|
|||||
| 1. | a. | evenwijdig x-as; y ' = -sint + cost = 0 sint = cost t = 1/4π ∨ t = 11/4π Dat geeft de punten (0, √2) en (0, -√2) (A en B hiernaast) evenwijdig y-as; x' = -2sin2t = 0 sin2t = 0 2t = 0 + k2π ∨ 2t = π + k2π t = 0 + kπ ∨ t = 1/2π + kπ t = 0, 1/2π, π, 11/2π Dat geeft de punten (1, 1) en (-1, 1) en (1, -1) en (-1, -1) (C, D, E, F hiernaast). |
 |
||
| b. | evenwijdig x-as; y ' = -sint + √3cost = 0 sint = √3cost tant = √3 t = 1/3π ∨ t = 11/3π Dat geeft de punten (-1, 2) en (1, -2) (A en B hiernaast). evenwijdig y-as; x' = -sint - √3cost = 0 sint = -√3cost tant = -√3 t = 2/3π ∨ t = 12/3π Dat geeft de punten (-2, 1) en (2, -1) (C en D hiernaast). |
 |
|||
| c. | evenwijdig x-as; y ' = 2t - 4 = 0 t = 2 Dat is het punt (0, -1) (A hiernaast) evenwijdig
y-as; |
 |
|||
| d. | evenwijdig x-as; y' = 2cos(2t) = 0 cos2t = 0 t = 1/4π, 3/4π, 11/4π, 13/4π Dat zijn de punten: (-31/2√2, 1) ( -31/2√2, -1) (31/2√2, 1) (31/2√2, -1) De punten G, H, I, J hiernaast. evenwijdig y-as; x ' = 12sin2tcost - 9cost = 0 cost(12sin2t - 9) = 0 cost = 0 ∨ sin2t = 3/4 cost = 0 ∨ sint = 1/2√3 ∨ sint = -1/2√3 t = 1/3π, 1/2π, 2/3π, 11/3π, 11/2π, 12/3π Dat zijn de punten; (-3√3, 1/2√3) (-5,0) (-3√3, -1/2√3) (3√3, 1/2√3) (5, 0) (3√3, -1/2√3) (A, B, C, D, E, F hiernaast) |
 |
|||
| 2. | evenwijdig x-as; y' = -2sint (1 - cost) + 2cost sint = 0 sint (-2 + 4cost) = 0 sint = 0 ∨ cost = 1/2 t = 0, π, 1/3π, 12/3π Dat geeft de punten (0, 0) (0, -4) (1/2√3, 1/2) ( -1/2√3, 1/2) evenwijdig y-as; x' = 2cost (1 - cost) + 2sint sint 2cost - 2cos2t + 2sin2t = 0 2cost - 2cos2t + 2(1 - cos2t) = 0 2cost - 2cos2t + 2 - 2cos2t = 0 2cos2t - cost - 1 = 0 cost = (1 ±√(1 + 8))/4 = 1 of -1/2 t = 0, 2/3π, 11/3π Dat geeft de punten (0,0) (11/2√3, -11/2) (-11/2√3, -11/2) |
||||
| 3. | a. | x ' = 0 1 - cost = 0 cost = 1 t = 0, 2π, 4π, .... dat zijn de punten (0, 1) (2π, 1) (4π, 1) ... |
|||
| b. | y' =
0 -cost = 0 t = 1/2π, 11/2π, 21/2π, .... dat zijn de punten (1/2π - 1, 0) (11/2π + 1, 2) (21/2π - 1, 0) (31/2π + 1, 2), .... de toppen zijn (11/2π + 1, 2) (31/2π + 1, 2) (51/2π + 1, 2) .... die liggen 2π uit elkaar. |
||||
| 4. | evenwijdig x-as; y ' = 0 | ||||
 |
|||||
| 6t - 3t4
= 0 3t(2 - t3) = 0 t = 0 ∨ t = 21/3 dat geeft de punten (0, 0) en (21/3 , 22/3) evenwijdig y-as; x ' = 0 |
|||||
 |
|||||
| 3 - 6t3
= 0 t3 = 1/2 t = 0,51/3 = 2-1/3 dat geeft het punt (22/3 , 21/3) Voor t naar oneindig groot (positief en negatief) nadert de kromme naar (0,0) met helling evenwijdig aan de y-as. (0,0) zelf wordt voor geen enkele t bereikt, daarom vind je die helling evenwijdig aan de y-as niet. |
|||||
| 5. | a. | Als de y-coφrdinaat
maximaal is, is de afgeleide ervan nul. y ' = 2cost - 2cos(2t) = 0 2cost = 2cos(2t) cost = cos(2t) t = 2t + k 2π ∨ t = -2t + k 2π t = k 2π ∨ 3t = k 2π t = k 2π ∨ t = k 2/3π De maximale y wordt bereikt voor t = 2/3π en die is gelijk aan 2sin(2/3π) - sin(4/3π) = 2 1/2√3 - - 1/2√3 = 11/2√3 |
|||
| b. | x = 1 geeft
2cost - cos(2t) = 1 2cost - (2cos2t - 1) = 1 2cos2t - 2cost = 0 2cost (cost - 1) = 0 cost = 0 ∨ cost = 1 t = 0 ∨ t = 1/2π ∨ t = 1 1/2π ∨ t = 2π t = 1/2π en t = 1 1/2π zijn de gezochte twee punten dan is y = 2sin(1/2π) - sinπ = 2 of y = 2sin(11/2π) - sin3π = -2 Dat betekent dus dat a = 2 |
||||
| 6. | Raaklijn verticaal:
x΄ = 0 -3sint + 3sin3t = 0 sint = sin3t t = 3t + k2π ∨ t = π - 3t + k2π t = kπ ∨ t = 1/4π + k 1/2π Dat geeft de oplossingen 0, π, 2π, 1/4π, 3/4π, 5/4π, 7/4π De laatste vier zijn de zijkanten van de figuur. Dan is x = 3cos( 1/4π) - cos( 3/4π) = 3 · 1/2√2 - - 1/2√2 = 2√2 De breedte van de rechthoek is dan 4√2 Raaklijn horizontaal: y' = 0 3cost - 3cos3t = 0 cost = cos3t t = 3t + k2π ∨ t = -3t + k2π t = kπ ∨ t = k 1/2π Dat geeft de oplossingen 0, π, 2π, 1/2π, 3/2π De laatste twee zijn de boven en onderkant van de figuur. Dan is y = 3sin( 1/2π) - sin(3· 1/2π) = 3 - - 1 = 4 De hoogte van de rechthoek is 8 De oppervlakte van de rechthoek is 32√2 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||