© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Teken de raaklijn in t = 10. Dat is de rode lijn hiernaast.
Lees de helling daarvan af.
De lij gaat ongeveer door (7.5, 20) en (17.5, 120)
Δy/Δx = (120 - 20)/(17.5 - 7.5) = 10
Dus 10 cm/dag.
     
  b. Teken de verbindingslijn tussen  (10, 55) en (30,190)
Die heeft helling  Δy/Δx = (190 - 55)/(30 - 10) = 6,75
De gemiddelde groeisnelheid was 6,75 cm/dag.

Verschuif de blauwe lijn totdat hij de grafiek raakt. Dat geeft de blauwe stippellijn en die raakt de grafiek bij t ≈ 17. Toen groeide de zonnebloem met deze snelheid.

 
     
  c. Teken een willekeurige lijn met helling 4. Dat is de groene stippellijn. Verschuif die lijn totdat hij de grafiek raakt. Dat is ongeveer bij t = 23
       
2. a. 52 - 3 • 5 = 10  dus het punt (5, 10)
5,0012 - 3 • 5,001 = 10,007 dus het punt  (5.001, 10.007)
De helling is  (10.007 - 10)/(5.001 - 5) = 7
De raaklijn is dan y = 7x + b
Daar moet (5, 10) op liggen:  10 = 7 • 5 + b ⇒  b = -25
De raaklijn is  y = 7x - 25  
       
  b. 2√4 - 4  = 0  dus het punt (4, 0)
2√4,001 - 4,001 = -0,0005 dus het punt  (4.001, -.0005)
De helling is  (-0,0005 - 0)/(4.001 - 4) = -0,5
De raaklijn is dan y = -0,5x + b
Daar moet (4, 0) op liggen:  0 = 4 • -0,5 + b ⇒  b = 2
De raaklijn is  y = -0,5x + 2  
       
  c. 1,42 = 1,96 dus het punt (2, 1.96)
1,42.001 = 1,96066 dus het punt  (2.001, 1.96066)
De helling is  (1,96066 - 1,96)/(2.001 - 2) = 0,66
De raaklijn is dan y = 0,66x + b
Daar moet (2, 1.96) op liggen:  1.96 = 0,66 • 2 + b ⇒  b = 0,64
De raaklijn is  y = 0,66x + 0,64  
       
3. a. Teken de raaklijn in het punt waar t = 4 (de groene lijn hiernaast).
Die gaat ongeveer door (3, 9) en (5.6, 30)
De helling is  Δy/Δx = (30 - 9)/(5,6 - 3) = 8 dus de snelheid is 8 m/sec.

     
  b. Teken een willekeurige lijn met helling12. De gestippelde paarse lijn hiernaast. Verschuif die evenwijdig totdat hij de grafiek raakt.
Dat is ongeveer bij t = 8 (de paarse lijn)
     
  c. 0,1• 83 - 82  + 9 • 8 =  59,2
0,1 • 8,0013 - 8,0012 + 9 • 8,001 = 59,2122
De helling is  (59,2122 - 59,2)/(8,001 - 8) = 12,2
Dat klopt dus redelijk. 
       
  d. Blauw finisht als A = 100
100 = 0,1t3 - t2 + 9t
Y1 = 100 en Y2 = 0,1X^3 - X^2 + 9X en dan intersect geeft t = 10,4994
De grafiek gaat door  (10.4994, 100)
0.1 • 10,49953 - 10,49952 + 9 • 10,4995 = 100,00196 dus de grafiek gaat door  (10.4995, 100.00196)
De helling is dan  (100.00196 - 100)/(10.4995 - 10.4994) = 19,6 m/s
       
4. f(2) = 2 · 2 + 4/(2 - 1) = 8 dus punt (2,8)
f(2,001) = 2 · 2,001 + 4/(2,001 - 1) = 7,998
Δy/Δx = (7,998 - 8)/(2,001 - 2) = -0,002/0,001 = -2
De raaklijn is  y = -2x + b en moet door  (2,8) gaan
8 =  -2 · 2 + b ⇒   b = 12  dus de raaklijn is  y = -2x + 12

f(5) = 2 · 5 + 4/(5 - 1) = 11 dus punt (5,11)
f(5,001) = 2 · 5,001 + 4/(5,001 - 1) = 11,00175
Δy/Δx = (11,00175 - 11)/(5,001 - 5) = 0,00175/0,001 = 1,75
De raaklijn is  y = 1,75x + b en moet door  (5,11) gaan
11 =  1,75 · 5 + b ⇒   b = 2,25  dus de raaklijn is  y = 1,75x + 2,25

-2x + 12 = 1,75x + 2,25
9,75 = 3,75x
x = 2,6
y = -2x + 12 = -2 · 2,6 + 12 = 6,8
S = (2.6, 6.8)
       
