© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. met de formule:
K' = 0,003q2 + 0,3q + 5
K'(20) = 0,003 • 202 + 0,3 • 20 + 5 = 12,2
(of  K(20) = 288 en K(21) = 300,411 dus  ΔK = 12,411)

met de grafiek:
teken de raaklijn in q = 20 en bepaal de helling daarvan.
dat is de blauwe lijn hiernaast.
helling is ongeveer 850/70 = 12

       
  b. met de formule:
K ' =  0,003q2 + 0,3q + 5 = 15
0,003q2 + 0,3q - 10 = 0
ABC-formule:  q = (-0,3 ±√(0,09 + 0,12))/0,006 = 26,4 
(of  -126,4 maar die voldoet niet)

met de grafiek:
teken een rechte lijn met helling 15, en verschuif die totdat hij de grafiek raakt.
dat zijn de blauwe lijnen hiernaast: ongeveer bij q = 25.

       
  c. met de formule:
G = K/q = (0,001q3 + 0,15q2 + 5q + 120)/q
G = 0,001q2 + 0,15q + 5 + 120/q
G(50) = 0,001 • 502 + 0,15 • 50 + 5 + 120/50 = 17,40

met de grafiek
trek de lijn vanaf het punt waar q = 50 naar de oorsprong en bepaal de helling daarvan
de blauwe lijn; helling ongeveer  900/50 = 18

       
  d. met de formule:
G = 0,001q2 + 0,15q + 5 + 120/q = 25
Y1 = 0,001X^2 + 0,15X + 5 +120/X
Y2 = 25
intersect geeft  q = 80  of  q = 6

met de grafiek:
trek een lijn door de oorsprong met helling 25 en kijk waar die de grafiek snijdt.
dat is ongeveer bij q = 5 en q = 80

       
  e. De marginale opbrengst is hoeveel de opbrengst toeneemt bij ιιn exemplaar extra productie.
Omdat elk exemplaar altijd €24 oplevert is de marginale opbrengst dus ook altijd €24.
       
  f. W = O - K = 24q - (0,001q3 + 0,15q2 + 5q + 120)
Y1 = 24X - (0,001X^3 + 0,15X^2 + 5X + 120)
calc - maximum geeft  q =  43,98
q = 44 geeft  W = 340,42
       
  g. W ' = 24 - (0,002q2 + 0,3q + 5)
W '(60) = 24 - (0,002 • 602 + 0,3 • 60 + 5) = -6,20
       
2. A-E-C
TK heeft constante helling, dus moet MK een constante rechte lijn zijn, en dat is E
de helling van de lijn naar de oorsprong wordt steeds kleiner , maar nooit nul. Alleen C voldoet daaraan

D-B- I
de helling van TK is in het begin groot, maar wordt steeds kleiner, en na de top negatief. Dat moet wel B zijn.
de helling van TK van de lijn naar de oorsprong wordt steeds kleiner en uiteindelijk nul. Dat is I

G-H-F
de drie die overbleven.
       
3. a. O = p • q = (12 - 0,0012q) • q = 12q - 0,0012q2
       
  b. GK = K/q = (0,001q2 + 2q + 4500)/q
GK(2500) = (0,001 • 25002 + 2 • 2500 + 4500)/2500 = 6,30
       
  c. MO = O' = 12 - 0,0024q = 2,50
0,0024q = 9,50
q = 3958

     
  d. MK is de helling van de raaklijn
GK is de helling van de lijn naar de oorsrpong
Die zijn gelijk als de raaklijn aan de grafiek door de oorsprong gaat.
Zie de groene lijn hiernaast.

q is iets meer dan 2000
     
  e. MK = K' = 0,002q + 2
GK = K/q = 0,001q + 2 + 4500/q
MK = GK:  0,002q + 2 = 0,001q + 2 + 4500/q
0,001q = 4500/q
0,001q2 = 4500
q2 = 4500000
q = 2121
       
  f. W = O - K = (12q - 0,0012q2 ) - (0,001q2 + 2q + 4500)
W = 12q - 0,0012q2  - 0,001q2 - 2q - 4500
W = -0,0022q2 + 10q - 4500
       
  g. W ' = -0,0044q + 10 = 0
0,0044q = 10
q = 2273
p = 12 - 0,0012q = 9,27
       
4. a. K = 1,20 • 500 = 600
q =  800 - 120p = 800 - 120 • 4,50 = 260
O = 260 • 4,50 = 1170,-  van de verkochte appels
O = 240 • 0,40 = 96  van het verkochte afval
W = 1170 + 96 - 600 = €666
       
  b. K = 600
q = 800 - 120p  dus er worden  (500 - (800 - 120p) = (120p - 300)  niet verkocht
O = (800 - 120p) • p   van de verkochte appels
O = (120p - 300) • 0,40 van het afval.
W = (800 - 120p)•p + (120p  - 300)• 0,40 - 600
W = 800p - 120p2 + 48p - 120 - 600
W = -120p2 + 848p - 720

