© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. x ' = 2cost = 0
t = 1/2π ∨  t = 11/2π

y ' = 2cos(2t - 1/2π) = 0
2t - 1/2π = 1/2π  ∨   2t - 1/2π = 11/2π  (beiden +k2π)
t =  1/2π + kπ  ∨   t = π + kπ
Dat geeft  t = 0, 1/2π, π, 11/2π, 2π

De keerpunten zitten bij  t = 1/2π  en t = 11/2π
t = 1/2π  geeft  x = 2 en y = 1 en het keerpunt (2, 1)
t = 11/2π  geeft  x = -2 en y = 1 en het keerpunt (-2, 1)

vlak naast t = 1/2π  :  neem bijv t = 1/2π  + 0,01
Dat geeft x = 1,9999  en  y = 0,9998
De helling is dan  (1 - 0,9998)/(2 - 1,9999) = 2

vlak naast t = 11/2π  :  neem bijv t = 11/2π  + 0,01
Dat geeft x = -1,9999  en  y = 0,9998
De helling is dan  (1 - 0,9998)/(-2 - - 1,9999) = -2
       
  b. x ' = cos(t - 1/4π) = 0
t - 1/4π = 1/2π ∨  t - 1/4π = 11/2π
t = 3/4π ∨   t = 13/4π

y ' =  2sin(2t) • cos(2t) • 2 = 0
sin2t = 0  ∨  cos2t = 0
t = 0, 1/2π, π, 11/2π, 1/4π,  3/4π,  5/4π,  7/4π

De keerpunten zitten bij  t = 3/4π en   t = 13/4π
t = 3/4π  geeft  x = 1 en y = 1  en het keerpunt (1, 1)
t = 13/4π  geeft  x = -1  en  y = 0  en het keerpunt  (-1, 0)

vlak naast t = 3/4π:  neem bijv.  t = 3/4π + 0,01
Dat geeft x = 0,99995  en  y = 0,9996
De helling is dan  (1 - 0,9996)/(1 - 0,99995) = 8

vlak naast t = 13/4π:  neem bijv.  t = 13/4π + 0,01
Dat geeft x = -0,99995  en  y = 0,9996
De helling is dan  (1 - 0,9996)/(-1 -- 0,99995) = -8
       
  c. De gemeenschappelijke periode is die van π en 3π dus is 3π.

x ' = -2cos2t = 0
cos2t = 0
t = 1/4π,  3/4π,  5/4π,  7/4π, 21/4π, 23/4π

y ' = 2/3cos(2/3t) = 0
cos(2/3t) = 0
2/3t =  1/2π + k2π ∨   2/3t =  3/2π + k2π
t =  3/4π + k 2/3π ∨  t =  1/4π + k 2/3π
t =  3/4π,  17/12π,  1/12π,  21/4π,  35/12π,  7/12π

De keerpunten zitten bij t =  3/4π  en t = 21/4π

Dat levert de punten  (5, 3)  en  (3, 1)

vlak naast t = 3/4π:  neem bijv.  t = 3/4π + 0,01
Dat geeft x = 4,9998  en  y = 2,99997777777
De helling is dan  (3 - 2,9999777777)/(5 - 4,9998)  = 1/9

vlak naast t = 21/4π:  neem bijv.  t = 21/4π + 0,01
Dat geeft x = 3,00019999  en  y = 1,0000222222
De helling is dan  (1 - 1,0000222222)/(3 - 3,00019999)  = 1/9
       
2. x' (t) = 3cos(3t) = 0
3t = 1/2π + k2π  ∨  3t = 3/2π + k2π
t = 1/6π + k2/3π   ∨  t = 1/2π + k2/3π
t = 1/6π, 1/2π, 5/6π, 7/6π, 11/2π, 11/6π

y ' = -2sin(2t) = 0
2t = 0 + k2π ∨ 2t = π + k2π
t = 0 + kπ  ∨  t = 1/2π + kπ
t = 0, 1/2π, π,  3/2π,  

