© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. De grafiek heeft periode 2π/0,5 = 4π, dus snijdt de x-as bij x = 2π en 4π...  
 
     
 
  Dus moet het tweede deel nog oppervlakte 3 geven:  
 
  6cos(0,5p) + 6 = 3
6cos(0,5p) = -3
cos(0,5p) = -0,5
0,5p = 2/3π  ∨  0,5p = 4/3π
p = 4/3π ∨   p = 8/3π
De eerste is  p = 4/3π
       
2. 2/x = a  geeft  x = 2/a
Het gebied bestaat uit een rechthoek van  2/a bij a  en een deel onder de grafiek tussen x = 2/a en x = a
De rechthoek heeft oppervlakte 2, dus het deel onder de grafiek moet oppervlakte 4 hebben.
       
 
       
  4lna - 2ln2 = 4
4lna = 4 + 2ln2
lna = 1 + 1/2ln2 = lne + ln(√2) = ln(e/√2)
a = e/√2 = 1/2e√2
       
3.
  1/2e2p - ep - 71/2 = 0
Noem ep zolang a dan staat er  a2 - 2a - 15 = 0
(a - 5)(a + 3) = 0
a = 5 ∨  a = -3
De gezochte oplossing is  a = 5 en dat geeft  ep = 5  dus  p = ln5
       
4. De oppervlakte van de hele rechthoek is 3b dus de oppervlakte van het deel tussen de x-as en de grafiek van f moet 1,5b zijn.
Een primitieve van f(x) is de functie  F(x) = 6 • ln|x + 2| - 3x, dus:
 
  Invoeren van het linkerdeel en het rechterdeel van deze vergelijking in de GR en de oplossing met INTERSECT vinden geeft  b ≈ 5,03
       
5.
  Dan is de oppervlakte van V gelijk aan  n2 - 1/3n2 = 2/3n2
De verhouding is dan  1 : 2 en onafhankelijk van n
       
6.
  = 1/2 - ea + 1/2e2a

1/2(1 - ea )2 = 1/2 • (1 - ea )(1 - ea) = 1/2 (1 - ea - ea + e2a ) = 1/2(1 - 2ea + e2a ) = 1/2 - ea + 1/2e2a
Dat is inderdaad hetzelfde.
       
7.
  omdat  -1/2e -2p  altijd kleiner dan nul is (voor p > 0) , is dit dus kleiner dan 1/2.
       
8. a. Het snijpunt van y = ax  met  y = 4x - x2:
ax = 4x - x2  ⇒  x2 + ax - 4x = 0  ⇒ x(x + a - 4) = 0  ⇒  x = 0  of  x = 4 - a 
Als x = 4 - a dan is  y = ax = a(4 - a) = 4a - a2
       
  b. Voor de oppervlakte van een vlakdeel tussen twee grafieken moet je de integraal van de bovenste min de onderste nemen:
   
    {2(4 - a)2 - 1/3(4 - a)3 - 1/2a(4 - a)2 } - {0}
Nu kun je alle haakjes wegwerken en van 1/6(4 - a)3 ook, en dan laten zien dat het gelijk is.
Het gaat sneller zo:
2(4 - a)2 - 1/3(4 - a)3 - 1/2a(4 - a)2
= (2 - 1/2a) • (4 - a)2  - 1/3(4 - a)3
= 1/2(4 - a) • (4 - a)2  - 1/3(4 - a)3
=  1/2(4 - a)3  - 1/3(4 - a)3
= (1/2 - 1/3)(4 - a)3
= 1/6(4 - a)3
       
  c. 4x - x2 = 0 ⇒ x(4 - x) = 0 ⇒  x = 0  of  x = 4
   
    Dan moet het bovenste deel dus  51/3 zijn, dus  1/6(4 - a)3 = 51/3
(4 - a)3 = 32  ⇒  4 - a = (32)1/3  ⇒   a = 4 - 321/3
       
9.
  =  (-cosπ - 1/2acos2π) - (-cos0 - 1/2acos0) = --1 - 1/2a - -1 + 1/2a = 2
En dus is dat onafhankelijk van a
       
10. punt A:  f(x) = 0 ⇒  -x3 + 3px2 = 0 ⇒  x2(-x + 3p) = 0  ⇒  x = 0  Ú  x = 3p  Dus A = (3p, 0)

de rechthoek:
T:  f ' (x) = 0 ⇒ -3x2 + 6px = 0  ⇒  3x(-x + 2p) = 0  ⇒  x = 0  ∨  x = 2p
x = 2p geeft  y =   -(2p)3 + 3p • (2p2) = -8p3 + 3p • 4p2 =  -8p3 + 12p3 = 4p3    dus  T = (2p, 4p3)
De oppervlakte van de rechthoek is dan   3p • 4p3  = 12p4

het grijze gebied:    
 
  de verhouding is dan  27/4p4 : 12p4 = 27/4 : 12 = 27 : 48 = 9 : 16  en dat is onafhankelijk van p
       
