|
|||||
| 1. | a. |
√(x8 - x6)
= √x6
·√(x2
- 1) = x3 ·√(x2
- 1) substitueer x = 1/cosu, dan is √(x2 - 1) = tanu en dx = tanu/cosu ·du. |
|||
 |
|||||
| een primitieve is
1/5tan5u
+ 1/3tan3u x = 1/cosu geeft tanu = √(x2 - 1) (teken maar zo'n driehoekje) De primitieve wordt dan F = 1/5(x2 - 1)2,5 + 1/3(x2 - 1)1,5 |
|||||
| b. |
 |
||||
| substitueer nu
1/2x
= 1/cosu, dan is x =
2/cosu en dx = 2tanu/cosu
du de integraal wordt dan: |
|||||
 |
|||||
| terug naar x:
x = 2/cosu geeft u
= arccos(2/x) en tanu =
1/2√(x2
- 4) (teken maar zo'n driehoekje) dan is de primitieve: F = √(x2 - 4) - 2arccos(2/x) |
|||||
| c. |
 |
||||
| substitueer 1/4x
= sinu , dan is x = 4sinu en dx
= 4cosudu de wortel wordt dan gelijk aan cosu, dus dat geeft voor de integraal: |
|||||
 |
|||||
| Die sinu is op
een minteken na gelijk aan de afgeleide van cosu, dus een primitieve is dan -64cosu + 64/3 · cos3u terug naar x: sinu = x/4 geeft cosu = 1/4√(16 - x2) (weer met zo'n driehoekje) dan is de primitieve: F = -16√(16 - x2) + 1/3(16 - x2)1,5 |
|||||
| d. | Substitueer x = tanu Dan is √(1 + x2) = cosu en dx = 1/cos2udu |
||||
 |
|||||
| die cosu is precies de afgeleide van sinu , dus als je sinu eventjes X noemt, staat er: | |||||
 |
|||||
| zoals je ziet zijn we
weer aan het breuksplitsen. A - B = 0 en A + B = 1 geeft A = B = 1/2 de primitieve wordt dan: |
|||||
 |
|||||
| als x = tanu dan is sinu = x/√(1 + x2) (weer met zo'n driehoekje) | |||||
 |
|||||
| e. | Substitueer x = sinu dan is dx = cosudu en √(1 - x2) = cosu | ||||
 |
|||||
| Als x = sinu
dan is u = arcsinx dat geeft primitieve F = -tan(1/2π - arcsinx) |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||