© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. P(t) = 0,8P0  geeft  0,8P0 = P0 • e-0,000029t
0,8 = e-0,000029t
Y1 = 0,8 en Y2 = e^(-0,000029X) en dan intersect geeft  t = 7695
       
  b. P(t) = 100 • e-0,000029t   geeft  P'(t) = 100 • -.000029 • e-0,000029t
P'(20000) = 100 • -0,000029 • e-0,000029 • 20000 = -0,0016
Dat stelt voor:  de snelheid waarmee het stralingsniveau per jaar afneemt op tijdstip t = 20000
       
2. a. 0,3I0 = I0 • e-0,9 • 0,12 • l
0,3 = e-0,108• l 
Y1 = 0,3  en  Y2 = e^(-0,108X) en dan intersect geeft  l = 11,1 meter
       
  b. Als de intensiteit afneemt met 1% per meter, dan is  I ' = -0,01 • I
I' = I0 • e-0,108 • l • -0,108 = -0,01 • I0
e-0,108 • l  = 0,0926
Y1 = e^(-0,108X) en Y2 = 0,0926 en dan intersect geeft  l = 22 meter
       
3.
  Daaruit volgt direct dat  4p - 1 = 0  dus  p = 1/4
       
4. a.
    Dat kan alleen nul zijn als  2pex = 0  en dat is alleen zo als p = 0
Maar voor p = 0 is de functie gelijk aan  f(x) = 2 en die heeft geen extremen.
       
  b.  
    2ex = ex • (ex + p)
Noem nu ex = a dan staat hier  2a = a(a + p)
0 = a2 + a(p - 2)
0 = a(a + p - 2)
a = 0 ∨  a = 2 - p
ex = 0  ∨  ex = 2 - p
De eerste heeft geen oplossing.
ex = 2 - p heeft geen oplossing als p  ≥ 2
Er zijn dus geen snijpunten als  p  ≥ 2		  
       
5. a.
    Dat geeft  1 - 1/x = 0
x = 1  en dan is  y = e.  Het minimum is het punt  (1, e)
       
  b.

Als de raaklijnen in x = p en x = -p loodrecht op elkaar staan, dan moet gelden:  f '(p) • f '(-p) = -1
   
    1/p2 = 2
p2 = 1/2
p = ±√1/2 = ±1/2√2
       
6. Voor de lengte L geldt:  L = x2 • e-0,5x - (x + 2) • e-0,5x   want voor x > 2 ligt de grafiek van f boven die van g
L is maximaal als de afgeleide nul is:
L ' = 2x • e-0,5x + x2 • -0,5 • e-0,5x - 1 • e-0,5x - (x + 2) • -0,5 • e-0,5x = 0
e-0,5x • (2x - 0,5x2 - 1 + 0,5x + 1) = 0
-0,5x2 + 2,5x = 0
x(-0,5x + 2,5) = 0
x = 0  ∨  x = 5
x = 5 geeft dan   L(5) = 25 • e-2,5 - 7 • e-2,5 = 18 • e-2,5 = 1,48
       
7. a. x ≥ 2:  f ' = 4 • e(-0,5 + 0,25x) • 0,25  (die 0,25 komt van de kettingregel) en  f '(2) = 1
x ≥ 2:  f ' = 3/2 - 1/2x  en  f '(2) = 1/2 
       
  b. Bereken eerst de top:
f '= 0 geeft  3/2 - 1/2x = 0  en dus  x = 3, en y = 1 + 3.2 • 3 - 1/4 • 32 = 31/4.
De grafiek moet dus 3 naar links geschoven worden en 31/4 omlaag.
Dan moet x worden vervangen door (x + 3) en bovendien moet er -31/4 achter de hele formule gezet worden.
Dat geeft: y = -1 + 4e(-0,5 + 0,24(x + 3)) - 31/4
     
8. a. Voer de functie f  en de lijnen y = -0,1 en y = 0,1 in in de GR.
Gebruik INTERSECT om de snijpunten te vinden. Dat geeft  x = 0,11 en x = 3,58 en x = -0,09
Lees vervolgens af waar de grafiek van f tussen beide lijnen in ligt.
Dat is zo voor  -0,09 < x < 0,11  of  x > 3,58
     
  b. Met de productregel en de kettingregel:
f '(x) =  1 • e-x + x • e-x • -1 = e-x • (1 - x)
Voor de top geldt  f '(x) = 0  dus  e-x • (1 - x) = 0  en dat is zo als  x = 1
f (1) = 1 • e-1 = 1/e de top is dus het punt  (1 , 1/e)
     
  c. A is het snijpunt van de lijn  y = 0,25x  met   f(x) = x • e-x  dus moet gelden  0,25x =  x • e-x   ofwel  e-x = 0,25
e-x = 0,25
Y1 = e^(-X) en Y2 = 0,25 en dan intersect levert  a = 1,386
     
  d. De lengte ST is gelijk aan  x • e -x  - 0,25x (het verschil van beide y -coφrdinaten)
Voer deze vergelijking in in de GR en bereken met CALC - Maximum de maximale waarde van ST.
Dat geeft  x ≈ 0,562 en een maximum van STMAX ≈ 0,180
     
