Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

sinα = ^h/₂₀ ⇒ h = 20sinα
cosα = ^x/₂₀ ⇒ x = 20cosα

oppervlakte is 2 • (0,5xh) + 40h = xh + 40h
O = 20cosα • 20sinα + 40 • 20sinα
O = 400sinαcosα + 800sinα

O' = 0
400cosαcosα + 400sinα•-sinα + 800cosα = 0
400cos²α - 400sin²α + 800cosα = 0
400cos²α - 400(1 - cos²α) + 800cosα = 0
800cos²α + 800cosα - 400 = 0
2cos²α+ 2cosα - 1 = 0
ABC-formule: cosα = ^{(-2
±√(4 +
8))}/₄ = 0,366 of -1,366 (maar die laatste kan niet)
cosα = 0,366
α = 68,5º
Dan is O = 400sin(68,5)cos(68,5) + 800sin(68,6) = 880,7

sinα = ^h/₅ ⇒ h = 5sinα
cosα = ^x/₅ ⇒ x = 5cosα

O = 4 • (0,5xh) + 2 • (8h) = 2xh + 16h
O = 2 • 5cosα • 5sinα + 16 • 5sinα
O = 50sinαcosα + 80sinα

Y1 = 50*sin(X)*cos(X) + 80*sin(X) en dan calc - maximum
Dat geeft een maximale oppervlakte van 91,67 (voor α = 65,6º)

O ' = 0
50cosαcosα + 50sinα•-sinα + 80cosα = 0
50cos²α - 50sin²α + 80cosα = 0
50cos²α - 50(1 - cos²α) + 80cosα = 0
100cos²α + 80cosα - 50 = 0
10cos²α+ 8cosα - 5 = 0
ABC-formule: cosα = ^{(-8
±√(64 +
200))}/₂₀ = 0,4124 of -1,212 (maar die laatste kan niet)
cosα = 0,412
α = 65,6º
Dan is O = 50sin(65,6)cos(65,6) + 80sin(65,6) = 91,7

cosα = ^TQ/₇₅ ⇒ TQ = 75cosα
sinα = ^PQ/₇₅ ⇒ PQ = 75sinα

PQ² + QM² = 80²
(75sinα)² + QM² = 6400
QM² = 6400 - 75²sin²α
QM = √(6400 - 5625sin²α)

TM = TQ + QM = 75cosα + √(6400 - 5625sin²α)

De afname van TM is gelijk aan de helling.
Het gaat er dus om wanneer de helling maximaal (negatief) is.
PLOT in de GR:
Y1 = 75cos(X) + √(6400 - 5625(sin(X))^2)
Y2 = nDerive (Y1, X, X)
gebruik dan calc - minimum van Y2
Dat geeft X = α = 66,2º

tanα = ^z/_x ⇒ z = xtanα
x + y + z = L ⇒ y = L - x - z ⇒ y = L - x - xtanα

O = xy + ¹/₂zx
O = x(L - x - xtanα) + ¹/₂ • xtanα • x
O = xL - x² - x²tanα + ¹/₂x²tanα
O = xL - x² - ¹/₂x²tanα

O ' = 0
L - 2x - xtanα = 0
L = 2x + xtanα
L = x(2 + tanα)
x = ^L/_{(2 + tanα)}

cosα = ²/_AC ⇒ AC = ²/_cosα
sinα = ^1,5/_BC ⇒ BC = ^1.5/_sinα

L = AC + BC = ²/_cosα + ^1,5/_sinα
De langste plaat vind je door uit te rekenen in welke situatie (bij welke hoek ) L minimaal is.
Dan is L' = 0
L = 2(cosα)^-1 + 1,5(sinα)^-1L' = -2(cosα)^-2 • -sinα + -1,5(sinα)^-2 • cosα

2sin³α = 1,5cos³α
tan³α = ^1.5/₂ = 0,75
tanα = 0,75^1/3 = 0,9086
α = 42,3º
Dan is L = ²/_cos42,3º + ^1,5/_sin42,3º = 4,933 meter en dat is ongeveer 493 cm

Oppervlakte rechthoek is x(x + y)
= cosx(cosx + sinx)
= cos²x + cosxsinx
= cos²x + ¹/₂ • 2sinxcosx
= cos²x + ¹/₂sin2x

O ' = 0
2cosx • -sinx + ¹/₂ • cos2x • 2 = 0
-2cosxsinx + cos2x = 0
cos2x = 2cosxsinx
cos2x = sin2x
cos2x = cos(¹/₂π - 2x)
2x = ¹/₂π - 2x
4x = ¹/₂π + k2π
x = ¹/₈π
O = cos²¹/₈π + ¹/₂sin(¹/₄π) = 1,207

sinα = ^h/_1,5 ⇒ h = 1,5sinα
cosα = ^x/_1,5 ⇒ x = 1,5cosα

O = 0,5 • xh + 2h
O = 0,5 • 1,5cosα • 1,5sinα + 2 • 1,5sinα
O = 1,125cosαsinα + 3sinα

