|
|||||
| 1. | a. | 1 + 4logx = 31/2
- 2 • 4log(2x) 4logx + 2 · 4log(2x) = 2,5 4logx + 4log(2x)2 = 2,5 4logx + 4log(4x2) = 2,5 4log(4x3) = 2,5 4x3 = 42,5 = 32 x3 = 8 x = 2 |
|||
| b. | 0,5logx = 2 - 3 • 4logx | ||||
 |
|||||
| Dat geeft:
4logx -2 + 3
· 4logx = 2 4log x-2 + 4logx3 = 2 4log(x-2 · x3) = 2 4logx = 2 x = 42 = 16 |
|||||
| c. |
 |
||||
| Dat geeft: 0,2log(x2 - x)
= 0,2logx x2 - x = x x2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 ∨ x = 2 De eerste valt af, dus blijft over x = 2 |
|||||
| d. | 1/2
• 3logx = 3logx - 3log5 3logx0,5 = 3log(x/5) x0,5 = x/5 x = x2/25 25x - x2 = 0 x(25 - x) = 0 x = 0 ∨ x = 25 De eerste valt af, dus blijft over x = 25 |
||||
| e. | 2 • logx = 1 + log(x + 20) logx2 - log(x + 20) = 1 log(x²/(x + 20)) = 1 x²/(x + 20) = 10 x2 = 10(x + 20) x2 - 10x - 200 = 0 (x - 20)(x + 10) = 0 x = 20 ∨ x = -10 de eerste valt af, dus blijft over x = 20 |
||||
| f. |
 |
||||
| Dat geeft:
49logx2 = 1 + 49log(x
- 10) 49logx2 - 49log(x - 10) = 1 49log(x² /(x - 10)) = 1 x² /(x - 10) = 49 x2 = 49(x - 10) x2 - 49x + 490 = 0 (x - 35)(x - 14) = 0 (het mag ook met de ABC-formule) x = 35 ∨ x = 14 Beide oplossingen voldoen. |
|||||
| 2. | a. | 2 + 3log(6 - x)
= 5 3log(6 - x) = 3 6 - x = 33 = 27 x = -21 Hiernaast zie je dat de oplossing is [-21, 6〉
|
|
||
| b. | 5 - 2logx = 4 2logx = 1 x = 2 Hiernaast zie je dat de oplossing is 〈0, 2〉 |
|
|||
| c. | 0,5log(2x - 4) - 2
= 0 0,5log(2x - 4) = 2 2x - 4 = 0,52 = 0,25 2x = 4,25 x = 2,125 Hiernaast zie je dat de oplossing is 〈2, 2.125〉 |
|
|||
| d. | 2log(x - 4)
= 2log(20 -
2x) x - 4 = 20 - 2x 3x = 24 x = 8 Hiernaast zie je dat de oplossing is [8, 10〉 |
|
|||
| e. | 4 + 2 • 0,5log(5 - x)
= 0 2 · 0,5log(5 - x) = -4 0,5log(5 - x) = -2 5 - x = 0,5-2 = 4 x = 1 Hiernaast zie je dat de oplossing is 〈1, 5〉 |
|
|||
| f. |
 |
|
|||
| Dat geeft 2log(x -
4) = 5 + 2logx-1
2log(x- 4) - 2logx-1 = 5 2log((x - 4)/x-1) = 5 (x - 4)/x-1 = 25 = 32 x(x - 4) = 32 x2 - 4x - 32 = 0 (x - 8)(x + 4) = 0 x = 8 ∨ x = -4 De oplossing is x = 8 Hiernaast zie je dat de oplossing is 〈5, 8] |
|||||
| 3. | a. | Als u 10 keer
zo groot wordt, dan wordt Mnieuw = 3 + log(10u) = 3 + log10 + logu = 3 + logu + 1 = Moud + 1 Dat is inderdaad een toename van 1. |
|||
| b. | 2,4 = 3 + log(u) -0,6 = logu u = 10-0,6 = 0,251 mm |
||||
| c. | 1,0 = 3 + log(u)
logu = -2 u = 10-2 = 0,010 1,2 = 3 + log(u) logu = -1,8 u = 10-1,8 = 0,016 Dat is dus 1,6 keer zo groot. |
||||
| d. | Voor elke magnitude
extra wordt vermenigvuldigd met 30, dus dit is een exponentiële formule
met g = 30 De beginwaarde is E(0) = 990000/30 = 33000 De formule is dan E = 33000 • 30M |
||||
| e. | Noem E de hoeveelheid