9. a. 0,035 = 0,12 • t •  e-0,5t
Deze moet met de GR:  Y1 = 0,035  en  Y2 = 0,12 • X • e ^(-0,5 * X)
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 10,  Ymin = 0,  Ymax = 0,1
intersect geeft twee snijpunten:  t = 0,3469 en t = 6,0715
De tijd daartussen is  5,7246
5,7246 • 60 = 343 minuten
     
  b. productregel:
C ' =  0,12 • 1 • e-0,5t + 0,12t • e-0,5t • -0,5    (de laatste -0,5 komt van de kettingregel)
= 0,12 (1 • e-0,5t - 0,5t • e-0,5t)
= 0,12 • (1 - 0,5t) • e-0,5t
     
  c. De concentratie neemt het sterkst af als C'(t) zo groot mogelijk negatief is.
Plot de grafiek en bereken dat minimum met calc - minimum van je GR.
Dat geeft t = 4

Het kan uiteraard ook algebraοsch:  C'is minimaal als  C'' = 0
C'' = 0,12 • -0,5 • e-0,5t  + 0,12 • (1 - 0,5t) • e-0,5t • -0,5
= e-0,5t • (-0,06 - 0,06 +  0,03t) 
=  e-0,5t • (-0,12 + 0,03t)
Dat is nul als  -0,12 + 0,03t = 0  ⇒  t = 4
     
  d. Tussen t = 18 en t = 24 geldt:
C* = C(t)  + C(t - 6) + C(t - 12) + C(t - 18)
Voer in in de  GR:
Y1 = 0,12 • X • e ^(-0,5X)
Y2 = Y1(X) + Y1(X - 6) + Y1(X - 12) + Y1(X - 18)     (Y1 vind je bij VARS)
Bepaal het maximum van Y2 tussen t = 18 en t = 24
Dat geeft  een maximum van C = 0,1087 bij t = 19,68
De concentratie kom dus NIET boven de 0,11. 
     
10. a. PQ  = PS geeft  2p = e-p²
Y1 = 2X en  Y2 = e^(-X^2) en dan intersect geeft  p ≈ 0,41936
De oppervlakte is dan p2 ≈ 0,176
     
  b. De oppervlakte is gelijk aan O = PQ • PS = 2p • e-p² 
Bij het maximum moet de afgeleide nul zijn.
Met de productregel en de kettingregel:
O' = 2 • e-p² +  2p • e-p² • -2p  = 2e-p² • (1 - 2p2)
O'= 0  ⇒  1 - 2p2 = 0   ⇒   p2 = 1/2  ⇒  p = ±√(1/2) = ±1/2√2
Omdat p > 0 moet gelden p = 1/2√2.
Het bewijs dat het inderdaad om een maximum gaat volgt uit het tekenbeeld van O',
(0)+++++(1/2√2)--------
     
11. a. Met de kettingregel:  U ' = 12 • e(-t/20) • -1/20 = -3/5 • e(-t/20)
Vul t = 0 in:  U'(0) = -3/5 • e0 = -3/5  (Volt/seconde)  
     
  b. Als elke C gelijk is aan 0,01 en er zijn n condensatoren, dan geldt:
(1/CS) = n • (1/0,01) = 100n  dus  CS = 1/(100n)
Deze vergelijking voor CS en t = 10  invullen in de formule voor U en gelijkstellen aan 10:
   
    Invullen in de GR:  Y1 = 10  en  Y2 = 12 * (1 - e ^ (-10/(2000/(100X))))
Intersect geeft  n = 3,58...
Er zijn dus 4 condensatoren nodig.
     
12. a. f(x) = 10xe-x 
f  ' = 10e-x + 10xe-x · -1  = e-x · (10 - 10x)
f '(0) = 10
dan is tanα = 10  ⇒  α = 84˚
     
  b. f  ' = e-x · (10 - 10x) = 0
10 - 10x = 0
x = 1
f(1) = 10e-1 = 3,68
     
  c. De helling van OA =  y/x  =  10xe-x/x  =  10e-x
10e-x = 2
e-x =  0,2
-x = ln(0,2) = -ln5
x = ln5
     
13. fa(x) = a • ex - e2x
fa' = aex - 2e2x
fa ' = 0 ⇒  aex - 2e2x  = 0  ⇒  ex(a - 2ex) = 0  ⇒  a = 2ex  ⇒  ex = 0,5a ⇒  x = ln(0,5a)
Dat betekent dat  xU = ln(0,5a)
xS = lna
xS - xU = lna - ln(0,5a) = lna - ln(0,5) - lna = -ln(0,5) = ln2
Dat is inderdaad onafhankelijk van a
     
14. a. 1 + e2x = 5/6 • 4 • ex
6 + 6e2x = 20ex 
Noem ex = p dan staat er  6 + 6p2 = 20p
6p2 - 20p + 6 = 0
p = (20 ±√(256)/12 = 3  of  1/3
ex = 3 geeft  x = ln3
ex = 1/3 geeft  x = ln(1/3) = -ln3  
     
  b. vervang x door -x:
   

    Bij die derde stap is alles met e2x vermenigvuldigd.
f(-x) = f(x) dus de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de y-as.
     
  c.

