© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. de breedte is 4 - 2p
de hoogte is 4p - p2  (het is de y die bij x = p hoort)
oppervlakte =  (4 - 2p)(4p - p2) = 16p - 4p2 - 8p2 + 2p3 = 16p - 12p2 + 2p3
       
  b. O ' = 16 - 24p + 6p2 = 0
ABC-formule:  p =  (24 ±√(576 - 384))/12 =   3,15  of  0,84
De gezochte oplossing is p = 0,84
O = 16p - 12p2 + 2p3  = 6,16
       
  c. De omtrek is  2(4 - 2p) + 2(4p - p2) = 8 - 4p + 8p - 2p2 = 8 + 4p - 2p2 
afgeleide is nul:   4 - 4p = 0
p = 1
De omtrek is dan  8 + 4p - 2p2  = 10
       
2. a. De lengte van het lijnstuk AB is het verschil tussen beide y-waarden:
AB = (p2 – 4p + 6) - (-p2 + 8p – 20) =  p2 - 5p + 6 + p2 - 9p + 20 = 2p2 - 14p + 26
De hoogte van driehoek OAB is p
De oppervlakte is dan  A =  0,5 · p · (2p2 - 14p + 26) = p3 - 7p2 + 13p
       
  b. A' =  3p2 - 14p + 13 = 0
ABC-formule:  p = (12 ±√(196 - 156))/6 = 3,05  of  0,94
p = 0,94  geeft  A = 6,88
p = 3,05 geeft  A = 2,90
Dat laatste is de minimale oppervlakte.
       
  c. Lijnstuk AB heeft lengte 2p2 - 14p + 26
afgeleide is nul:  4p - 14 = 0  ⇒  p = 3,5
Dat valt dus NIET samen met p = 3,05
       
3.  L = f - g  =  (4x - 2x2) - (x3 - 4x2 + 4x) =  4x - 2x2 - x3 + 4x2 - 4x = -x3 + 2x2
L ' = -3x2 + 4x = 0
x(-3x + 4) = 0
x = 0  ∨  x = 4/3
x = 4/3 geeft maximale lengte  L =   -x3 + 2x2  = 32/27
       
4. x2 - 4x - 5  = 0
(x - 5)(x + 1) = 0
x = 5 ∨  x = -1

-0,5(x2- 4x - 5)  = 0
x2 - 4x - 5 = 0
Dat geeft dan ook  x = 5 ∨  x = -1

De parabolen snijden elkaar bij x = -1 en x = 5 op de x-as.
Neem aan dat de linkerkant van de rechthoek zich bevindt bij x = p

Dan is de afstand tot x = -1 gelijk aan 1 + p
De breedte van de rechthoek is dan  6 - 2(1 + p) = 6 - 2 - 2p = 4 - 2p

De hoogte van de rechthoek is  het verschil van de y-waarden:  -0,5(p2 - 4p - 5)  -  (p2 - 4p - 5)
= -0,5p2 + 2p + 2,5 - p2 + 4p + 5 
= -1,5p2 + 6p + 7,5

De oppervlakte is dan    (-1,5p2 + 6p + 7,5)(4 - 2p)
O = -6p2 + 3p3 + 24p - 12p2 + 30 - 15p
= 3p3 - 18p2 + 9p + 30

O ' = 9p2 - 36p + 9 = 0
p2  - 4p + 1 = 0
ABC-formule:  p = (4 ±√(16 - 4))/2 =  3,73  of  0,27
p = 0,27 is de gezochte waarde, en die geeft  O = p3 - 18p2 + 9p + 30 =  31,18
       
5. a. Als xA = p  dan is  AB = 6 - 2p  (een parabool is symmetrisch)
De hoogte van de driehoek is dan yA = -p2 + 6p
De oppervlakte is dan  0,5(6 - 2p)(-p2 + 6p)
= 0,5(-6p2 + 36p + 2p3 - 12p2)
= -3p2 + 18p + p3 - 6p2
= -9p2 + 18p + p3
       
  b. afgeleide is nul:   -18p + 18 + 3p2 = 0
p2 - 6p + 6 = 0
ABC-formule:   p = (6 ±√(36 - 24))/2 = 4,73  of  1,27

De juiste waarde is  p = 1,27 en dat geeft oppervlakte   -9p2 + 18p + p3  = 10,39
       
6. a. Als xS = p dan is SQ = 4 - p  en    RS = 2p2 - 4p + 3
De oppervlakte is dan  0,5 • (4 - p)(2p2 - 4p + 3)
O = 0,5(8p2 - 16p + 12 - 2p3 + 4p2 - 3p)
O = 0,5(-2p3 + 12p2 - 19p + 12)
O = -p3 + 6p2 - 9,5p + 6
       
  b. O ' = -3p2 + 12p - 9,5 = 0
ABC-formule:  p = (-12 ±√(144 - 114))/-6 = 2,91  of  1,09
p = 2,91 geeft de maximale oppervlakte.
(dat geeft  O = -p3 + 6p2 - 9,5p + 6 = 4,52)
       
7. Helling van OP is  yP/xP  = (0,3x3 - 2x2 + 4x)/x = 0,3x2 - 2x + 4
afgeleide is  nul:  0,6x - 2 = 0
x = 2/0,6 = 31/3
Dan is de helling 0,3x2 - 2x + 4 = 2/3
       
