© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. K = √(10 + 10) = 4,47 dus  447 euro
O = 0,2 · 10 = 2 dus 200 euro
verlies is  O - K = -247 euro		  
       
  b. K = √(50 + 10) = 7,75  dus 775 euro
O = 0,2· 500 = 100 dus 1000 euro
winst = O - K = 225 euro 		 
       
  c. Als q = 1 zijn er 10 artikelen verkocht, en is O = 2 en dat is 200 euro
Als q = 2 zijn er 20 artikelen verkocht en is O = 4 en dat is 400 euro
10 artikelen leveren kennelijk 200 euro extra op, dus is de prijs per artikel  €20,-
       
  d. √(q + 10) = 0,2q
q + 10 = 0,04q2
0,04q2 - q - 10 = 0
ABC-formule:  q = (1 ±√(1 + 1,6))/0,08 = 32,66  (of -7,66 maar dat kan niet)
q = 32,66 betekent 326 à 327 artikelen. 
       
2. a. O = K
250q = 0,01q3 - 2q2 + 200q +10000
Y1 = 0,01X^3 - 2X^2 + 200X + 10000
Y2 = 250X
intersect geeft q = 70,71  en  q = 200
Er wordt winst gemaakt als  71 ≤ q ≤ 199
       
  b. W = O - K = 250q - ( 0,01q3 - 2q2 + 200q + 10000)
Y1 =  250X - ( 0,01X^3 - 2X^2 + 200X + 10000)
calc - maximum geeft q = 144,84
q = 144 geeft  W = 8812,16
q = 145 geeft  W = 8813,75
Dat laatste is de maximale winst
       
3. a. Y1 = -12X^2 + 120X + 6200
calc - maximum geeft de top bij  X = 5
Dus onder 5 euro vinden de mensen een kaartje te goedkoop
       
  b. Y1 = -12X^2 + 120X + 6200
calc - zero geeft k = 28,27
       
  c. O = k • T = k • (-12k2 + 120k + 6200)
Y1 = X * (-12X^2 + 120X + 6200)
calc - maximum geeft  X = k = 16,87  (dan is O = 81131,84)
       
  d. W = O - K = k • (-12k2 + 120k + 6200) - (10000 + 500√(200k))
Y1 =  X * (-12X^2 + 120X + 6200) - (10000 + 500√(200X))
calc - maximum  geeft  X = k = 15,93  (dan is W = 42485,76)
       
4. a. TO = 200 • 70 = 14000
TK = 1,1 • 2001,65 + 1830 = 8717,98
W = 14000 - 8717,98 = 5282 eurocent en dat is ongeveer 53 euro.
       
  b. W = 0  als  70q = 1,1• q1,65 + 1830
plot Y1 = 70X en Y2 = 1,1 • X1,65 + 1830
window bijv. Xmin 0,  Xmax = 100,  Ymin = 0,  Ymax =10000
Intersect levert X ≈ 30,58 dus er zullen minimal 31 kroketten moeten worden verkocht.
(er is nog een snijpunt bij X ≈ 553 maar dat heeft geen invloed omdat maximaal 400 kroketten worden verkocht).
       
  c. 1e manier
W is maximaal als  de afgeleide ervan nul is.; dat is als TO' = TK'
1,815 • q0,65 = 70  geeft met intersect  X ≈ 276

2e manier
plot de grafiek van W = TO - TK , bijv met window  Xmin = 0, Xmax = 400,  Ymin =0,  Ymax = 10000
gebruik calc - maximum. Dat levert  X ≈ 275,63
q = 275 geeft W = 5770,92
q = 276 geeft  W = 5770,94
Dus de winst is maximaal bij een verkoop van 276 kroketten
       
5. a. q = 0 geeft  TK =  5000/40 = 125 en dat zijn de vaste kosten.
       
  b. De helling van de lijn naar de oorsprong wordt steeds kleiner als q groter wordt.
Dat komt omdat de grafiek "bol" loopt en niet "hol"
     
  c. TK/q = 4
TK = 4q
(600q + 5000)/(q + 40) = 4q
600q + 5000 = 4q(q + 40)
600q + 5000 = 4q2 + 160q
0 = 4q2 - 440q - 5000
ABC-formule:  q = (440 ±√(193600 + 80000))/8 = 120,38   (of -10,38 maar dat kan niet)
Dus q = 120 à 121
       
  d. Teken een lijn door de oorsprong met helling 5,5.
Waar die de grafiek van TK snijdt zijn de gemiddelde kosten 5,5.

Dat is ongeveer bij q = 80
       
6. a. GK = TK/q = (0,00002q3 - 0,013q2 + 3q + 400)/q
Y1 = (0,00002X^3 - 0,013X^2 + 3X + 400)/X
T2 = 2
intersect geeft dan X = q = 214,2  of  q = 593,2
Dus bij  214 à 215  en bij  593 à 594 producten.
       
  b. Teken een lijn door de oorsprong met helling 4.
Waar die de grafiek van TK snijdt zijn de gemiddelde kosten 4.