    = (-1/4e-1 + 1/4e) - (-1/4 + 1/4) = 1/4(e - 1/e)
     
15. f(x) = e  geeft  epx = e  dus  px = 1  dus  x = 1/p
f '(x) = pepx  dus  f '(1/p) = pe
De raaklijn is  y = pex + b en gaat door  (1/p, e):
e = pe • 1/p + b
⇒  b = 0
Dus de raaklijn gaat door de oorsprong.
     
16. a. f '(x) =  2e2x   en  g'(x) = 4e4x 
2e2x = 4e4x    noem nu  e2x = p  dan staat er  2p = 4p2
2p - 4p2 = 0
2p(1 - 2p) = 0
p = 0  ∨  p = 1/2.
e2x = 0  geeft geen oplossing
e2x = 1/2  ⇒  2x = ln(1/2) ⇒  x = 1/2ln(1/2) 
     
  b. y = p
p = e2x  ⇒   2x = lnp  ⇒  x = 1/2lnp
p = e4x  ⇒  2x = lnp ⇒  x = 1/4lnp

De afstand daartussen is   1/2lnp - 1/4lnp = 1/4lnp = 1
lnp = 4
p = e4   en dat is de gevraagde y-waarde.
     
17. P = (p,  ep)
f'(x) = ex  dus  f '(p) = ep
De raaklijn is de lijn  y = ep • x + b en gaat door  (p, ep)
Dat geeft  ep = ep • p + b   dus  b = (1 - p)ep  en de raaklijn is de lijn  y = ep • x + (1 - p)ep  

A = (0, (1 - p)ep)  dus  OA = (1 - p)ep 

Voor B geldt:  ep • x + (1 - p)ep   = 0  dus  x = -(1 - p)  dus  OB = (1 - p)

De oppervlakte is dan   0,5 • (1 - p) • (1 - p)ep  = 0,5(1 - p)2 • ep  
Dat is maximaal als de afgeleide nul is:    (1 - p)ep + 0,5(1 - p2)ep  = 0
ep(1 - p + 0,5 - 0,5p2) = 0
1,5 - p - 0,5p2 = 0
p2 - 2p - 3 = 0
(p + 1)(p - 3) = 0
p = -1 ∨  p = 3
p = -1  geeft maximale oppervlakte  2/e 
     
18. f ' = 1 • eax + x • a • eax

voor de top geldt  f ' = 0
 fa'(x) = eax+ axeax  = 0
eax (1 + ax) = 0
eax = 0  ∨  1 + ax = 0
ax = -1   (want eax kan niet nul zijn)
x = -1/a
y =  xeax = x • e-1  = 1/e • x   (want ax = a • -1/a = -1)
     
19. raaklijn in punt P:
f '(p) = 1/p² • e-1/p   dus dat is de r.c. van de raaklijn.
punt (p, e-1/p)  invullen geeft  e-1/p =  1/p² • e-1/p • p + b
dat geeft  b = e-1/p (1 - 1/p)
raaklijn gelijkstellen aan nul:
1/p² • e-1/p • x + e-1/p (1 - 1/p) = 0
1/p² • x = -1 + 1/p
x = -p2 + p
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:  -2p + 1 = 0
Dus p = 1/2
Dan is  x = 1/4
     
20.     P = (p, pep)  en  Q = (2p, 2pe2p)
rc PQ is gelijk aan    (2pe2p - pep)/(2p - p) = 6
2pe2p - pep  = 6p
Alles delen door p:    2e2p - ep = 6
Noem ep = a, dan is  e2p = a2
Dat geeft  2a2 - a = 6
2a2 - a - 6 = 0
a =  (1 ±√49)/4 
a = 2  ∨ a = -1,5
ep = 2 ∨ ep = -1,5  (maar dat laatste kan niet)
p = ln(2)
     
21. Vierkant V heeft zijden p dus oppervlakte  p2
Vierkant W heeft zijden ep  dus oppervlakte  e2p 
De verhouding is  p²/e2p    
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is.
Met de quotiλntregel:
 
  Dat is nul als de teller nul is:   2pe2p - 2p2 e2p = 0
2e2p(p - p2 ) = 0
p - p2 = 0
p(1 - p) = 0
p = 0  ∨ p = 1
p = 1 geeft R = 1/e²
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)