© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Als f(x) = eax  dan is (met de kettingregel)  f '(x) = a • eax = a • f(x)
Dus  f '(x) = 3 • f(x)  geldt voor  f(x) = e3x
f '(x) = -2 • f(x) geldt  voor  f(x) = e-2x
       
2. a. Als de palen 4 meter uit elkaar staan, en het laagste punt ligt bij x = 0,
dan bevinden de palen zich bij x = 2 en x = -2
a = 0,8 geeft  y = 0,4 • (e1,25x + e-1,25x)
De afgeleide is dan  y' =  0,4 • (e1,25x • 1,25 + e-1,25x • -1,25)

x = 2 geeft  y' (2) = 0,4 • (e2,5 • 1,25 + e-2,5• -1,25) = 6,05
dat is de helling van de ketting, en die maakt met een horizontale lijn een hoek waarvoor tanα = 6,05,
dus α = 81º  dus de hoek met een verticale lijn (de paal) is  90 - 81 = 9º

Vanwege de symmetrie is de hoek in het ophangpunt  x = -2 dan -9º
       
  b. x = 0 moet y = 2 geven.
x = 0:   0,5 • a • (1 + 1) = 2  geeft  a = 2		  
       
3. a. A = (0, e-0) = (0, 1)  en   B = (1, e-1) = (1, 1/e)
AB heeft helling  (1/e - 1) en dus vergelijking  AB:   y = (1/e - 1)x + 1
   
       
  b. de helling van AB is  1/e - 1 dus moet de afgeleide van f ook gelijk zijn aan 1/e - 1
f ' = -e-x = 1/e - 1
Y1 = -e^(-X) en  Y2 = 1/e - 1  en dan intersect levert x = 0,46
       
4. De grafieken raken elkaar als geldt  f = g  en  f ' = g'
De eenvoudigste is de tweede, dus daar beginnen we mee:
 f ' = g'  (met de productregel):
(x2 - 2x + 1) • ex + (2x - 2) • ex = 3 • ex
x2 - 2x + 1 + 2x - 2 = 3
x2 = 4
x = 2 ∨  x = -2

Dan f = g;
(x2 - 2x + 1) • ex = 3 • ex + p

x = 2 geeft  e2 = 3e2 + p  dus  p = -2e2
x = -2 geeft  9e-2  = 3e-2 + p  dus  p = 6e-2  
       
5. f '(x) = e0,5 - x² • -2x
f '(1) = e-0,5 • -2 =  -2/√e  dus de raaklijn is de lijn y = -2/√e • x + b

f(1) = e-0,5 = 1/√e  dus moet gelden   1/√e  = -2/√e • 1 + b  ⇒   b = 3/√e 
De raaklijn is de lijn  y =  -2/√e • x + 3/√e
y = 0  geeft dan  0 = -2/√e • x + 3/√e
2/√e • x = 3/√e
x = 1,5
Het snijpunt met de x-as is  (1.5, 0)
       
6. Je vindt de extreme waarde als de afgeleide nul is:
f '(x) = (4x + p) • ex² • 2x + 4 • ex² = 0
ex² •(8x2 + 2px + 4) = 0
8x2 + 2px + 4 = 0
Dat heeft maar geen oplossing als de discriminant kleiner dan nul is:  (2p)2 - 4 • 8 • 4 < 0
4p2 < 128
p2 < 32
-√32 < p < √32

ook bij p = ±√32  is er geen extreme waarde: dan vallen minimum en maximum samen en is er een buigpunt.
       
7. a. Bij het maximum is de afgeleide nul:
R' = 100 • e(-0,1t³ + 0,5t²)  • (-0,3t2 + t)  = 0
-0,3t2 + t = 0
t(-0,3t + 1) = 0
t = 0  ∨  t = 31/3
Het maximum vind je bij t = 31/3  en  R(31/3) = 637 ratten 		 
       
  b. R'(4) = 100 • e(-0,1• 64 + 0,5• 16)  • (-0,3•16 + 4) = -396  ratten per dag  
       
  c. plot:
Y1 = 100*e^(-0,1*X^3+0,5*X^2)
Y2 = nDeriv(Y1, X, X)
calc - maximum - Y2  geeft dan   t = 2,41		  
       
8. a. 30 = 65 • e-0,012k
Y1 = 30  en Y2 = 65 * e^(-0,012X) en dan intersect geeft  maximaal 64 andere kinderen
       
  b. hoeveelheid snoep = aantal kinderen * aantal snoepjes per kind
H = k • S = k • 65 • e-0,012k
H is maximaal als H' nul is:
1 • 65 • e-0,015k + k • 65 • e-0,012k• -0,012 = 0
e-0,012k • (65 - 0,78k) = 0
65 - 0,78k = 0
k = 83, 33
k = 83 geeft  H = 1992,7
k = 84 geeft  H = 1992,6
Dus H = 1992,7 is de maximale hoeveelheid snoep (bij 83 kinderen)		  
       
9. De lengte van het lijnstuk is L =  f(p) - g(p)  = x • e0,5x -(e0,5x - 2)
Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:
L' = 1 • e0,5x + x • 0,5 • e0,5x  - 0,5 • e0,5x = 0
e0,5x • (1 + 0,5x - 0,5) = 0
1 + 0,5x - 0,5 = 0
x = -1
L(-1) = -1 • e-0,5 - (e-0,5 - 2) = 2 - 2e-0,5 = 2 - 2/√e

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)