De keerpunten zitten bij t = 1/2π en t = 3/2π
Dat zijn de punten  (-1, -1) en (1, -1)

vlak naast t = 1/2π, bijv  t = 1/2π + 0,01  geeft  x = -0,99955 en y = -0,9998
de helling is dan (-1 - - 0,9998)/(-1 - - 0,99955) = 4/9
dat geeft de raaklijn y = 4/9x + b
-1 = 4/9 • -1 + b  geeft b = -5/9

vlak naast t = 3/2π, bijv  t = 3/2π + 0,01  geeft  x = 0,99955 en y = -0,9998
de helling is dan (-1 - - 0,9998)/(1 -  0,99955) = -4/9
dat geeft de raaklijn y = -4/9x + b
-1 = -4/9 • 1 + b  geeft b = -5/9

De raaklijnen snijden elkaar in het punt Q = (0, -5/9)

x = 0 geeft  sin(3t) = 0
3t = 0 + k2π  ∨  3t = π + k2π
t = 0, 2/3π, 4/3π,  1/3π, 5/3π

Dat geeft de punten  (0, 1) (0, -1/2) (0, -1/2) (0, -1/2) (0, -1/2)
P is het punt  (0, -1/2)

De afstand PQ is  5/9 - 1/2 = 1/18
       
3. x ' = 0  ⇒ -sint = 0  ⇒  t = 0, π, 2π, 3π, ....

y ' = 0 ⇒  acosat = 0  ⇒ cosat = 0  ⇒ at =  1/2π,  3/2π, 5/2π, .... ⇒  t =  1/2a•π,   3/2a•π,  5/2a•π, ...

Ergens in deze twee rijen moet een dubbele zitten als er een keerpunt is.

dus moet  n/2a  een geheel getal zijn  (n = 1, 3, 5, ...)
omdat n oneven is, moet 2a ook oneven zijn, dus is a = 1/2, 11/2, 21/2, ...
       
4. y(t)= 1 - cos(2t)= 0
cos2t = 1
2t = 0 + k2π
t = 0 + kπ
in dit geval t = -π, 0, π

y '  = 2sin(2t)  en voor  -π, 0, π is dat gelijk aan 0
x ' =  2 - 2cos(2t)  en voor  -π, 0, π is dat gelijk aan 0
we hebben dus te maken met keerpunten. Het zijn de punten  (-π, 0) (0,0) en (π, 0)

kies vlak naast t = π bijvoorbeeld  t = π - 0,01
dat geeft x = 6,283184  en y =   0,000199993333
de helling is dan  (0 - 0,000199993333)/(2π - 6,283184) = -153
Dat wordt erg groot. Het doet ons vermoeden dat de poten inderdaad loodrecht op de grond staan.

Het bewijs dat dat inderdaad zo is:
       
 
       
  Voor t = -π, 0, π  staat daar ±1/0  dus dat gaat naar ±∞
       
5. a. x(t) = (1 + sin2t) • cost  = cost + sin2tcost
x ' = -sint + 2sintcost • cost - sin2t sint
= -sint + 2sint (1- sin2t) - sin3t
= -sint + 2sint - 2sin3t - sin3t
= sint - 3sin3t

y(t) = (1 - sin2t) • sint  = sint - sin3t
y '  = cost - 3sin2t • cost
= cost - 3(1 - cos2t) • cost
= cost - 3cost + cos3t
= -2cost + cos3t

