b. Het energieverbruik is minimaal als de afgeleide ervan nul is.
-12/v3 + 0,001v = 0
Vermenigvuldig alles met v3:   -12  + 0,001v4  = 0
⇒ 0,001v4 = 12   ⇒  v4 = 12/0,001 = 12000  ⇒   v = 120001/4 = 10,5 m/s
       
4. a.  f4 (x) = √(x + 4)
snijpunt y-as:   y = Ö(0 + 4) = 2  dus  Q = (0,2)
f ' = 0,5 · (x + 4)-0,5   dus  f '(0) = 0,25
De raaklijn is de lijn y = 0,25x + b en moet door  (0,2) gaan
Dat is dus de lijn y = 0,25x + 2
y = 0  geeft dan   0,25x + 2 = 0
0,25x = -2
x = -8  en het punt  (-8, 0)
       
  b. Stel R het punt  (x, √(x + 4))
De afstand tot  (0,0) is dan (met Pythagoras):  A = √(x2 + x + 4)
A is minimaal als de afgeleide nul is:   A' = 0,5(x2 + x + 4)-0,5 · (2x + 1) = 0
2x + 1 = 0  geeft  x = -0,5

Vervang de 4 door een p en je krijgt weer 2x + 1 = 0 dus weer x = -0,5
       
  c. R = (-0.5 , √(-0.5 + p))
OR heeft dan helling   √(-0,5 + p) / -0,5  = -2√(-0.5 + p)

De grafiek van f  heeft helling  f '(-0,5) =  0,5 · (-0,5  + p)-0,5   = 0,5/√(-0,5 + p)
Vermenigvuldig de hellingen ,met elkaar:   -2√(-0.5 + p) · 0,5/√(-0,5 + p)  = -1
Er komt -1 uit, en dat betekent dat de lijnen loodrecht op elkaar staan.
       
5. a. x = 52  geeft  v = 2,836 • 520,665 - 1,390 • 520,818  = 4,0376
dan is de tijd  42195/4,0376 = 10451 seconden en dat is minder dan 3 uur (3 uur is 10800 seconden)
Dus het kan volgens dit model WEL.
(opm.: volgens het model kan het eigenlijk altijd wel, want het model zegt iets over gemiddelden en niets over individuen)
       
  b. de afgeleide:  v' =  0,665 • 2,836 • x-0,335 - 0,818 • 1,390 • x-0,182
Dat moet nul zijn voor het minimum.
Voer in de GR in  Y1 = 0,665 • 2,836 • x-0,335 - 0,818 • 1,390 • x-0,182
Gebruik dan calc - minimum  en dat levert  x ≈ 27 jaar 
       
6. a. f '(x) = 0,6x2 - 1,8x + 1,2
f '(x) = 0 
⇒  0,6x2 - 1,8x + 1,2 = 0 
⇒  0,6 • (x2 - 3x + 2) = 0 
⇒  0,6 • (x - 2)•(x - 1) = 0
⇒  x = 2  ∨  x = 1
(maar gewoon met de ABC-formule  (a = 0,6 en b = -1,8 en c = 1,2) kan natuurlijk ook)
x = 2  geeft  y = 1,4   en  x = 1 geeft  y = 1,5
Het verschil van de y-coördinaten is dus 0,1. 
       
  b. Dan moet de helling van de grafiek -0,1 zijn, dus moet gelden f '(x) = -0,1
 0,6x2 - 1,8x + 1,2 = -0,1 
⇒  0,6x2 - 1,8x + 1,3  = 0 
De ABC-formule (a = 0,6 en b = -1,8 en c = 1,3) geeft de oplossingen x = 1,12 en x = 1,79
Dus die twee raaklijnen zijn er WEL.
       
