|
|||||
| 1. | a. | f(x) = 4x2
+ 2x - 6 bij x = -3. f '(x) = 8x + 2 dus f '(-3) = -22 f(-3) = 4 (-3)2 + 2 -3 - 6 = 24, dus het raakpunt is (-3, 24) y = -22x + b ⇒ 24 = -22 -3 + b ⇒ b = -42 De raaklijn is y = -22x - 42 |
|||
| b | f(x) = 4√x
- 5 bij x = 4. f '(x) = 0,5 4 x-0,5 dus f '(4) = 1 f(4) = 4√4 - 5 = 3, dus het raakpunt is (4, 3) y = x + b ⇒ 3 = 4 + b ⇒ b = -1 De raaklijn is y = x - 1 |
||||
| c. | f(x) = 4 - 6/x
bij x = -2. f '(x) = -1 -6x-2 dus f '(-2) = 1,5 f(-2) = 4 - 6/-2 = 7, dus het raakpunt is (-2, 7) y = 1,5x + b ⇒ 7 = 1,5 -2 + b ⇒ b = 10 De raaklijn is y = 1,5x + 10 |
||||
| d. | f(x) = 3x4 - 5x2
+ 2x bij x = 1. f '(x) = 12x3 - 10x + 2 dus f '(1) = 4 f(1) = 0, dus het raakpunt is (1, 0) y = 4x + b ⇒ 0 = 4 1 + b ⇒ b = -4 De raaklijn is y = 4x - 4 |
||||
| e. | f(x) = x2√x
bij x = 2. f '(x) = 2,5 x1,5 dus f '(2) = 5√2 f(2) = 4√2, dus het raakpunt is (2, 4√2) y = 5√2 x + b ⇒ 4√2 = 5√2 2 + b ⇒ b = -6√2 De raaklijn is y = 5√2 x - 6√2 |
||||
| 2. | y = 10x
+ p heeft helling 10, dus moet de grafiek in het raakpunt ook
helling 10 hebben. f ' = 6 - 2x = 10 2x = -4 x = -2 f(-2) = 6 -2 - (-2)2 = -16 dus het raakpunt is (-2, -16) Daar moet y = 10x + p doorheen gaan: -16 = 10 -2 + p dat geeft p = 4 |
||||
| 3. |
f(x) = 1/x2
+ 2x2 √x +
4 = x-2 + 2x2,5 + 4 f ' = -2x-3 + 5x1,5 f '(1) = 3 dus de raaklijn is y = 3x + b Daar moet (1,7) op liggen: 7 = 3 1 + b ⇒ b = 4 De raaklijn is dan y = 3x + 4 |
||||
| 4. | f ' = 6x2
- 12x + 1 f '= 49 geeft 6x2 - 12x + 1 = 49 6x2 - 12x - 48 = 0 x2 - 2x - 8 = 0 (x - 4)(x + 2) = 0 x = 4 ∨ x = -2 x = 4 geeft raakpunt (4, 36). y = 49x + b wordt dan 36 = 49 4 + b ⇒ b = -160 de eerste raaklijn is y = 49x - 160 x = -2 geeft raakpunt (-2, -34) y = 49x + b wordt dan -34 = 49 -2 + b ⇒ b = 64 de eerste raaklijn is y = 49x + 64 De verticale afstand daartussen is de afstand tussen de snijpunten met de y-as en die is 160 + 64 = 224 |
||||
| 5. | Noem het punt P(a,
a2) f ' = 2x dus f '(a) = 2a dus de raaklijn is de lijn y = 2ax + b Die moet door (a, a2) gaan: a2 = 2a a + b b = -a2 De raaklijn is dus y = 2ax - a2 De horizontale lijn door de top is de x-as Snijpunt van de raaklijn met de x-as: 0 = 2ax - a2 2ax = a2 x = 1/2a Dat is inderdaad midden tussen de top (x = 0) en punt Q (x = a) |
||||
| 6. | Alks de grafiek de
x-asw raakt zal de helling daar nul moeten zijn. f (x) = x3 - 2x2 - 15x + 36 f ' = 3x2 - 4x - 15 = 0 ABC-formule: x = (4 ą√(16 + 180))/6 = (4 ą 14)/6 = 3 of -5/6 x = 3 geeft y = 33 - 2 32 - 15 3 + 36 = 0 dus dat ligt inderdaad op de x-as (x = -5/6 geeft y ģ 46,5) |
||||
| 7. | a. | T(t) = 0,02t3 - 0,4t2
+ 2t + 37 T ' = 0,06t2 - 0,8t + 2 T'(0) = 2 De temperatuur neemt in het begin toe met 2 ēC/dag |
|||
| b. | T '(4) = 0,06 42
- 0,8 4 + 2 = -0,24 T(4) = 0,02 43 - 0,4 42 + 2 4 + 37 = 39,88 Het moet nog 39,88 - 37 = 2,88 ēC afnemen, dus dat duurt 2,88/0,24 = 12 dagen |
||||
| 8. | a. | y
= xn y ' = nxn - 1 y '(1) = n 1n - 1 = n De raaklijn is de lijn y = nx + b en gaat door (1,1) 1 = n 1 + b ⇒ b = 1 - n De raaklijn is y = nx + 1 - n Die snijdt de y-as (x = 0) inderdaad bij y = 1 - n |
|||
| b. | y = 0 0 = nx + 1 - n nx = n - 1 x = (n - 1)/n = 1 - 1/n De raaklijn snijdt de x-as in (1 - 1/n , 0) |
||||
| 9. |
y = -a(x2 - 1) T ligt bij x= 0 ⇒ y = -a -1 = a dus T = (0, a) Snijpunt met de x-as: x2 - 1 = 0 dus (1, 0) en (-1,0) Neem bijvoorbeeld het punt (1,0) y ' = -a 2x y '(1) = -a 2 1 = -2a dus de raaklijn is y = 2ax + b en moet door (1,0) gaan 0 = -2a 1 + b geeft b = 2a dus de raaklijn is y = -2ax + 2a Die snijdt de y-as in S = (0, 2a) en dat is inderdaad twee keer zo hoog als T. |
||||
| 10. | a. | f '(x)
= 1/2√(x
+ 8) dus f '(1) =
1/6 De raaklijn is dan y = 1/6x + b en gaat door (1, 3) 3 = 1/6 1 + b geeft b = 25/6 De raaklijn is y = 1/6x + 25/6 |
|||
| b. |
√(9,03) = 1/6
1,03 + 25/6
= 3,005 de werkelijke wortel is 3,00499584 Dat is een afwijking van 0,00000416 en dat is 0,000138% |
||||
|
Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||