energie van een beving van magnitude 1 Vervang E door 2E: 2E = 33000 • 30M 2E/33000 = 30M M = 30log(2E/33000) = 30log2 + 30log(E/33000) Maar dat laatste is precies de magnitude die bij E hoort, dus gelijk aan 1 Dat geeft M = 30log2 + 1 = LOG(2)/LOG(30) + 1 = 1,2 |
||||
| 4. | 400 en 3500 invullen:
3500 = k • log400 k = 3500/log400 = 1345 De nieuwe situatie wordt n = 2800; 2800 = 1345 • logA logA = 2,082 A = 102,082 = 121 km2 Dan is er 400 - 121 = 279 km2 gekapt en dat is 279/400 • 100% = 69,8% |
||||
| 5. | a. | Als t = 0 moet
Z natuurlijk ook 0 zijn. 0 = 1 + 1,14log(p • 0 + c) 0 = 1 + 1,14logc -1 = 1,14logc c = 1,14-1 = 0,88 |
|||
| b. | 2 uur en 17 m3
invullen: 17 = 1 + 1,14log(p • 2 + 0,88) 16 = 1,14log(2p + 0,88) 2p + 0,88 = 1,1416 = 8,14 2p = 7,26 p = 3,63 Z = 25 geeft dan 25 = 1 + 1,14log(3,63t + 0,88) 24 = 1,14log(3,63t + 0,88) 3,63t + 0,88 = 1,1424 = 23,21 3,63t = 22,33 t = 6,15 uur |
||||
| c. | In één keer: 50 = 1 + 1,14log(4t + 0,88) 49 = 1,14 log(4t + 0,88) 4t + 0,88 = 1,1449 = 614,24 4t = 613,36 t = 153,34 uur. In drie uur maakt men Z = 1 + 1,14log(3 • 4 + 0,88) = 20,50 m3 zoet water. Als men dat twee keer doet heeft men al 41,01 m3 en dan moet er nog 8,99 m3worden geproduceerd 8,99 = 1 + 1,14log(4t + 0,88) 7,99 = 1,14log(4t + 0,88) 4t + 0,88 = 1,147,99 = 2,85 4t = 1,97 t = 0,49 uur. In totaal heeft men voor deze tweede manier dus 3 + 3 (schoonmaken) + 3 + 3 (schoonmaken) + 0,49 = 12,49 uur nodig. Dat geeft een tijdwinst van 153,34 - 12,49 = 140,85 uur. |
||||
| d. | Stel dat men t
uur pompt, dan 3 uur schoonmaakt en dan nog eens 12 - t uur
pompt. De eerste keer maakt men Z = 1 + 1,14log(4t + 0,88) m3 zoet water. De tweede keer maakt men Z = 1 + 1,14log(4(12 - t) + 0,88) m3 zoet water. In totaal is dat ZT = 1 + 1,14log(4t + 0,88) + 1 + 1,14log(4(9 - t) + 0,88) Y1 = 1 + log(4X + 0,88)/log(1,14) + 1 + log(4(9 - X) + 0,88)/log(1,14) calc - maximum geeft dan t = 6 en Z = 51,1 m3 (die t hadden we uit symmetrie-overwegingen trouwens wel kunnen verzinnen, zie je hoe?) |
||||
| 6. | a. | 50A - 24 > 0 50A > 24 A > 0,48 |
|||
| b. | L = 1,5log(50•8 – 24) = 1,5 log16,67 = LOG(16,67)/LOG(1,5) = 6,94 dagen | ||||
| c. | 10 =
1,5log(50A – 24) 50A - 24 = 1,510 = 57,67 50A = 81,67 A = 1,63 cm2 |
||||
| d. | Als je met constante verticale snelheid langs de grafiek omhoog gaat (L constant laat toenemen) dan gaat de grafiek steeds sneller naar rechts, dus A groeit steeds sneller. | ||||
| 7. | a. |
f(x) = 3log(x + 4) - 1/3 log(5
- x) vanwege het eerste deel moet x + 4 > 0 dus x > -4 vanwege het tweede deel moet 5 - x > 0 dus x < 5 Samen geeft dat domein 〈-4, 5ñ |
|||
| b. | 3log(x + 4) - 1/3 log(5 - x) = 3log8 | ||||
 |
|||||
| Dat geeft: 3log(x + 4) -
- 3log(5
