|
|||||
| 1. | zie de figuur hiernaast. Het is de integraal van ydx (zet rechthoekjes rechtop) dx = (3t2 - 3)dt Bereken de oppervlakte onder de grafiek tussen t = -2 en t = -1 (in die volgorde zodat dx positief is) Trek daarna het stuk tussen t = 1 en -1 er weer af, (in die volgorde zodat dx positief is) dan hou je het lusje over. |
|
|||
 |
|||||
| met bovengrens -1 en
ondergrens -2 geeft dat 1,65 - -7,2 = 8,82 met bovengrens -1 en ondergrens 1 geeft dat 1,65 - - 3,15 = 4,8 De oppervlakte van het lusje is dan 8,82 - 4,8 = 4,02 |
|||||
| 2. | Leg de rechthoekjes zoals
hiernaast neer xdy = (2cost - cos2t) (2cost - 2cos(2t)) dt |
|
|||
 |
|||||
| daarbij is alleen de bovenste helft van de figuur genomen. De t-grenzen zijn zo gekozen dat dy steeds positief is. | |||||
 |
|||||
| Y1 = (2cos(X) -
cos(2X))^2 calc - ∫f(x)dx voor x tussen 0 en π geeft oppervlakte 7,854 De hele oppervlakte is dan het dubbele daarvan (boven en onder de x-as) dus 15,7 |
|||||
| 3. | zie de figuur hiernaast. dy = 1/(2√t) dt |
|
|||
 |
|||||
| (4/3√2 - 4/5√2) - (0) = 8/15√2 | |||||
| 4. | zie de figuur
hiernaast. dx = etdt |
 |
|||
 |
|||||
| Y1 = (X - X^2)*e^X calc - ∫f(x)dx voor x tussen 0 en 1 geeft oppervlakte 1,04 |
|||||
| 5. | y(t)
= 1 - cost = 0 cost = 1 t = 0, 2π, 4π, ... dx = (1 - cost)dt ydx = (1 - cost)(1 - cost) = 1 - 2cost + cos2t = 1 - 2cost + 1/2 + 1/2cos2t = 11/2 - 2cost + 1/2cos2t |
||||
 |
|||||
| = (3π)
- (0 ) = 3π |
|||||
| 6. | y(t)
= 1 + 2sint = 0 sint = -1/2 t = 15/6π ∨ t = 11/6π dy = 2costdt xdy = -4cost · 2costdt = -8cos2t = -8(1/2 + 1/2cos2t) = -4 - 4cos2t |
 |
|||
 |
|||||
| = (-2π
- 0) - (-28/6π
- √3) = 22/3π + √3 |
|||||
| 7. | y = 0 4cos2t - 4cost + 1 = 0 cost = (4 ±√(16 - 16))/8 = 1/2 t = 1/3π ∨ t = 12/3π dat geeft x = √3 x = -√3 ydx = (4cos2t - 4cost + 1) 2cost dt = (8cos3t- 8cos2t + 2cost) dt Y1 = 8(cos(X))^3 - 8(cos(X))^2 + 2(cos(X)) calc - ∫f(x)dx voor x tussen 12/3π en 1/3π geeft oppervlakte 27,1 |
||||
| 8. | y = 0 -1/2t2 + 2 = 0 t2 = 4 t = 2 ∨ t = -2 ydx = (-1/2t2 + 2) (-t + 2) = 1/2t3 - t2 - 2t + 4 |
||||
 |
|||||
| 9. | a. | Bereken de oppervlakte van het blauwe deel
hiernaast. xdy = 8sintcost 3costdt = 24sintcos2t neem de integraal van 0 tot 1/2π dan is dy positief. |
|
||
 |
|||||
| De hele figuur heeft dan oppervlakte 4 8 = 32 | |||||
| b. | Het blauwe deel
omcirkelen geeft cilinderschijfjes met dikte dy en straal x De inhoud van zon cilinderschijfje is π x2 dy = π (8sintcost)2 3cost dt = 192π sin2t cos3t dt Y1 = 192π * (sin(X))^2 * (cos(X))^3 calc - ∫f(x)dx voor x tussen 0 en 1/2π geeft inhoud 80,4 De hele inhoud van de omgewentelde 8 is dan het dubbele daarvan: 160,8 |
||||
| 10. | y =
1/2 1 - 1/t = 1/2 1/t = 1/2 t = 2 y = 0 1 - 1/t = 0 1/t = 1 t = 1 xdy = t2e-t 1/t2 dt = e-t dt |
||||
 |
|||||