O ' = 0
1,125•-sinα•sinα + 1,125•cosα•cosα + 3cosα = 0
-1,125sin²α + 1,125cos²α + 3cosα = 0
-1,125(1 - cos²α) + 1,125cos²α + 3cosα = 0
-1,125 + 1,125cos²α+ 1,125cos²α + 3cosα = 0
2,5cos²α + 3cosα - 1,125 = 0
ABC-formule: cosα = ^{(-3
±√(9 +
11,25))}/₅ = 0,3 of -1,5
cosα = 0,3
α = 1,266 (∨ α = 5,017)
O = 1,125cos1,266•sin1,266 + 3sin1,266 = 3,18 m²

maak precies dezelfde berekeningen, maar met de 1,5 en de 2 verwisseld;
sinα = ^h/₂ ⇒ h = 2sinα
cosα = ^x/₂ ⇒ x = 2cosα
O = 0,5 • xh + 1,5h
O = 0,5 • 2cosα • 2sinα + 1,5 • 2sinα
O = 2cosαsinα + 3sinα
O ' = 0
2•-sinα•sinα + 2•cosα•cosα + 3cosα = 0
-2sin²α + 2cos²α + 3cosα = 0
-2(1 - cos²α) + 2cos²α + 3cosα = 0
-2 + 2cos²α + 2cos²α + 3cosα = 0
5cos²α + 3cosα - 2 = 0
ABC-formule: cosα = ^{(-3
±√(9 +
40))}/₁₀ = -1 of 0,4
cosα = 0,4
α = 1,159 (∨ α = 5,124)
O = 2cos1,159•sin1,159 + 3sin1,159 = 3,48 m²

Dat is 0,30 m²méér en dat is ^0,30/_3,18 • 100% = 9,4% meer

Zie de volgende figuur:

De figuur bestaat uit een driehoek met zijden 2, 1.5 en 2,5 (Pythagoras) plus een driehoek met zijden 2.5, x en y.
Noem de hoek, uit de figuur b.
sinβ = ^y/_2,5 ⇒ y = 2,5sinβ
cosβ = ^x/_2,5 ⇒ x = 2,5cosβ
Oppervlakte tweede driehoek is ¹/₂ • xy = ¹/₂ • 2,5cosβ • 2,5sinβ = 3,125sinβcosβ
Dat is 1,5625 • 2sinβcosβ = 1,5625 sin(2β)
Dat is maximaal als 2β = ¹/₂π dus β =¹/₄π
Dat geeft maximale totale oppervlakte ¹/₂ • 2 • 1,5 + 1,5625 = 3,0625
tan^-1(²/_1.5) = 53,13º dus in de eerste figuur uit de opgave is α = 53,13 + 45 = 98,13º
tan^-1(^1,5/₂) = 36,87º dus in de tweede figuur uit de opgave is α = 36,87 + 45 = 81,87º

sinα = ^x/₃ ⇒ x = 3sinα
cosα = ^h/₃ ⇒ h = 3cosα

V = 2 • ¹/₂ • hx + 2 • 2h
V = hx + 4h
V = 3cosα • 3sinα + 4•3cosα
V = 9cosαsinα + 12cosα

Met de productregel:
V' = 9 • -sinα•sinα + 9cosα • cosα + 12•-sinα
= -9sin²α + 9cos²α - 12sinα
= -9sin²α+ 9(1 - sin²α) - 12sinα
= -9sin²α + 9 - 9sin²α - 12sinα
= 9 - 18sin²α - 12sinα

V ' = 0
-18p² - 12p + 9 = 0
ABC-formule: p = ^{(12 ±√(144
+ 648))}/_-36 = -1,12 of 0,448
cosα = 0,448 (want cosα = -1,12 kan niet)
α = cos^-1(0,448) = 63,36º
V = 9cos(63,36)sin(63,36) + 12cos(63,36) = 8,99

Met R en H helemaal omlaag is RA = 120 dus QA = 120 - 40 = 80
Dan is de hoogte van A gelijk aan 200 + 80 = 280

Met R en H helemaal omhoog is QA = 120 + 40 = 160
Dan is de hoogte van A gelijk aan 200 + 160 = 360

cosα = ^QF/₄₀ ⇒ QF = 40cosα = 40cos(¹/₆π) = 20√3

sinα = ^RF/₄₀ ⇒ RF = 40sinα = 40sin(¹/₆π) = 20
De driehoeken AER en HFR zijn gelijkvormig
^RF/_RH = ^RE/_RA ⇒ ²⁰/₆₀ = ^RE/₁₂₀ ⇒ RE = 40