W ' = -240p + 848 = 0
240p = 848
p = €3,53
W = -120 • 3,532 + 848 • 3,53 - 720 = €778,13
       
  c. q = 300
300 =  800 - 120p
120p = 500
p = 25/6
W = 730

q = 301
301 =  800 - 120p
120p = 499
p = 499/120
W = 731,26

De marginale winst is  €1,26
       
  d. volg de berekening van vraag b) maar nu met A in plaats van 500

A geeft kosten   K = 1,2A
q = 800 - 120p  dus er worden  (A - (800 - 120p) = (A + 120p - 800)  niet verkocht
O = (800 - 120p) • p   van de verkochte appels
O = (A + 120p - 800) • 0,40 van het afval.
W = (800 - 120p)•p + (A + 120p - 800)• 0,40 - 1,2A
W = 800p - 120p2 + 0,4A + 48p - 320 - 1,2A
W = -120p2 + 848p - 0,8A - 320

W ' = -240p + 848  en die hangt niet van A af.
       
  e. W ' = 0 geeft  p = 3,53
A moet zo klein mogelijk zijn om W zo groot mogelijk te maken.
Maar A + 120p - 800 (de hoeveelheid niet verkochte appels) kan niet kleiner dan nul worden.
A + 120 • 3,53 - 800 = 0
A = 376,4 kg
Dan is W = -120 • 3,532 + 848 • 3,53 - 0,8 • 376,4 - 320 = €877,01
       
5. a. W(0) = 1000
De toename is  W - 1000 = 2/3t3 -35t2 + 500t
Voor de gemiddelde toename moet je dat door t delen:  
2/3t2 - 35t + 500 = 80
2/3t2 - 35t + 420 = 0
ABC formule geeft  t = 33,94  of  18,56  (De laatste is de gezochte t)

Teken in de grafiek vanaf (0, 1000) een lijn met helling 80
Het is de blauwe lijn in de grafiek hieronder. Dat geeft punt P
       
  b. W '= 2t2 - 70t + 500 = 0
t2 - 35t + 250 = 0
(t - 30)(t- 5) = 0
t = 30  of  t = 5

De grafiek daalt tussen de punten Q en R. Zie de figuur hieronder
       
  c. W ' = 2t2 - 70t + 500 = 100
t2 - 35t + 200 = 0
ABC-formule geeft  t = 27,81  of  t = 7,19

Teken een willekeurige lijn met helling 10, en verschuif die totdat hij de grafiek raakt. Dat geeft punt S in de grafiek hieronder
       
 

       
6. Met de quotiλntregel,  als  GK = TK/q:
 
  Dat is nul als de noemer nul is:  TK' • q - TK = 0
q = TK/TK'
Dan is  GK = TK/q = TK • 1/q = (met de q van hierboven)= TK • TK'/TK = TK'
En dat laatste is precies de marginale kosten, dus  GK = MK.
       
7. a. W = 800 + 120√(q + 10) - 0,02q2
Voer de formule in bij Y1 en gebruik calc - maximum.
Dat geeft  q = 128  (en W = 1882)
       
  b. Y1 = 800 + 120√(q + 10)
calc - dy/dx met X = 128 geeft helling 5,11

Y1 = -0,02X^2
calc - dy/dx met X = 128 geeft helling 5,12

klopt dus wel ongeveer
       
8. zoek het langste verticale lijnstukje tussen beide grafieken.}
dat is ongeveer bij q = 300  (maar het is nogal slecht af te lezen)
       
9. a. Teken een lijn van de oorsprong naar het punt van de grafiek waar q = 3.
De helling van de die lijn is ongeveer 450000/300 = 1500

Waar die groene lijn de grafiek snijdt is de helling, dus de gemiddelde kosten) gelijk. Dat is bij ongeveer  q =  5, dus 500 exemplaren

     
  b. De marginale kosten zijn het kleinst als de grafiek zo "vlak" mogelijk loopt (dan is de helling minimaal).
Dat is ongeveer bij q = 2,5
       
  c. GK is minimaal als de helling van de lijn naar de oorsprong zo klein mogelijk is. Teken daarom een lijn vanaf O die net de grafiek nog raakt. Dat is ongeveer bij q = 4 (dus 400 exemplaren)

       
  d. GK = 100000K/100q = 1000 • (0,2q3 - 1,6q2 + 4,5q)/q
GK = 200q2 - 1600q + 4500

1500 = 200q2 - 1600q + 4500
200q2 - 1600q + 3000 = 0
q2 - 8q + 15 = 0
(q - 5)(q - 3) = 0
q = 5  ∨  q = 3 dus de productie is 500 of 300
       
  e. O = 300000q want  q = 1 is 100 piano's
in honderdduizenden is dat O = 3q
W = 3q - (0,2q3 - 1,6q2 + 4,5q)   (in honderdduizenden)
W ' = 3 - 0,6q2 + 3,2q - 4,5 = 0
-0,6q2 + 3,2q - 1,5 = 0
ABC-formule geeft q = -4,81  ∨  q = 4,81
Die laatste geeft de maximale winst:  481 piano's dus.
       
