|
|||||
| 1. | a. | y =
√(2x - 4) y2 = 2x - 4 2x = y2 + 4 x = 1/2y2 + 2 |
 |
||
 |
|||||
| = 144/15p | |||||
| b. | y = ln(2x) ey = 2x x = 1/2ey |
 |
|||
 |
|||||
| c. | y = 1/2x3
2y = x3 x = (2y)1/3 |
 |
|||
 |
|||||
| d. | y = 1/(2x
+ 1) - 1 y + 1 = 1/(2x + 1) 2x + 1 = 1/(y + 1) 2x = 1/(y + 1) - 1 x = 1/(2y + 2) - 1/2 |
 |
|||
 |
|||||
| = p • { (-1/8 - 1/2ln4 + 1/4) - (-1/4 - 1/2ln2) } = p • (3/8 - 1/2ln2) | |||||
| 2. | a. | √8
= 81/2 = (23)1/2 = 21,5 y = x1/3 geeft dan (21,5)1/3 = 20,5 = √2 y = 1/2x geeft dan 1/2 • 21,5 = 2-1 • 21,5 = 20,5 = √2 |
 |
||
| b. | De punten van V liggen in het algemeen verder van de y-as af dan van de x-as, dus zal wentelen om de y-as waarschijnlijk een grotere inhoud geven. | ||||
| c. | om de x-as: Y1 = p • (X^(1/3))^2 calc - òf(x)dx en X tussen 0 en √8 geeft inhoud 10,663 Y1 = p • (0,5X)^2 calc - òf(x)dx en X tussen 0 en √8 geeft inhoud 5,924 De gezochte inhoud is dus 10,663 - 5,924 = 4,739 |
||||
| om de y-as; y = x1/3 geeft x2 = y6 Y1 = p • (X^6) calc - òf(x)dx en X tussen 0 en √2 geeft inhoud 5,078 y = 1/2x geeft x2 = 4y2 Y1 = p • 4X^2 calc - òf(x)dx en X tussen 0 en √2 geeft inhoud 11,848 De gezochte inhoud is dan 11,848 - 5,078 = 6,770 |
|||||
| d. |
 |
||||
| (√8)5/3
= (21,5)5/3 = 22,5 = 22 • 20,5
= 4√2 Dus dit is 12/5p√2 |
|||||
 |
|||||
| (√8)3
= (21,5)3 = 24,5 = 24 • 20,5
= 16√2 Dus dit is 4/3p√2 De inhoud bij wentelen om de x-as is dan 12/5p√2 - 4/3p√2 = 16/15p√2 |
|||||
 |
|||||
| (√2)7 = (√2)6 • √2 = 8√2, dus dit wordt 8/7p√2 | |||||
 |
|||||
| (√2)3
= 2√2 dus dit wordt
8/3p√2 De inhoud bij wentelen om de y-as is dan 8/3p√2 - 8/7p√2 = 32/21p√2 |
|||||
| 3. | y = 1/(x
+ 2) x + 2 = 1/y x = 1/y - 2 x2 = (1/y - 2)2
x = 4 geeft y = 1/(4 + 2) =
1/6
deel II omwentelen: |
 |
|||
 |
|||||
| = p • { (-2 - 4ln1/2 + 2) - (-6 - 4ln1/6 + 2/3) } = p (51/3 - 4ln3) | |||||
| 4. | W om de x-as; | ||||
 |
|||||
| V om de y-as: y = x2 geeft direct: |
|||||
 |
|||||
| 1/5pp5
= 1/2pp4
1/5p5 - 1/2p4 = 0 p4(1/5p - 15) = 0 p = 0 Ú p = 2,5 |
|||||
| 5. | a. |
 |
|||
|
|
|||||
| b. | y =
√(x + 3)
Þ y2 = x + 3
Þ x = y2 - 3 Þ
x2 = (y2 - 3)2 y = x2 - 9 Þ x2 = 9 + y |
||||
 |
|||||
 |
|||||
| = p
• { (1/5
• 9√3 - 6√3
+ 9√3) - (0) } = 44/5p√3 samen is dat dus p • (401/2 + 44/5√3) |
|||||
| 6. | y = 10/x
Þ x2 = 100/y2
x = 1 geeft y = 10 |
||||
 |
|||||
| 7. | a. |
 |
 |
||
| daar moet nog een rechthoek van 1
bij 0,5 van af dus is de oppervlakte ln2 - 1/2 |
|||||
| b. | y = 1/(x + 1) Þ x + 1 = 1/y Þ x = 1/y - 1 Þ x2 = (1/y - 1)2 | ||||
 |
|||||
| = p • (0 + 1,5 + 2ln0,5) = p • (11/2 - 2ln2) | |||||
| 8. | Verschuif het
vlakdeel eerst 1 naar rechts, dan kun je wentelen om de y-as. Dan worden de vergelijkingen y = x - 2 en y = 2√(x - 2) y = x - 2 Þ x = y + 2 Þ x2 = y2 + 4y + 4 y = 2√(x - 2) Þ x - 2 = (0,5y)2 Þ x = 1/4y2 + 2 Þ x2 = 1/16y4 + y2 + 4 |
 |
|||
 |
|||||
 |
|||||
| = p • {752/15 - 0} = 502/15p | |||||
| trek die twee inhouden van elkaar af: dat geeft 191/5p | |||||
| 9. | W wentelen geeft een halve bol, dus als je de parabool wentelt om de y-as moet dat het dubbele opleveren, dus een hele bol. | ||||
 |
|||||
| Dus 1/2πr2
= 4/3πr3
1/2 = 4/3r r = π • 1/2 = 3/8 |
|||||
| 10. | a. | Als (x, y) op de grafiek van f
ligt, dan ligt (y, x) op de grafiek van finv. Dus geldt x = -2 + 3√(y - 1) x + 2 = 3√(y - 1) (x + 2)3 = y - 1 (x + 2)(x + 2)2 + y - 1 (x + 2)(x2 + 4x + 4) = y - 1 x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = y - 1 y = x3 + 6x2 + 12x + 9 Dat klopt! |
|||
| b. | x = 0 geeft y = 9 | ||||
 |
|||||
| invoeren in de GR en dan calc - integraal geeft inhoud ongeveer 33,9 | |||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