| 11. | a. | zie de plot hiernaast De kromme wordt ιιn keer doorlopen voor bijv. t in [1/2π, 11/2π] |
|
||
| b. | y = 0 geeft
x = 1/4π,
5/4π,
7/4π,
9/4π x ' = -cost y ' = -2sin(2t) v = √(cos2t + 2sin22t) Y1 = √((cos(X))^2 + 2(sin(2X))^2) calc - ∫f(x)dx voor x tussen 3/4π en 11/4π geeft lengte 2,09 voor de kromme. Daar komt het stuk tussen de snijpunten met de x-as nog bij. Die liggen bij x = 1 - 1/2√2 en 1 + 1/2√2 dus die afstand is √2 De omtrek is dan 2,09 + √2 = 3,50 |
||||
| c. | ydx = cos(2t) (-cost)dt | ||||
| Y1 = -cos(2X)*cos(X) calc - ∫f(x)dx voor x tussen 3/4π en 11/4π geeft oppervlakte 0,9428 |
|||||
| 12. | a. | x = 0 t2 - 2t - 3 = 0 (t - 3)(t + 1) = 0 t = 3 ∨ t = -1 dat geeft de punten (0, -2) en (0, -0.4) x ' = 0 2t - 2 = 0 t = 1 dat geeft het punt (-4, -2/3) als t naar 4 gaat wordt t oneindig groot/klein en gaat x naar 5. als t oneindig groot/klein wordt gaat y naar 0 en wordt x oneindig groot. |
 |
||
| b. | y = 2 geeft
2/t- 4 = 2 t - 4 = 1 t = 5 en dan is inderdaad x = 12 x '= 2t - 2 dus x '(5) = 8 y '= -2(t - 4)-2 dus y '(5) = -2 de helling is y'/x' = -2/8 = -0,25 y = -0,25x + b geeft dan 2 = -0,25 · 12 + b dus b = 5 De raaklijn is y = -0,25x + 5 |
||||
| c. | dat vlakdeel ligt
tussen t = 3 en t = -1 (zie vraag a) xdy = (t2 - 2t - 3) · -(t - 4)-2 dt Y1 = - (X^2 - 2X - 3)(X - 4)^(-2) calc - ∫f(x)dx voor x tussen 3 en -1 geeft oppervlakte 1,66 |
||||
| 13. | a. | K snijdt zichzelf in
(0,0) voor t = 0 en t = 6 x ' = -2t + 6 dus x '(0) = 6 en x '(6) = -6 y ' = -t2 + 4t dus y'(0) = 0 en y'(6) = -12 voor t = 0 is de helling 0/6 = 0 voor t = 6 is de helling -12/-6 = 2 Het deel met helling 2 snijdt het deel met helling nul onder een hoek tan-1(2) = 63,4Ί |
|||
| b. | x' = -2t +
6 = 0 t = 3 dus het meest rechtse punt van de kromme wordt bereikt voor t = 3 ydx = ( -1/3t3 + 2t2)(-2t + 6)dt = (2/3t4 - 2t3 - 4t3 + 12t2)dt = (2/3t4 - 6t3 + 12t2)dt voor de bovenkant loopt t van 6 tot 3 (dan is dx positief) voor de onderkant loopt t van 0 naar 3 (dan is dx positief) |
||||
 |
|||||
| = (0) - (-43,2) = 43,2 | |||||
| 14. | a. | evenwijdig aan de
x-as y ' = 9cos2t = 0 t = 1/4π, 3/4π, 5/4π, 7/4π Dat geeft de punten ( ±3/2√2, ±41/2) evenwijdig aan de y-as x ' = 3cost = 0 t = 1/2π ∨ t = 3/2π Dat geeft de punten (3, 0) en (-3, 0) |
|||
| b. | (41/2sin(2t)2
?=? (3sint)2 (9 - (3sint)2) 201/4 sin2(2t) ?=? 9sin2t (9 - 9sin2t) 201/2 (2sintcost)2 ?=? 81sin2t - 81sin4t 81sin2t cos2t ?=? 81sin2t - 81sin4t 81sin2t (1 - sin2t) ?=? 81sin2t - 81sin4t 81sin2t - 81sin4t ?=? 81sin2t - 81sin4t q.e.d. |
||||
| c. | een rechthoekje
hiernaast heeft oppervlakte ydx dx = 3costdt voor de bovenste helft van het rechter vlakdeel loopt t van 0 naar 0,5π |
|
|||
 |
|||||
| = 27 { -1/3 0 - - 1/3 1) = 9 | |||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
