|
|||||
| 1. | a. | tan(1/3π) = √3, dus arctan(√3) = 1/3π | |||
| b. | cos(2/3π) = -1/2 dus arccos(-1/2) = 2/3π | ||||
| c. | sin(12/3π)
= -1/2√3 sin(-1/3π) = -1/2√3 dus arcsin(-1/2√3) = -1/3π |
||||
| d | tan(1/4π)
= 1 sin(1/2π) = 1 dus arcsin(1) = 1/2π |
||||
| e. | sin1/6π
= 1/2
dus arcsin(1/2)
= 1/6π tan(1/6π) = 1/3√3 |
||||
| f. | cos(31/6π)
= cos(11/6π)
= -1/2√3 cos(5/6π) = -1/2√3 dus(arccos(-1/2√3) = 5/6π |
||||
| 2. | a | noem x = tanα
(dan is arctanx =
α) zie de figuur hiernaast. sin(arctanx) = sin(α) = x/√(1 + x2) |
 |
||
| b. | noem x = cosα
(dan is arccosx =
α) zie de figuur hiernaast. tan(arccosx) = tan(α) = √(1 - x²)/x |
 |
|||
| c. | noem 2x = sinα
(dan is arcsin(2x) =
α) zie de figuur hiernaast. cos(arcsin2x) = cosα = √(1 - 4x2) |
 |
|||
| d. | noem x = tanα
(dan is arctanx =
α) zie de figuur hiernaast. sin(2arctanx) = 2sin(arctanx)cos(arctanx) (want sin(2x) = 2sinxcosx) = 2 • sinα • cosα = 2 • x/√(1 + x2) • 1/√(1 + x2) = = 2x/(1 + x2) |
|
|||
| 3. | a. | arcsinx heeft
domein [-1, 1] dus sin(arcsinx) ook, dus -1
≤ x ≤ 1 op dit domein is sin(arcsinx) = x want dat zijn elkaars inversen. de grafiek is dus de lijn y = x voor -1 ≤ x ≤ 1 |
|||
| b. | sinx heeft
domein R dus voor x mag je alles invullen. arcsin heeft bereik [-1/2π, 1/2π] arcsin(sinx) = x want dat zijn elkaars inversen. de grafiek is dus de lijn y = x voor -1/2π ≤ y ≤ 1/2π dat is dan automatisch ook het stuk -1/2π ≤ x ≤ 1/2π |
||||
| 4. | y = arcsinx spiegelen in de x-as: y = -arcsinx 1/2π omhoog schuiven: y = 1/2π - arcsinx Dus arccosx = 1/2π - arcsinx |
||||
| 5. | a. |
π +
2arcsin(2x) = 1/2π 2arcsin(2x) = -1/2π arcsin(2x) = -1/4π sin(arcsin(2x)) = sin(-1/4π) en dat mag want -1/4π valt binnen het bereik van arcsinx 2x = -1/2√2 x = -1/4√2 |
|||
| b. | 3arctan(x -
√3) = 2π arctan(x - √3) = 2/3π Dat heeft geen oplossingen want 2/3π valt niet binnen het bereik van arctanx |
||||
| c. | 1/3π + 2arccos(√x) = π | ||||
| 2arccos(√x)
= 2/3π arccos(√x) = 1/3π cos(arccos(√x)) = cos(1/3π) en dat mag want 1/3π valt binnen het bereik van arccosx √x = 1/2 x = 1/4 |
|||||
| 6. | arcsin(cosx) =
arcsin(sin(1/2π
- x) = 1/2π
- x Geldt voor -1/2π ≤ 1/2π - x ≤ 1/2π want dat is het bereik van arcsinx Dus voor 0 ≤ x ≤ π |
||||
| 7. | neem van beide kanten
de cosinus: cos(arccosx) = cos(arctanx) x = cos(arctanx) ......(1) |
||||
stel tanx = α Zie de figuur hiernaast dan is cosα = 1/√(1 + x2) dus cos(arctanx) = 1/√(1 + x2) |
 |
||||
| Dat geeft met
(1) samen: x = 1/√(1
+ x2) x√(1 + x2) = 1 x2(1 + x2) = 1 x2 + x4 = 1 x4 + x2 - 1 = 0 ABC - formule: x2 = (-1 ±√(1 + 4))/2 = -1/2 + 1/2√5 maar dat moet positief zijn, dus x2 = -1/2 + 1/2√5 Dan is x = √(-1/2 + 1/2√5) |
|||||
| 8. | cosy + xsiny
= 2 xcosy + siny = x vermenigvuldig de eerste met x: xcosy + x2siny = 2x trek dan de tweede daar vanaf: x2siny - siny = 2x - x siny • (x2 - 1) = = x siny = x/(x2 - 1) y = arcsin(x/x2 - 1) |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||