11. Bereken de oppervlakte van het bovenste stuk.
Snijpunt van f met de bovenkant van de rechthoek:  1/x = 1/p  dus  x = p
 
  = 2 - ln2p - 1 + lnp
= 2 - ln2 - lnp - 1 + lnp
= 1 - ln2
Dat is inderdaad onafhankelijk van p
       
12.
  =  p(3p)3 - 1/4(3p)4  
= 27p4 - 81/4p4
= 63/4p4 

De oppervlakte van het rechterdeel is dan  63/4p4 - 3/4p4 = 6p4

6p4 is inderdaad 8 keer zo groot als 3/4p4   
       
13. snijpunt:   e-2x = ex + a   ⇒  -2x = x + a  ⇒    x = -1/3a 
 

 

Dat is gelijk aan 1/2, dus   ea  - 1,5e2/3a  =  0

⇒  e1/3a = 1,5

⇒   1/3a = ln(1,5)  ⇒   a = 3ln(1,5)  ≈  1,216...
       
14. Snijpunt:  √x = 1/2√x  ⇒ 1/2√x = 0  ⇒ √x = 0  ⇒ x = 0
 
 
  gelijkstellen:   1/3a3/2 = 8/3 - 1/3a3/2
2/3a3/2 = 8/3
a3/2 = 4
a = 42/3
       
15. a.
       
  b. Voor p = 0 vind je dat de hele oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as, de y-as en de grafiek van f gelijk is aan  2/3(0 + 9)1,5 = 2/3 • 27 = 18
De oppervlakte van V moet dus gelijk zijn aan 18/8
2/3 • (p + 9)1,5 = 18/8
(p + 9)1,5 = 27/8
p + 9 = (27/8)2/3 = 9/4
p = 9/4 - 9 =  -63/4
       
16. a. x2 = 3x  ⇒  x = 0 ∨  x = 3
     
    parabooldeel omwentelen:
   

       
    rechte lijn omwentelen:
   

       
    Het vlakdeel heeft inhoud  401/2π - 27π = 131/2π
       
  b. Q = (a , a2 )  dus OQ is de lijn  y = ax  
       
   

       
    (1/2a3 - 1/3a3 ) - (0)  + (8/3a3 - 2a3 ) - (1/3a3 - 1/2a3) = 8
1/6a3 - 0  + 1/3a3  + 1/6a3 = 8
a3 = 8
a = 2
       
17. Snijpunt:  ax = √x  ⇒   a2x2 = x  ⇒  x = 1/a²  ∨   x = 0
 

  1/6a-3 = 102/3
a-3  = 64
a = 1/4
       
18. de rechte lijn OP is de lijn   y = px
de oppervlakte van V is dan:
 
  de raaklijn in (p, p2)  heeft helling  y' = 2x = 2p
raakpunt invullen:   p2 = 2p • p + b geeft  b = -p2
de raaklijn is  y = 2px - p2
snijden met de x-as:  2px - p2 = 0
2px = p2  
x = 1/2p
De oppervlakte van OAP is  1/2 • 1/2p • p2 = 1/4p2 

1/4p2  is inderdaad precies gelijk aan 1,5 • 1/6p2
       
19.            
       
20. a. De oppervlakte van de rechthoek is 4q
De oppervlakte onder de grafiek  moet dus 2q zijn.
   
    8√(q + 1) - 8 = 2q
8√(q + 1) = 2q + 8
64(q + 1) = (2q + 8)2
64q + 64 = 4q2 + 32q + 64
4q2 - 32q = 0
4q(q - 8) = 0
q = 0  Ú  q = 8
Maar q > 0  dus de oplossing is  q = 8
       
  b. Voor g geldt:  x = 4/√(y + 1) 
√(y + 1) = 4/x
y + 1 = (4/x)2
y = 16/x²  - 1

Snijpunt:
Y1 = 16/x²  - 1
Y2 = 4/√(x + 1) 
Calc - intersect geeft  X = 2,22....

Y3 = Y2 - Y1
calc -  òf(x)dx   Y3
Lower Limit x = 2,22....
Upper limit  x = 4
Dat geeft oppervlakte 2,10....
Afgerond dus 2,1
       
21. a. Als F een primitieve is dan moet gelden  F = f

F '=  1/(x2 - 11x + 30) • (2x - 11)  =  (2x - 11)/(x2 - 11x + 30) 

Neem de beide breuken van f samen:
   
    Dat is inderdaad gelijk aan  F '
       
  b.
    ln(12) - ln(2) = ln( p2 - 11p + 30) - ln12
ln(12) + ln(12) - ln(2) = ln( p2 - 11p + 30)
ln(12 • 12/2) = ln( p2 - 11p + 30)
ln(72) = ln( p2 - 11p + 30)
p2 - 11p + 30 = 72
p2 - 11p + -42 = 0
(p + 3)(p - 13) = 0
p = -3  ∨ p = 13
De oplossing is p = 13
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)