Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 655/362 = 1,81
1185/655 = 1,81
2146/1185 = 1,81
3886/2146 = 1,81
Dat is steeds gelijk en zijn stapjes van vier, dus de groei is exponentieel met g4 = 1,18
Dan is g = 1,811/4 = 1,16
punt invullen:   362 = B • 1,1618  geeft  B = 25
De formule is y = 25 • 1,16x
       
  b. 528/683 = 0,773
409/528 = 0,775
316/409 = 0,773
245/316 = 0,775
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan 0,774, dus de groei is exponentieel.
Het zijn stapjes van 5, dus  g5 = 0,774  dus  g = 0,7741/5 = 0,95
punt invullen:  683 = B • 0,9511  geeft  B = 1200
De formule is  y = 1200 • 0,95x
       
  c. 2707/2994 = 0,904
2449/2707 = 0,905
2215/2449 = 0,904
2003/2215 = 0,904
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan 0,904 dus de groei is exponentieel.
Het zijn stapjes van 10  dus  g10 = 0,904  dus  g = 0,9041/10 = 0,99
punt invullen:  2994 = B • 0,99120  geeft  B = 10000
De formule is  y = 10000 • 0,99x 
       
  d. 0,322/0,309 = 1,042
0,335/0,322 = 1,040
0,348/0,335 = 1,040
0,363/0,348 =  1,043
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan 1,04 dus de groei is exponentieel.
Het zijn stapjes van 8  dus  g8 = 1,04  dus  g = 1,041/8 = 1,005
punt invullen:  0,309 = B • 1,0056  geeft  B = 0,3
De formule is  y = 0,3 • 1,005x 
       
2. a. Lees af:  (0,4)  en (3,2)
Uit de eerste volgt direct dat B = 4.
Tweede invullen:  2 = 4 • g3   geeft  g3 = 0,5 dus  g = 0,51/3 = 0,8
De formule is dan y = 4 • 0,8x
       
  b. Lees af:  (0, 50) en (2.5, 140)
De eerste geeft direct B = 50
Tweede invullen:  140 = 50 • g2,5  Ū  g2,5 = 2,8  ⇒  g = 2,81/2,5 = 1,5
De formule is dan  y = 50 • 1,5x
       
  c. Lees af:   (0, 0.2)  en  (5,  0.5)
De eerste geeft direct B = 0,2
Tweede invullen:  0,5 = 0,2 • g5  ⇒  g5 = 2,5  ⇒  g = 2,51/5 = 1,2
De formule is dan   y = 0,2 • 1,2x
       
3. a Als A4 afmetingen L en B heeft, dan heeft A5 afmetingen  B en 0,5L
Gelijke verhoudingen betekent  L/B = B/0,5L
Daaruit volgt  B2 = 0,5L2  ⇒   L2 = 2B2  ⇒  L = √(2B2) = B • √2.
       
  b. Als de oppervlakte 1 is, geldt  L • B = 1  dus  (met het resultaat van vraag a)  B • Ö2 • B = 1
Daaruit volgt  B2 = 1/√2  ⇒  B = 0,841  en dan is  L = B • √2 =1,1892 ≈ 1,19 en dat is de beginwaarde.
Verder geldt  Ln + 1 = Bn = Ln • √2  dus de groeifactor is  g = Ö2 = 1,41
Samen geeft dat de gezochte formule.
       
4. a. Stel dat de fles op een bepaald moment x ml alcohol bevat.
Het borrelglas is 15 cl en de hele fles 200 cl, dus dat is 15/200 deel
Met een borrelglas wordt dus 15/200 deel van de alcohol verwijderd (we gaan ervan uit dat de alcohol gelijkmatig over de hele fles verspreid is).
Dan blijft  185/200 deel over en dat is 0,925.
De groeifactor is daarom 0,925.
Drinker 1 krijgt 35% alcohol, dus  P0 = P1/0,925 = 35/0,925 = 37,8 en dat is dus de beginwaarde
       
  b. 37,8 . (0,925)n  = 10
Y1 = 37,8 * 0,925^X
kijk in TABLE wanneer dat voor het eerst minder dan 10 is:  dat geeft  X = n = 18 (die krijgt 9,29%)
       
5. 897/1013 = 0,886
793/897 = 0,884
702/793 = 0,885
621/702 = 0,885
550/621 = 0,886
487/550 = 0,885
431/487 = 0,885
381/431 = 0,884
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan 0,885 dus de groei is exponentieel en de groeifactor per 1000 m is 0,885
De beginwaarde is 1013, dus de formule wordt  P = 1013 • 0,885h 
       
6. a.
x 0,9 4,5 6,2 8,9 12,1 13,4
y 8,5 70 191 935 6134 13171
    70/8,5 = 8,235  maar dat zijn  4,5 - 0,9 = 3,6 stapjes,  dus  g3,6 = 8,235 ⇒  g = 8,2351/3,6 = 1,796
191/70 = 2,729 maar dat zijn  6,2 - 4,5 = 1,7 stapjes, dus  g1,7 = 2,729  ⇒ g = 2,7291/1,7 = 1,805
935/191 = 4,895 maar dat zijn 8,9 - 6,2 = 2,7 stapjes, dus  g2,7 = 4,895  ⇒  g = 4,8951/2,7 = 1,801
6134/935 = 6,560 maar dat zijn 12,1 - 8,9 = 3,2 stapjes, dus  g3,2 = 6,560  ⇒  g = 6,5601/3,2 = 1,800
13171/6134 = 2,147 maar dat zijn  13,4 - 12,1 = 1,3 stapjes, dus g1,3 = 2,147 ⇒  g = 2,1471/1,3 = 1,800
De groeifactor is steeds gelijk dus de functie is exponentieel en g = 1,8
Vul bijv.  (0.9, 8.5) in:   8,5 = B • 1,80,9  = B • 1,697  ⇒  B = 8,5/1,697 = 5
De gezochte formule is  y = 5 • 1,8x
       