Pythagoras: 40² + AE² = 120²
AE² = 12800
AE = √12800
x = PQ - QF + AE = 200 - 20√3 + √12800 = 278,49

Herhaal de vorige berekening met α in plaats van ¹/₆p:
cosα = ^QF/₄₀ ⇒ QF = 40cosα
sinα = ^RF/₄₀ ⇒ RF = 40sinα

De driehoeken AER en HFR zijn gelijkvormig
^RF/_RH = ^RE/_RA ⇒ ^40sin^α/₆₀ = ^RE/₁₂₀ ⇒ RE = 80sinα
Pythagoras: (80sinα)² + AE² = 120²
AE² = 14400 - 6400sin²α ⇒ AE = √(14400 - 6400sin²α) = √(1600(9 - 4sin²α)) = 40√(9 - 4sin²α)
x = PQ - QF + AE = 200 - 40cosα + 40√(9 - 4sin²α)

x = 200 - 40cosα + 40(9 - 4sin²α)^0,5
x ' = -40 • -sinα + 40 • 0,5 • (9 - 4sin²α)^-0,5 • -2•4•sinα • cosα
x ' = 40sinα - 160sinαcosα(9 - 4sin²α)^-0,5
x' = 40sinα • (1 - 4cosα • (9 - 4sin²α)^-0,5)
x ' = 40sinα • (1 - ^4cosα/_{√(9
- 4sin}2_α))

Vul α = ¹/₆π in de formule voor x' in: sinα = ¹/₂ en cosα = ¹/₂√3
x ' = 40 • 0,5 • (1 - ^{4 • 0,5√3}/_{√(9
- 1)}) = -4,49
Dat is negatief dus x wordt kleiner: het uiteinde A gaat omlaag.

10.

cosx = ^MQ/₁ ⇒ MQ = cosx
sinx = ^SQ/₁ ⇒ SQ = sinx

SQ² + QP² = 4²
QP² = 16 - SQ²
QP² = 16 - sin²x
QP = √(16 - sin²x)

MP = MQ + QP = cosx + √(16 - sin²x)

het minimum wordt bereikt als S helemaal links ligt. Dan is MP = PS - MS = 4 - 1 = 3
het maximum wordt bereikt als S helemaal rechts ligt. Dan is MP = PS + MS = 4 + 1 = 5

Als PM = PS is driehoek PMS gelijkbenig.
cosx = ^0,5/₄ ⇒ x = 82,8º
en natuurlijk ook met S onder M: x = 277,2º

Y1 = cos(X) + √(16 - (sin(X))^2) - (4 + cos(X))
calc - minimum geeft een verschil van 0,13 voor x = 90º

11.

sinx = ^GB/_AB = ²/₃ ⇒ x = sin^-1(²/₃) = 0,73 rad.

sinx = ^GB/₃ ⇒ GB = 3sinx
cosx = ^GA/₃ ⇒ GA = 3cosx

een driehoekje heeft oppervlakte 0,5 • GB • GA
= 0,5 • 3sinx 3cosx = 4,5sinxcosx
Daar zijn er 4 van.

Een rechthoek heeft oppervlakte GB • BC = 3sinx • 3 = 9sinx
Daar zijn er 2 van.

Totale oppervlakte: 18sinxcosx + 18sinx

Met de productregel;
S' = 18cosx • cosx + 18 • sinx • -sinx + 18 • cosx
S' = 18cos²x - 18sin²x + 18cosx
S' = 18cos²x - 18(1 - cos²x) + 18cosx
S' = 18cos²x - 18 + 18cos²x+ 18cosx
S' = 36cos²x + 18cosx - 18

S' = 0
36cos²x + 18cosx - 18 = 0
2cos²x + cosx - 1 = 0
ABC-formule: cosx = ^{(-1
±√(1 +
8))}/₄ = ^{(-1 ±
3)}/₄ = ¹/₂ of -1
cosx = -1 geeft oppervlakte nul.
cosx = ¹/₂ ⇒ x = ¹/₃p (60º) en dat geeft maximale oppervlakte.

12.

O = (0,0) en T = (2, 1)
De helling is ¹/₂ dus de vergelijking van OT is y = ¹/₂x

T = (2, 1) en S = (4, 0)
De helling is - ¹/₂ dus de vergelijking is y = - ¹/₂x + b
0 = - ¹/₂ • 4 + b ⇒ b = 2 dus de vergelijking van ST is y = - ¹/₂x + 2

lengte van AB = L = y_B - y_A
op traject OT: L = sin¹/₄px - ¹/₂x
Voor maximale L stel je de afgeleide nul: L ' = ¹/₄π • cos¹/₄πx - ¹/₂ = 0
cos¹/₄πx = ²/_π
¹/₄πx = cos^-1( ²/_π) = 0,88
x = 1,12
Dan is L = sin¹/₄πx - ¹/₂x ≈ 0,21
vanwege de symmetrie van de figuur vind je op traject ST hetzelfde.