  
       
  b. sint - 3sin3t = 0
sint (1 - 3sin2t) = 0
sint = 0  ∨  sin2t = 1/3
sint = 0 ∨  sint = √1/3  ∨  sint = -√1/3
t =  0,   π,   0.615,   2.526,    3.757,   5.668   (de oplossingen tussen 0 en 2π)

y'(t) = 3cos3t - 2cost = cost(3cos2t - 2)
Als sin2t = 1/3, dan is  cos2t = 1 - 1/3 = 2/3, dus wordt dat stuk tussen haakjes nul, en dus y' ook
Dus bij de laatste vier waarden van t is x' = 0 en y' = 0
       
  c. sint = √1/3  geeft  sin2t = 1/3
dus cos2t = 2/3  en cost = ±√2/3
dan is  x = (1 + sin2t) • cost  = 4/3 • ±√2/3 = ±4/9√6
dan is  y = (1 - sin2t) • sint =  2/3 • √1/3 = 2/9√3
Dat geeft de keerpunten  (±4/9√3, 2/9√3)

sint = -√1/3  geeft op dezelfde manier de keerpunten  (±4/9√6, -2/9√3)

neem nu t = sin-1(√1/3) + 0,001
Dat geeft het punt  x = 1,08866129  en  y = 0,3848990
De helling is dan   (2/9√3 - 0,3848990)/(4/9√6 - 1,08866129) = 0,000001179/0,0000008179 ≈ 1,4
       
6. a. x' (t) = -3sin(3t) = 0
sin3t = 0
3t = 0 + k2π ∨ 3t = π + k2π
t = 0, 2/3π, 4/3π, 1/3π, π, 5/3π
Dat geeft respectievelijk de punten  (1, -1) en (1,1/2) en (1, 1/2) en (-1, -1/2) en (-1, 1) en (-1, -1/2)
       
  b. Het linkerkeerpunt is het punt  (-1, 1) en hoort bij t = π

Neem t = π + 0,01
Dat geeft het punt  (-0,99955, 0,99995)
De helling is dan   (1 - 0,99995)/(-1- -0,99955) = 0,00005/-0,00045 = -1/9
       
  c. y = x
sin(t - 1/2π) = cos(3t)
cos(1/2π - (t - 1/2p)) = cos3t
cos(π - t) = cos3t
 π - t = 3t + k2π ∨   π - t = -3t + k2π
-4t = -π + k2π  ∨  2t = -π + k2π
t = 1/4π + k1/2π ∨  t = -1/2π + kπ
dat geeft  t =  1/4π, 1/2π, 3/4π, 5/4π, 3/2π, 7/4π

Dat geeft respectievelijk de punten:
(-1/2√2, -1/2√2) en (0,0) en (1/2√2, 1/2√2) en (1/2√2, 1/2√2) en (0,0) en (-1/2√2, -1/2√2)
       
7. a. x = 0
 4/3•t3 - 4t  = 0
t(4/3t2 - 4) = 0
t = 0  ∨  t2 = 3
t = 0  ∨  t = √3  ∨  t = -√3
Dat geeft de punten  (0, 0) en (0, -6)  en (0, -6)

y = 0
 -2t4 + 4t2 = 0
-2t2(t2 - 2) = 0
t2 = 0  ∨  t2 = 2
t = 0  ∨  t = √2  ∨  t = -√2
Dat geeft de punten  (0,0) en (-4/3√2, 0) en  (4/3√2, 0)
       
  b. De kromme snijdt zichzelf voor t = ±√3 in het punt  (0, -6)    (zie vraag a)
x ' = 4t2 - 4  en  y ' = -8t3 + 8t

t = -√3 geeft  x' = 8 en  y ' = 16√3  en de helling  16√3/8 = 2√3
de raaklijn daar maak een hoek van  tan-1(2√3) = 73,9º met een horizontale lijn

t = √3 geeft  x' = 8 en  y ' = -16√3  en de helling  -16√3/8 = -2√3
de raaklijn daar maak een hoek van  tan-1(-2√3) = -73,9º met een horizontale lijn  

de kromme snijdt zichzelf onder een hoek van 2 • 73,9 = 147,8º,  of 32,2º als je een scherpe hoek wilt.
       
  c. x ' = 0
4t2 - 4 = 0
t = 1 ∨  t = -1

y ' = 0
-8t3 + 8t = 0
-8t(t2 - 1) = 0
t = 0 ∨  t = 1  ∨  t = -1

We vinden keerpunten bij t = 1 en t = -1 en dat zijn de punten  (-22/3, 2)  en  (22/3, 2)
Voor de helling geldt:
     
    Voor t = 1 en t = -1 geeft dat hellingen  -2 en 2.
       