  b.
x -8,7 -7,6 -4,4 -3,5 -2,1 -1,8
y 5,00 4,45 3,18 2,89 2,50 2,42
    4,45/5,00 = 0,89  maar dat zijn -7,6 - - 8,7 = 1,1 stapjes, dus  g1,1 = 0,89  ⇒  g = 0,891/1,1 = 0,899
3,18/4,45 = 0,715  maar dat zijn  -4,4 - - 7,6 = 3,2 stapjes, dus  g3,2 = 0,715  ⇒  g = 0,7151/3,2 = 0,900
2,89/3,18 = 0,909 maar dat zijn  -3,5 - - 4,4 = 0,9 stapjes,  dus  g0,9 = 0,909  ⇒  g = 0,9091/0,9 = 0,899
2,50/2,89 = 0,865  maar dat zijn -2,1 - - 3,5 = 1,4 stapjes, dus  g1,4 = 0,865  ⇒  g = 0,8651/1,4 = 0,902
2,42/2,50 = 0,968  maar dat zijn -1,8 - - 2,1 = 0,3 stapjes, dus g0,3 = 0,968  ⇒  g = 0,9681/0,3 = 0,897
De groeifactor is steeds ongeveer gelijk dus de functie is exponentieel en g = 0,9
Vul bijv.  (-8.7, 5.00) in:   5,00 = B • 0,9-8,7  = B • 2,5  ⇒  B = 5,00/2,5 = 2
De gezochte formule is  y = 2 • 0,9x
       
7. a. Een rechte lijn door (5, 24)  en (13,30)
a = Δy/Δx = (30 - 24)/(13 - 5) = 0,75  dus  y = 0,75x + b
24 = 0,75 • 5 + b  geeft dan  b = 20,25
y = 0,75x + 20,25
       
  b. De begintemperatuur was  T = 20,25ēC  zie vraag a.
       
  c. 30/24 = 1,25  maar dat is  g6  dus  g = 1,251/6 = 1,038
24 = B • 1,0385 ⇒  24 = B • 1,204  ⇒  B = 19,92
y = 19,92 • 1,204x
       
  d. De begintemperatuur was  T = 19,92ēC  zie vraag c.  
       
8. a.
stralingsniveau (S) 161000 108000 32600 12000 4400
afstand (a) 2 4 10 15 20
    108000/161000 = 0,671  en dat is  g2  dus  g = 0,6711/2 = 0,819
32600/108000 = 0,302  en dat is g6  dus  g = 0,3021/6 = 0,819
12000/32600 = 0,368 en dat is  g5  dus  g = 0,3681/5 = 0,819
4400/12000 = 0,367  en dat is  g5  dus  g = 0,3671/5 = 0,818
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan 0,819 dus de functie is exponentieel en g = 0,819
Bijv.  (2, 161000) invullen:   161000 = B • 0,8192  = B • 0,671  ⇒  B = 161000/0,671 ≈ 240000
De formule is  S = 240000 • 0,8a
       
  b. 200 = 240000 • 0,8a
Y1 = 240000 * 0,8^X  en  Y2 = 200 en dan intersect.
Dat geeft een afstand van a = 31,8 km.
       
9. a. De afname in de kolom pH = 6,8 is steeds 12,7.
Op de plaats van KH = 6 zal dan 50,7 - 12,7 = 38,0 staan.
       
  b. 90% afname betekent dat er 10% overblijft, dus de groeifactor is 0,1.
De formule voor C wordt  C = B • 0,1pH 
Als je de pH vanaf  6,0 telt, dan kun je als beginwaarde 160,0 nemen.
De andere waarden zijn dan: 
160,0 • 0,10,4 en 160,0 • 0,10,8 en 160,0 • 0,11,2 en 160,0 • 0,11,6 en  160,0 • 0,12,0
Dat is:  63.70 en 25.36 en 10.10 en 4.02 en 1.60 en dat zijn inderdaad de waarden uit de tabel.
       
  c. pH = 7 en KH = 8  geeft uit de tabel:  50,7 • 0,10,2 = 32,0 (zie vraag 14, maar eigenlijk is het alleen van belang dat het groter dan 10 is)
(I):  8 zit tussen 6 en 10, dus klopt.
(II):  7 is tenminste 7, dus klopt.
(III): C is groter dan 10, dus klopt.
Het water is dus van goede kwaliteit.
       
10. a. model 1.
Een rechte lijn door de punten (2002, 90) en (2005,83)
Helling is  (83 - 90)/(2005-2002 = -21/3
Tussen 2005 en 2015 is Dx = 10, dus dat zou een afname van 10 • 21/3 = 231/3% geven
In 2015 zou er dan  83 - 231/3 = 59,7%  in de wei komen.

model 2.
De factor tussen 2002 en 2005 is  83/90 = 0,9222 in drie jaar.
Per jaar is de factor dan  0,92221/3 = 0.97337
Kies als beginwaarde 2005, dan is de waarde in  2015 gelijk aan  83 • 0,9733710 = 63,3%
       
  b. Als het lineair blijft dalen, dan zal het op den duur onder 0% komen en dat kan natuurlijk niet. Bij model 2 blijft het percentage altijd boven de 0%.
       

Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)