7. a. f '(x) = -0,03x2 + 0,2x + 1
f '(x) = 0  Þ  (ABC-formule met a = -0,03 en b = 0,2 en c = 1) 
⇒  x = -31/3  ∨  x = 10
De top is het punt (10,10)

f '(0) = 1 dus de raaklijn heeft formule  y = x
Die gaat inderdaad door (10,10)  

       
  b. De helling van AP is Δy/Δx = -0,01x2 + 0,1x + 1 - 4/x
Calc - Maximum geeft  x ≈ 8,07 en y ≈ 0,66
De x-coördinaat is dus ongeveer 8,07
       
8. punt A:  f(x) = 0  ⇒ bx - 1/3x3 = 0  ⇒ x(b - 1/3x2) = 0 
⇒ x = 0  ∨  x2 = 3b 
⇒  x = 0  ∨  x = √(3b) ∨  x = -√(3b)
De gezochte waarde  x = √(3b)  dus ook AB = √(3b)

punt T:  f '(x) = 0 ⇒  b - x2 = 0
⇒  x = √b  ∨  x = -√b  en de gezochte waarde is  xT = √b
Dan is  yT = b√b - 1/3(√b)3

Het is een vierkant als  b√b - 1/3(√b)3 = √(3b)
⇒ b√b - 1/3b√b = √(3b)
⇒ 2/3b√b = √3b = √3 • √b
⇒ √b • (2/3b - √3) = 0
⇒ √b = 0  ∨  2/3b = √3
⇒ b = 0  ∨  b = 3/2√3
De juiste oplossing is  b = 3/2√3
       
9. A is een top van de grafiek dus daar geldt  f '= 0
4x - 4px3 = 0
4x(1 - px2) = 0
x = 0  ∨  1 = px2
x = 0 ∨   x2 = 1/p
x = 0  ∨   x = √(1/p)  (voor punt A geldt  x > 0)

xA = √(1/p)   geeft  AB = 2√(1/p)
verder is dan xA2 = 1/p  en xA4 = 1/p2
A is dan het punt  (√(1/p),  2/p - p/p2 ) =  (√(1/p),  2/p - 1/p ) = (√(1/p), 1/p)

Pythagoras geeft OA = √(1/p + 1/p2)
gelijkstellen aan AB:   √(1/p + 1/p2) = 2√(1/p)
1/p + 1/p2 = 4 • 1/p
p + 1 = 4p
1 = 3p
p = 1/3.
       
10. a. f '(x) = 300 - 3x2
f '(x) = 0  ⇒  300 - 3x2 = 0  ⇒  3x2 = 300 ⇒  x2 = 100  ⇒  x = 10  of  x =  -10
De y-coördinaten zijn  2000 en -2000, dus de toppen zijn  (10 , 2000)  en  (-10 , -2000)
       
  b. De helling in punt P is  300 - 3a2
De helling in punt Q is  300 - 3(-a)2 = 300 - 3a2
De hellingen zijn gelijk dus de raaklijnen evenwijdig.
       
11. a. 0,5x = x√x - x
1,5x - x√x = 0
x(1,5 - √x) = 0
x = 0 ∨ 1,5 - √x = 0
x = 0  ∨  √x = 1,5
x = 0  ∨  x = 2,25
De laatste is de gezochte waarde.
       
  b. g(x) = x√x - 9x =  x1,5 - 9x
g '(x) = 1,5x0,5 - 9
g '(x) = 0  geeft dan  1,5x0,5 = 9
x0,5 = 6
x = 36
Dan is y = 36√36 - 9 • 36 = -108
De top is dus  (36, -108)
       
  c. y = x√x - px
vul het punt in:   1 = 1/4√(1/4) - 1/4p
1 = 1/8 - 1/4p
1/4p = -7/8
p = -28/8 = -31/2.
       
12. f(x) = 0
(x + 1)(x2 - 5x + 5) = 0
x + 1 = 0    ∨   x2 - 5x + 5 = 0
x = -1  ∨  x =  (5 ±√(25 - 20))/2
x = -1   ∨  x = 2,5 ± √5
De laatste twee zijn  de x-coördinaten van A en B
Het gemiddelde daarvan is  ((2,5 + √5) + (2,5 - √5))/2 = 21/2  dus  M = (21/2, 0)

Voor de x-coördinaat van C moet je de afgeleide gelijkstellen een nul.
productregel:  f ' =  1 • (x2 - 5x + 5) +  (x + 1)(2x - 5) 
f ' = x2 - 5x + 5 + 2x2 - 5x + 2x - 5
f ' =  3x2 - 8x  = 0
x(3x - 8) = 0
x = 0  ∨  3x = 8
de x-coördinaat van C is  8/3
het verschil is  8/3 - 2,5 = 1/6  
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)