8. AB =   (-0,5x2 + 4) - (-x2 + 2x + 1) = 0,5x2 - 2x + 3
afgeleide is nul:  x - 2 = 0
x = 2
AB = 0,5x2 - 2x + 3 = 1
       
9. a. verticale afstand is   yf - yg = ( p2 – 4p + 10) - (-2p2 + 18p – 36) = 3p2 - 22p + 46
afgeleide is nul:  6p - 22 = 0
p = 22/6 = 32/3
dan is de afstand 3p2 - 22p + 46 = 52/3
       
  b. AB = yf - yg = ( p2 – 4p + 10) - (-2p2 + 18p – 36) = 3p2 - 22p + 46
de hoogte van de driehoek is p
de oppervlakte is dan  0,5p( 3p2 - 22p + 46) = 1,5p3 - 11p2 + 23p
afgeleide is nul:  4,5p2 - 22p + 23 = 0
ABC-formule:  p = (22 ±√(484 - 414))/9 = 3,37  of  1,51
p = 1,51 geeft  oppervlakte   1,5p3 - 11p2 + 23p = 14,81
       
10. a. yQ = p 
⇒  √(1 - xQ) = p 
⇒ 1 - xQ = p2 
⇒  xQ = 1 - p2
       
  b. De oppervlakte is lengte • breedte.
De breedte is  xQ - p = 1 - p2 - p
De lengte (hoogte) is yQ = p
De oppervlakte is dus  p(1 - p2 - p) = p  -  p3 - p2
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:   1 - 3p2 - 2p = 0
De ABC-formule geeft dan  p = (2 ± √(4 + 12))/-6 = -1  of  2/6
Omdat p > 0  is  p = 1/3 de juiste oplossing.
       
11. De tweede grafiek heeft vergelijking  y = (x - 2)3 = x3 - 6x2 + 12x - 8
De afstand tussen beide grafieken is dan  x3 - (x3 - 6x2 + 12x - 8)  = 6x2 - 12x + 8
Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:   12x -12  = 0 ⇒  x = 1
De afstand is dan   6 • 12 - 12 • 1 + 8 = 2
       
12. De hoogte van de rechthoek is  p2 + 4
De breedte van de rechthoek is  8 - 2p
De oppervlakte is dan  O =(p2 + 4)(8 - 2p) = -2p3 + 8p2 - 8p + 32
O ' =  -6p2 + 16p - 8 = 0
Dat geeft  p = 2  ∨  p = 2/3 
De oppervlakte is maximaal voor p = 2 en is gelijk aan  32
De oppervlakte is minimaal voor p = 2/3  en is gelijk aan  800/27 maar dat is wel een locaal minimum want voor p = 4 is de oppervlakte gelijk aan nul.  
       
13.

  a is maximaal als de afgeleide hiervan nul is:
a = 3p-1 - p-3 - 1
a '=  -3p-2 + 3p-4 = 0
vermenigvuldig alles met p4:    -3p2 + 3 = 0
3p2 = 3
p2 = 1
p = 1   (p = -1 voldoet niet)
       
14. a. f(x) = 1/(2x - 1) = (2x - 1)-1 
f '(x) = -(2x - 1)-2 • 2  = -2/(2x - 1)²
In het raakpunt is de helling -2, dus  f ' = -2
 -2/(2x - 1)² = -2
(2x - 1)2 = 1
2x - 1 = 1  of   2x - 1 = -1
x = 1  of  x = 0  maar die laatste vervalt.
x = 1  geeft  y = 1/(2 • 1 - 1) = 1  dus het raakpunt is (1,1)
l is de lijn  y = -2x + b  en die gaat door (1,1)  dus dan is b = 3
l is dus de lijn  y = -2x + 3
x = 0  geeft dan y = 3
Het snijpunt van l met de y-as is (0, 3)
       
  b. A is het punt  (a,  1/(2a - 1))
Pythagoras tussen O en A:
   
    Invoeren in de GR en dan calc - minimum  geeft  (a = 2,20866...)  OA = 1,379...
De minimale afstand is ongeveer 1,4.
       
  c. Oppervlakte  = O = 0,5 • a • 1/(2a - 1)=  a/(4a- 2)
O ' = (1 • (4a - 2) - a • 4)/(4a - 2)²  = - 2/(4a - 2)²  
De noemer is altijd positief en de teller is altijd negatief.
O ' is dus altijd negatief, dus O daalt altijd.
       
15. P = (x, 3/x³)
De rechthoek heeft hoogte 3/x³  en breedte x
De omtrek is dan  O = x + x + 3/x³ + 3/x³  =  2x + 6/x³

Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is
O = 2x + 6x-3
O '= 2 - 18x-4 = 0
18x-4  = 2
x-4 = 2/18 = 1/9
x4 = 9
x = 4√9 = 91/4  en dan is  y = 3/93/4
P = (91/4 , 3/93/4)
       
16. a. f(x) - g(x) = (-0,01x3 + 0,20x2 - 1,06x + 6,44) - (-0,01x3 + 0,16x2 - 0,50x + 1,44)
= 0,04x2 - 0,56x + 5,00

Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:   0,08x - 0,56 = 0
Dat geeft  x = 7
       
  b. h = (f  + g)/2 
h = 1/2(-0,01x3 + 0,20x2 - 1,06x + 6,44 - 0,01x3 + 0,16x2 - 0,50x + 0,44)
h = -0,01x3 + 0,18x2 - 0,78x + 3,44
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)