13.

Bij een vierkant is de figuur symmetrisch in lijn AQ, dus is ∠RAC = ∠BAP
Samen met ∠BAC vormen deze drie een rechte hoek.
Daarom is ∠RAC = ∠BAP = ¹/₆π

Teken de lijn van C loodrecht op AP. Dat geeft punt R. Dan geldt sin(¹/₆π + x) = CR = QP
Verder in driehoek ABP: AP = cosx
AP • QP = cosx • sin(¹/₆π + x)
omdat sinα = cos(¹/₂π - α) geldt sin(¹/₆π + x) = cos(¹/₂π - (¹/₆π + x) ) = cos (¹/₃π - x)
Daarmee is de formule bewezen.

O'(x) = -sinx • cos (¹/₃π - x) + cosx • -sin(¹/₃π - x) • -1
= cosx • sin(¹/₃π - x) - sinx • cos (¹/₃π - x)
= sin(¹/₃π - x - x) = sin(¹/₃π - 2x)

O'(x) = 0 ⇒ sin(¹/₃π - 2x) = 0
⇒ ¹/₃π - 2x = 0 (mod 2π) ∨ ¹/₃π - 2x = π (mod 2π)
⇒ 2x = ¹/₃π (mod 2π) ∨ 2x = -²/₃π (mod 2π)
⇒ x = ¹/₆π (mod π) ∨ x = ²/₃π (mod π)
x = ¹/₆π geeft O = ³/₄
x = ²/₃π valt af omdat 0 ≤ x ≤ ¹/₃π
x = 0 geeft O = ¹/₂ en x = ¹/₃π geeft O = ¹/₂
Conclusie: O zit in het interval [¹/₂ , ³/₄]

14.

De twee zijstukken hebben elk oppervlakte cosα • 2sinα = sin2α dus samen 2sin2α
het middenstuk heeft oppervlakte 2 • 2sinα = 4sinα
Samen geeft dat de gezochte formule.

met de kettingregel: ^dO/_dα= 2cos2α • 2 + 4cosα
= 4cos2α + 4cosα
= 4(cos2α + cosα)

gebruik de formule voor cosa + cosb van de formulekaart met a = 2α en b = α
dat geeft 4 • (2cos¹/₂(2α + α) cos¹/₂(2α - α)) = 8cos1¹/₂αcos¹/₂α

^dO/_dα = 0
⇒ cos1¹/₂α = 0 ∨ cos¹/₂α = 0
⇒ 1¹/₂α = ¹/₂π ∨ 1¹/₂α = 1¹/₂π ∨ ¹/₂α = ¹/₂π ∨ ¹/₂α = 1¹/₂π
⇒ α = ¹/₃π ∨ α = π ∨ α = π ∨ α = 3π
Omdat 0 < α < ¹/₂π zal de oplossing moeten zijn α = ¹/₃π.
Een tekenbeeld van ^dO/_dα is (0)++++(¹/₃π)-----(¹/₂π) dus O heeft inderdaad een maximum
O(¹/₃π) = 2 • sin (²/₃π) + 4sin(¹/₃π) = 2 • ¹/₂√3 + 4 • ¹/₂√3 = 3√3

15.

Bij hoek t hoort een cirkelsector die ^t/_2π ste deel van de hele cirkel is,
dus heeft zo'n cirkelsector oppervlakte ^t/_2π • πr² = ^t/_2π • π • 4² = 8t

Een driehoek heeft rechthoekszijden 4sint en 4cost (sos cas toa) dus oppervlakte 0,5 • 4sint • 4cost

zes driehoeken en twee cirkelsectoren:
6 • 0,5 • 4sint • 4cost + 2 • 8t = 48sintcost + 16t = 24 • 2sintcost + 16t = 24sin2t + 16t

Als de hoogte 4 is, dan is de halve hoogte 2, dus is sint = ²/₄
Dat geeft t = ¹/₆π
invullen in de oppervlakteformule: O = 2²/₃p + 12√3

O is maximaal als O' = 0
O' = 16 + 24cos(2t) • 2 = 0
⇒ 48cos(2t) = -16
⇒ cos(2t) = -¹/₃Omdat de exacte waarde wordt gevraagd mogen we niet gaan afronden!!!!

De hoogte is gelijk aan 8sint
De vraag is dus: hoe groot is 8sint als je weet dat cos2t = -¹/₃???
formulekaart: cos2t = 1 - 2sin²t
-¹/₃ = 1 - 2sin²t⇒ 2sin²t = 1¹/₃
⇒ sin² t = ²/₃
⇒ sint = √(²/₃)

De hoogte is dus 8√(²/₃)