Dat is ongeveer bij q = 150

       
  c. Teken door de oorsprong de minst steile lijn die de grafiek nog net raakt.
Dat is bij q = 400

     
  d. GK = TK/q = (0,00002q3 - 0,013q2 + 3q + 400)/q
Y1 = (0,00002X^3 - 0,013X^2 + 3X + 400)/X
calc - minimum geeft  q = 400
       
  e. O = 3q
Teken de lijn voor de opbrengst in de grafiek van de kosten.
Waar O groter is dan K is er winst.
Dat is ongeveer voor 215 < q < 590

     
  f. W = O - K = 3q - (0,00002q3 - 0,013q2 + 3q + 400)
Y1 = 3X - (0,00002X^3 - 0,013X^2 + 3X + 400)
calc - maximum geeft dan  q = 433,33
q = 433 geeft  W = 413,702
q = 434 geeft  W = 413,698
De maximale winst is dus 413,70 bij q = 433
       
7. O = p •  q
break-even als  O = K  dus K = p • q 
GK = K/q =  p•q /q = p 
       
8. a. na 3 jaar is  t = 36 en W(36) = 4944
W(0) = 1200
de winst is 4944 - 1200 = 3744
per maand is dat 3744/36 = 104
     
  b. Teken een lijn van (0, 1200) naar P
Waar die de grafiek snijdt was de gemiddelde winst even groot als in punt P.

Dat is bij ongeveer   t = 16
       
9. a. De snelheid is de afgeleide:  K ' = 0,03q2 - 6q + 250
K'(150) = 25
       
  b. K(150) = 0,001 • 1503 - 3 • 1502 + 250 • 150 + 8000 = 11750
K(151) = 0,001 • 1513 - 3 • 1512 + 250 • 151 + 8000 = 11776,51
dat is een toename van 26,51 en dat is ongeveer gelijk aan het antwoord op vraag a).
       
  c. G = K/q = (0,01q3 - 3q2 + 250q + 8000)/q = 0,01q2 - 3q + 250 + 8000/q
G(160) = 0,01 • 1602 - 3 • 160 + 250 + 8000/160 = 76
       
  d. Y1 = 0,01X^2 - 3X + 250 + 8000/X
calc - minimum geeft dan X = 164,73 
q = 164 geeft  G = 75,74
q = 165 geeft  G = 75,73
De minimale gemiddelde kosten zijn 75,73  bij q = 165.
       
10. a. p(20) = 5
p(50) = 8
Dat is een stijging van 3 en dat is gemiddeld per minuut  3/30 = 0,10
       
  b. p(40) = 7,50
per minuut levert dat 7,50/40 = 0,1875
       
  c. de opbrengst per minuut is de opbrengst gedeeld door het aantal minuten = p/t
p/t = (10t - 100)/t2
Y1 = (10X - 100)/(X^2)
calc -  maximum  geeft  t = 20  (en opbrengst per minuut 0,25)
       
  d. Dan moet de afgeleide gelijk zijn aan +0,20
Y1 = (10X - 100)/X
Y2 = nDerive (Y1, X, X)
Y3 = 0,20
calc - intersect  Y2 en Y3  geeft t = 22,36
       
  e. y = (10t - 100)/t2  = 10/t - 100/t2 = 10t-1 - 100t-2
y ' = -10t-2 + 200t-3  = 0
vermenigvuldig met t3:   -10t + 200 = 0
dat geeft  t = 20
       
  f. y = (10t - 100)/t =  10 - 100/t = 10 - 100t-1
y ' = 100t-2 = 0,20
100 = 0,20t2
t2 = 500
t = √500 = 22,36 
       
  g. 8 uur is 48 minuten
30 minuten per muts betekent 16 mutsen
de prijs is dan  (10 • 30 - 100)/30 = 6,67
de opbrengst is dan  6,67 • 16 = 106,67
       
  h. Stel dat hij x minuten aan een muts werkt.
Dan maakt hij per dag  480/x mutsen
de prijs per muts is  (10x - 100)/x
de opbrengst is dan  480/x • (10x - 100)/x = (4800x - 48000)/x2

Y1 = (4800X - 48000)/(X^2)
calc - maximum geeft dan t = 20 en een opbrengst van 120

OF:
y =  (4800x - 48000)/x2  = 4800/x - 48000/x2 = 4800x-1 - 48000x-2
y ' = -4800x-2 + 96000x-3 = 0
-4800x + 96000 = 0
x = 20
       
11. a. 2000 stuks betekent q = 20
K(20) = 240
gemiddeld is dat 240/2000 = 0,12
       
  b. de opbrengst is  O = 0,12 • (100q) = 12q
W = O - K = 12q - (0,02q3 - 1,2q2 + 24q + 80)
Y1 =    12X - (0,02X^3 - 1,2X^2 + 24X + 80)
calc - maximum geeft  q = 34,14 en W = 113,14
       
12. a. GK = K/q = (0,005q3 - 0,8q2 + 40q + 1500)/q = 0,005q2 - 0,8q + 40 + 1500/q
Y1 = 0,005X^2 - 0,8X + 40 + 1500/X
calc - minimum geeft dan q = 96,21
q = 96 geeft  GK = 24,905
q = 97 geeft GK = 24,909
Dus q = 96 geeft minimale gemiddelde kosten.
       
  b. opbrengst is O = 40q
winst is  O - K = 40q - (0,005q3 - 0,8q2 + 40q + 1500)
Y1 = 40X - (0,005X^3 - 0,8X^2 + 40X + 1500)
calc - maximum geeft  q = 106,67
q = 106 geeft  W = 1533,72
q = 107 geeft  W = 1533,985
Dat laatste is de maximale winst.
       
  c. opbrengst is  p • q
winst is  p • q - (0,005q3 - 0,8q2 + 40q + 1500)
dat is maximaal als de afgeleide nul is:  p - (0,015q2 - 1,6q + 40) = 0
dat is zo als q = 84:   p - (0,015 • 842 - 1,6 • 84 + 40) = 0
p - 11,44 = 0
p = 11,44
       
  d. break-even als  O = K
p • q = 0,005q3 - 0,8q2 + 40q + 1500
q = 50 geeft dan  50p = 0,005 • 503 - 0,8 • 502 + 40 • 50 + 1500
50p = 2125
p = 42,50
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)