8. a. x = 0
4sin2t - 2 = 0
sin2t = 1/2
sint = 1/2√2  sint = -1/2√2
t = 1/4π, 3/4π, 5/4π, 7/4π
Dat geeft respectievelijk de punten  (0, √2-2) (0, -√2-2) (0, -√2-2) (0,√2-2)
De snijpunten zijn dus  (0, -2±√2)

y = 0
1/cost  - 2 = 0
cost = 1/2
t = 1/3π  t = 12/3π
Dat geeft twee keer het punt (1,0 )
       
  b. A en B zijn keerpunten.

x ' = 0
8sintcost = 0
sint = 0  ∨  cost = 0
t = 0, 1/2π, π, 3/2π

y ' = 0
-(cost)-2 • -sint  = 0
sint = 0
t = 0 ∨  t = π

De keerpunten zijn te vinden bij t = 0 en  t = π en dat zijn de punten (-2, -1) en (-2, -3)
Dus A = -2, -1)  en  B = (-2, -3)
       
  c. Dat is de helling in punt A (t = 0).
Neem t = 0,01
Dat geeft het punt  (-1.9996,  -0.99995)
De helling is dan    (-1 - - 0,99995)/(-2 - - 1,9996) = -0,00005/-0,0004 = 1/8
       
  d. Q = (1,0 )  voor t = 1/3π  en  t = 12/3π   (zie vraag a)
B = (-2, -3)  (zie vraag b)
De helling van BQ is  (-3 - 0)/(-2 - 1) = 1

De helling van de kromme is (zie vraag b):		  
     
    voor t = 1/3π en 12/3π  geeft dat helling   1/8 • (0,5)3 = 1

De helling van BQ is gelijk aan de helling van K in Q, dus is BQ raaklijn.
       
9. a. y = -x + 3
t2(3 - t) = -t(2 - t)2 + 3
3t2 - t3 = -t(4 - 4t + t2) + 3
3t2 - t3 = -4t + 4t2 - t3 + 3
0 = t2 - 4t + 3
(t - 3)(t - 1) = 0
t = 3 ∨  t = 1
Dat geeft de snijpunten  (3, 0) en (1, 2) 
       
  b. x = 0
t(2 - t)2  = 0
t = 0 ∨  t = 2
Dat geeft de punten  (0,0) en (0, 4) en die laatste is A.

x = t(2 - t)2 = t (4 - 4t + t2) = 4t - 4t2 + t3
x ' = 4 - 8t + 3t2   dus  x' (2) = 0

y =  t2(3 - t) = 3t2 - t3
y ' = 6t - 3t2  dus  y ' (2) = 0

Dat geeft helling 0/0 dus A is een keerpunt (zoals we al vermoedden)

Neem t = 2,01
Dat geeft het punt  ( 0.000201 , 3.999699)
De helling is dan   (4 - 3,000699)/(0 - 0,000201) = 0,000301/ -0,000201 ≈ -1,5

Het kan ook exacter zo:
   
       
  c. x = 0  geeft t = 0 en t = 2

Als de krommen de y-as raken, dan moet gelden  x' = 0   (en  y ' ≠ 0)
x ' =  4 - 8t + 3t2     en   x '(2) = 0  dus dat klopt
y  =  t2(a - t) = at2 - t3   dus  y ' = 2at - 3t2   en dan is  y' (2) = 4a - 12 en voor a ≠ 3 is dat inderdaad niet gelijk aan 0.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)