimaal als de afgeleide nul is;
T' = 150000 • 0,99t • ln0,99 + 1000 = 0
-1507,55 • 0,99t + 1000 = 0
0,99t = 0,663
t = log(0,663)/log(0,99) = 40,9 jaar
Dat zal zijn in 2005 
       
  c. Het grensgeval vind je als de afgeleide in 1965 nul is.
T ' = 150000 • 0,99t • ln0,99 + c
t = 0  geeft  T'(0) = 150000 • 1 • ln0,99 + c  = -1508 + c
Het grensgeval ligt daarom bij  c = 1508 
Voor c > 1508 zal de totale hoeveelheid alleen maar stijgen.		  
       
4. a. t = 2  geeft  P = 51,8%
t = 5 geeft  P = 83,9%
De toename is  32,1%
Dat is  32,1/51,8 • 100% = 62%
       
  b. 90 = 100 • (1 - 0,9712t )
0,9 = 1 - 0,9712t  
0,1 =   0,9712t  
12t = log(0,1)/log(0,97) = 75,59...
t = 6,299...
Dat is 6 jaar en 4 maanden.
       
  c. P = 100 • (1 - 0,9712t )
P = 100 - 100 • 0,9712t 
P '  = -100 • 0,9712t • ln(0,97) • 12
P '= 36,5510... • 0,9712t
k = 36,55
       
  d. P ' = 36,6 • 0,9712t 

P' > 0  dus P stijgt.

Als t groter wordt, dan wordt 12t ook groter
Dan wordt 0,9712t kleiner (omdat 0,97 <1)
Dus als t toeneemt dan neemt P ' af
Er is daarom sprake van afnemende stijging.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)