10. a. O = p • q = (0,004q - 0,000005q2 ) • q = 0,004q2 - 0,000005q3  
MO = O ' = 0,008q - 0,000015q2
q = 300  geeft dan MO = 0,008 • 300 - 0,000015 • 3002 = 1,05
       
  b. MO = 0,008q - 0,000015q2
GO = O/q = 0,004q - 0,000005q2  
0,008q - 0,000015q2  = 0,004q - 0,000005q2  
0 = 0,00001q2 - 0,004q
q(0,00001q - 0,004) = 0
q = 0 ∨  q = 400
       
  c. MO = 0,008q - 0,000015q2
MO is maximaal als de afgeleide ervan nul is.
MO ' = 0,008 - 0,000030q = 0
q ≈ 267
       
11. a. q =  400000 - 100 • 3840 = 16000
O = 16000 • 3840 = 61440000
K = 500000 + 16000 • 3800 = 61300000
W = 61440000 - 61300000 = €140000
       
  b. Stel de verkoopprijs gelijk aan p
q =  400000 - 100p
O = q • p =  (400000 - 100p) • p = 400000p - 100p2
K =  500000 + 3800q = 500000 + 3800 • (400000 - 100p)
W = 400000p - 100p2 - 500000 - 3800 • (400000 - 100p)
W ' = 400000 - 200p + 3800 • 100 = 0
780000 - 200p = 0
p = €3900
W = €500000  (en q = 10000 stuks)
       
  c. Schrijf de winst als functie van q
q = 400000 - 100p
100p = 400000 - q

p = 4000 - 0,01q
O = (4000 - 0,01q) • q = 4000q - 0,01q2 
K = 500000 + 3800q
W = (4000q - 0,01q2) - (500000 + 3800q)
W = 200q - 0,01q2 - 500000

Per stuk is dan de winst:  W/q = 200 - 0,01q - 500000/q = 36200 - 0,01q - 500000q-1
De afgeleide is nul:  -0,01 + 500000q-2 = 0
500000q-2 = 0,01
q2 = 50000000
q = 7071
W/q = 200 - 0,01 • 7071 - 500000/7071 =  €58,58
       
  d. Doe de berekening van c) met 400000 ipv 500000

p = 4000 - 0,01q
O = (4000 - 0,01q) • q = 4000q - 0,01q2 
K = 400000 + 3800q
W = (4000q - 0,01q2) - (400000 + 3800q)
W = 200q - 0,01q2 - 400000

Per stuk is dan de winst:  W/q = 200 - 0,01q - 400000/q = 36200 - 0,01q - 400000q-1
De afgeleide is nul:  -0,01 + 400000q-2 = 0
400000q-2 = 0,01
q2 = 40000000
q = 6324
W/q = 200 - 0,01 • 6324 - 400000/6324 =  €73,51
Dat is een toename van  73,51 - 58,58 = 14,93
Koen heeft NIET gelijk
       
12. a. p = 100 - 0,8q
O = p • q = (100 - 0,8q) • q = 100q - 0,8q2
K = 0,001q3 + 0,4q + 1000.
W = (100q - 0,8q2) - (0,001q3 + 0,4q + 1000)

W ' =  100 - 1,6q - 0,003q2 - 0,4 = 0
-0,003q2 - 1,6q + 99,6 = 0
ABC-formule geeft dan  q = 56,3  (of  q = -590 maar dat voldoet niet)
       
  b. De marginale kosten is hoeveel ιιn extra rekenmachine kost.
De gemiddelde kosten zijn hoeveel zijn andere rekenmachines opbrengen, en als dat geen verlies geeft, zal die extra rekenmachine zeker geen verlies opleveren als hij goedkoper is dan wat de rest gemiddeld kost.
       
  c. GK = K/q = (0,001q3 + 0,4q + 1000)/q = 0,001q2 + 0,4 + 1000/q
MK =  K ' = 0,003q2 + 0,4

gelijkstellen:  0,001q2 + 0,4 + 1000/q = 0,003q2 + 0,4
1000/q = 0,002q2
1000 = 0,002q3
q3 = 500000
q = 5000001/3 = 79,4
ongeveer 79 machines.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)