5. a De koelkasttemperatuur is de temperatuur op t = 0
T(0) = (40 · 0 + 13)/(3 + 2 · 0) = 13/3 = 4,33 ˚C

De kamertemperatuur is de temperatuur die de fles uiteindelijk gaat krijgen.
Vul een erg grote t in.
T(100000.....) = (40 · 1000000.... + 13)/(3 + 2 · 100000....)  = 40/2 = 20 ˚C
       
  b. 19,5 = (40t + 13)/(3 + 2t)
19,5(3 + 2t) = 40t + 13
58,5 + 39t = 40t  +13
45,5  = t
De fles moet er 45,5 uur voor tijd uitgehaald worden.
       
  c. T(2) = (40 · 2 + 13)/(3 + 2 · 2) =  93/7  = 13,2857
T(2,001) = (40 · 2,001 + 13)/(3 + 2 · 2,001) =  13,2876
ΔT/Δt = (13,2876 - 13,2857)/(2,001 - 2) = 1,9
De temperatuur stijgt met  1,9 C/uur. en is 13,2857 graden
De temperatuur moet nog 19,5 - 13,2857 = 6,2143 graden stijgen dus dat duurt  6,2143/1,9 = 3,27 uur
       
6. a. D(7) = (1000 · 7 + 2000)/(72 + 800) = 10,60
D(15) = (1000 · 15 + 2000)/(152 + 800) = 16,58
De gemiddelde toename is  (16,58 - 10,60)/(15 - 7) = 0,7475  cm/dag
       
  b. 17 = (1000t + 2000)/(t2 + 800)
17(t2 + 800) = 1000t + 2000
17t2 + 13600 = 1000t + 2000
17t2 - 1000t + 11600 = 0
ABC-formule:  t = (1000 ±√(1000000 - 788800)/34 = 42,9  of  15,9
De tocht kan van dag 16 tot en met dag 42 gehouden worden.
       
  c. D(39) =  (1000 · 39 + 2000)/(392 + 800) = 17,66480
D(39,001) =  (1000 · 39,001 + 2000)/(39,0012 + 800) = 17,66464
ΔD/Δt = (17,66480 - 17,66464)/(39,001 - 39) = 0,16
De laag roeit met 0,16 cm/dag.
       
  d. De stippellijn hiernaast heeft helling 0,5
Teken een lijn met die helling vanaf punt t = 1
Die snijdt de grafiek bij t = 14

Dus op 14 januari was de groei vanaf 1 januari 0,5 cm/dag.

       
  e. 9 februari 30 cm betekent het punt (40,30)
De raaklijn aan een punt van de grafiek moet door )40,30) gaan
Teken vanaf (40,30) een lijn die de grafiek raakt.

Dat geeft punt van de grafiek t = 7 à 8 dus op 7 of 8 januari riep hij dat.

       
  f. D(35) = 0,001 · 353 - 0,06 · 352 + 1,2 · 35 + 7 = 18,375
D(35,001) = 0,001 · 35,0013 - 0,06 · 35,0012 + 1,2 · 35,001 + 7 = 18,375675
 ΔD/Δt = (18,375675 - 18,375)/(35,001 - 35) = 0,675
De laag groeide met 0,675 cm/dag.
       
7. a. Dat is 20, want dat zorgt ervoor dat h groter wordt als t in het begin groter wordt.
       
  b. De vierde seconde loopt van t = 3 tot t = 4
h(3) =  60 + 20 • 3 - 4,9 • 32  =  75,9
h(4) =  60 + 20 • 4 - 4,9 • 42  =  61,6
De gemiddelde snelheid is dan  Δh/Δt = (61,6 - 75,9)/(4 - 3) = -14,3 m/sec
       
  c. h(3) =  60 + 20 • 3 - 4,9 • 32  =  75,9
h(3) =  60 + 20 • 3,001 - 4,9 • 3,0012  =  75,8906
Δh/Δt =  (75,8906 - 75,9)/(3,001 - 3) = -9,4 m/sec
       
  d. De bal komt op de grond als h = 0
60 + 20t - 4,9t2  = 0
ABC-formule:   t =  (-20 ±Ö(400 + 1176))/-9,8 = -2,01  of  6,0917
dus  h(6,0917) = 0
h(6,0918) = -0,00313
Δh/Δt = (-0,0031 - 0)/(6,0918 - 6,0917) = 31,3  m/sec
       
8. Teken de raaklijn aan het punt waar de grafiek het steilst loopt:
 

  Deze lijn gaat bij 0,2 opzij ongeveer 1,2 omhoog
De helling is dan  1,2/0,2 = 6 liter per seconde
Dat is 360 liter per minuut.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)