- x) = 3log8 3log(x + 4) + 3log(5 - x) = 3log8 3log((x + 4)(5 - x)) = 3log8 (x + 4)(5 - x) = 8 5x - x2 + 20 - 4x = 8 x2 - x - 12 = 0 (x - 4)(x + 3) = 0 x = 4 ∨ x = -3 Beide oplossingen liggen in het domein. |
|||||
| c. | Op precies dezelfde
manier als hierboven (met a in plaats van 8) krijg je de
vergelijking: x2 - x + a - 20 = 0 Er zijn in principe verschillende manieren om maar één oplossing te krijgen. Als de discriminant van de bovenstaande kwadratische vergelijking nul is, is er maar één oplossing. (-1)2 - 4 • 1 • (a - 20) = 0 1 - 4a + 80 = 0 81 = 4a a = 20,25 dat geeft x2 - x + 0,25 = 0 (x - 0,5)2 = 0 x = 0,5 en dat ligt inderdaad in het domein. Als er twee oplossingen voor x zijn, maar eentje valt buiten het domein, dan is er ook maar één oplossing. Laten we de grensgevallen uitrekenen. x = -4 geeft (-4)2 - - 4 + a - 20 = 0 en dat geeft a = 0 x = 5 geeft 52 - 5 + a - 20 = 0 en dat geeft a = 0 x < -4 of x > 5 geeft a < 0 en dan zijn er dus helemaal geen oplossingen. De enige manier om één oplossing te krijgen blijkt a = 20,25 te zijn. |
||||
| 8. | a. | y = √(xlog4 + 4logx - 2) | |||
| Wat de logaritme
betreft moet x groter dan nul zijn. Wat de wortel betreft moet gelden xlog4 + 4logx - 2 ≥ 0 Los daarom eerst op xlog4 + 4logx - 2 = 0 |
|||||
 |
|||||
|
Dat bestaat niet als x = 1 Noem nu 4logx = p, dan staat er: 1/p + p - 2 = 0 1 + p2 - 2p = 0 (p - 1)2 = 0 p = 1 4logx = 1 ⇒ x = 4 Dat geeft het tekenbeeld: (0)-----(1)++++++(4)++++++ Deze functie bestaat voor x > 1 |
|||||
| b. |
 |
||||
| (bij de tweede stap is het tussenresultaat van vraag a) gebruikt) | |||||
| 9. | a. | Het geluidsniveau
bij de mensen moet dan 20 dB zijn, dus het geluidsniveau vóór de
wal 63 dB. 63 = 28log(v) + 16 ⇒ 47 = 28 log(v) ⇒ log(v) = 1,6785... ⇒ v = 101,6785... = 47,70... De snelheid is dus 48 km/uur (het mag uiteraard ook met de GR: intersect) |
|||
| b. | 28log(v) + 16 = 36log(v) + 1
⇒ 15 = 8log(v) ⇒ log(v) = 1,875 ⇒ D = 101,875 = 74,989... |
||||
| c. |
D1 = 28log(2v) + 16 = 28 • (log(2) + log(v))
+ 16 = 28log(2) + 28log(v) + 16 = D2 + 28log(2) |
||||
| 10. | a. | Nmax
= (8289,3 • (1,778 - log 5,40))/5,40 ≈
1605 1740 is meer dan 1605 dus de weg voldoet NIET aan de veilige norm. |
|||
| b. | Nmax is
positief als 1,778 - logB > 0 dus als logB < 1,778 logB = 1,778 ⇒ B = 101,778 ≈ 59,98 m = 5998 cm. Als 0 < B < 5998 cm dan is Nmax positief. |
||||
| c. | 1648 = (8289,3
• (1,778 - logB))/B Y1 = 1648 en Y2 = (8289,3 • (1,778 - logX))/X Window bijv. Xmin = 0, Xmax = 10, Ymin = 0, Ymax = 2000 Intersect geeft B = 5,30 De breder gemaakte weg is dus 4,80 m breed. Dat geeft Nmax = (8289,3 • (1,778 - log4,80))/4,80 = 1894 Dat zijn 1894 - 1648 = 196 auto's per uur méér. |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
