© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Eerst maar de oppervlakte onder de grafiek van f:
 
  Driehoek OAB heeft oppervlakte 8
Dus heeft het onderste vlakdeel in het trapezium oppervlakte 22/3
Dus het bovenste ook, dus het hele trapezium heeft oppervlakte 51/3.
Trapezium plus OAB hebben samen oppervlakte 131/3
Dus  0,5c2 = 131/3
c2 = 262/3
c = √(262/3)
       
2. y = 4  geeft als snijpunt met 1/x :  x = 1/4
y = 4 geeft als snijpunt met 1/x2  :  x = 1/2
Splits het oppervlak in twee delen:
Tussen x = 1/4 en x = 1/2 het vlakdeel tussen y = 4 en y = 1/x
Tussen  x = 1/2 en x = 1 het vlakdeel tussen y = 1/x2 en y = 1/x   
Dat geeft de som van twee integralen:
 
  = {(2 - ln0,5) - (1 - ln0,25)} + {(-1 - ln1) - (-2 - ln0,5)}
=  2 - ln0,5 - 1 + ln0,25 - 1 - ln1 + 2 + ln0,5
=  2 + ln0,25
= 2 - ln4
       
3.
  = -cos(4/3π) + cos(5/3π) + cos(1/3π) - cos(2/3π) =  1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2
       
4. a. x4 - 6x2 - 8x + 5 = -8x
x4 - 6x2 + 5 = 0
noem x2 = p dan staat er  p2 - 6p + 5 = 0
(p - 5)(p - 1) = 0
p = 5  ∨   p = 1
x2 = 5 ∨  x2 = 1
x = √5  ∨  x = -√5  ∨ x = 1  ∨  x = -1
De laatste twee zijn de buigpunten dus de andere snijpunten hebben x-coördinaten x = √5 en x = -√5
       
  b.
    =  (1/5 - 2 + 5) - (-1/5 + 2 - 5)
= 31/5 + 31/5 = 62/5
Dat is inderdaad de gemeenschappelijke oppervlakte van V1 en V3 (31/5 + 31/5)
       
5. a. y = 1  ⇒  1 + x - 2√x = 1
x - 2√x = 0
√x(√x - 2) = 0
√x = 0  ∨ √x = 2
x = 0  ∨  x = 4
   

       
  b. Noem het punt  (p,  1 + p - 2√p)
f '(x) = 1 - 1/√x   dus  f '(p) = 1 - 1/√p
De raaklijn is de lijn  y = (1 - 1/√p) • x + b  en moet door (p,  1 + p - 2√p) gaan.
1 + p - 2√p = (1 - 1/√p) • p + b
1 + p - 2√p = p - √p + b
b = 1 - √p
De raaklijn is de lijn  y = (1 - 1/√p) • x + 1 - √p

snijpunt x-as:   0 =   (1 - 1/√p) • x + 1 - √p
(1 - 1/√p) • x = √p - 1
(√p - 1) • x = p - √p
x = (p - √p)/(√p - 1)  = √p(√p - 1)/(√p - 1) = √p

Snijpunt y-as:    y = 1 - √p   (dat was immers de b van de raaklijn)

OA + OB = √p + 1 - √p  = 1  
       
6. a.
    cos(π - p) = -cos(p)
dat geeft A(p) = - -2cosp + 2cos(p) = 4cos(p)		  
       
  b. Als die oppervlakten gelijk zijn, dan is W de helft van A.
Dus W = 2cos(p)
De breedte van W is π - p - p = π - 2p
De hoogte van W is  2sin(p)
De oppervlakte van W is dan  (π - 2p) • (2sin(p)
Dus moet gelden  (π - 2p) • (2sin(p) = 2cos(p)
Y1 = (π - 2p) • (2sin(p)
Y2 = 2cos(p)
intersect levert  p ≈ 0,41
       
7. P = (4, 4)  en  R = (4, √8)
 

  =  32/3 - 16/3√2 = 2/3(16 - 8√2)
De oppervlakte van driehoek PRS is 1/2 •  8 •  (4 - √8)  = 16 - 8√2
De verhouding tussen het valkdeel en de driehoek is dus  2 : 3
       
8. ex  - 1 = 3(1 - e-x)
ex - 1 = 3 - 3e-x
noem ex = p  dan staat er  p - 1 = 3 - 3/p
p2 - p = 3p - 3
p2 - 4p + 3 = 0
(p - 3)(p - 1) = 0
p = 3  ∨  p = 1
ex = 3 ∨ ex = 1
x = ln3 ∨  x = 0
       
 
  = (4ln3 + 3e-ln3 - eln3) - (0 + 3 - 1)
= 4ln3 + 1 - 3 - 3 + 1
= 4ln3 - 4
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)