|
|||||
| 1. | a. |
x' = 1 - 4sin(4t) dus
x'(1/3π)
= 1 + 2√3 y ' = -sint dus y ' (1/3π) = -1/2√3 v = √((1 + 2√3)2 + (1/2√3)2) = √(1 + 4√3 + 12 + 3/4) = √(133/4 + 4√3) |
|||
| b. | Y1 = √( (1 -
4sin(4X))^2 + (sin(X))^2) calc - maximum geeft maximale snelheid 5,10 |
||||
| c. |
 |
||||
| De GR geeft L = 8,69 | |||||
| 2. | a. |
x' = -3sint + 3sin(3t) y' = 3cost - 3cos(3t) Y1 = √((-3sin(X) + 3sin(3X))^2 + (3cos(X) - 3cos(3X))^2) calc - ∫f(x)dx voor X = 0 tot X = 2π geeft L = 24 |
|||
| b. | v2
= x' 2 + y' 2
= (-3sint + 3sin(3t))2 + (3cost - 3cos(3t))2 = 9sin2t - 18sintsin(3t) + 9sin2(3t) + 9cos2t - 18costcos(3t) + 9cos2(3t) Maar sin2α + cos2α = 1, dat geeft: v2 = 9 + 9 - 18(sintsin3t + costcos3t) = 18 - 18cos2t want sinαsinβ + cosαcosβ = cos(α - β) = 18 - 18(1 - 2sin2t) = 18 - 18 + 36sin2t = 36sin2t Dus v =√(36sin2t) = 6 • |sint| |
||||
| c. | Bereken de integraal van 0 tot π, daar is sinx positief en kunnen die absolute-waarde strepen weg: | ||||
 |
|||||
| De hele lengte is dan het dubbele daarvan: 24. | |||||
| 3. | x ' =
-2sint y ' = cost Y1 = √((-2sin(X))^2 + (cos(X))^2) calc - ∫f(x)dx voor X = 0 tot X = 2π geeft L = 9,688 |
||||
| 4. | x ' = 2cos2t y ' = cos(t - π/3) Y1 = √( (2cos(2X))^2 + (cos(X - π/3))^2) calc - ∫f(x)dx voor X = 0 tot X = 2π geeft L = 9,34 |
||||
| 5. | a. | y(t) = cos 2t
=
0 2t = 1/2π + k2π ∨ 2t = 3/2π + k2π t = 1/4π , 3/4π Dat geeft de punten (0.58, 0) en (-0.67, 0) B = (-0.67, 0) en hoort bij t = 3/4π x' = 2t • cos(t2) y ' = -2sin(2t) v(3/4π) = √( (2• 3/4π • cos((3/4π)2))2 + (-2sin(2•3/4π))2) = 4,04 |
|||
| b. | Y1 =
√((2Xcos(X^2))^2 + (-2sin(2X))^2) calc - ∫f(x)dx voor X = 1/4π tot X = 3/4π geeft L = 3,73 |
||||
| 6. | a. | 1 + cos 4t =
1 cos4t = 0 4t = 1/2π + k2π ∨ 4t = 3/2π + k2π t = 1/8π, 3/8π, 5/8π, 7/8π A hoort bij t = 7/8π en is het punt (-0.92, 1) x ' = -sint y ' = -4sin(4t) v = √( (sin( 7/8π)2 + (4sin( 28/8π))2 ) = 4,02 |
|||
| b. | Y1 =
√( (sin(X))^2 +
(4sin(4X))^2 ) calc - ∫f(x)dx voor X = 5/8π tot X = 7/8π geeft L = 2,11 |
||||
| 7. | a. | Zie de figuur hiernaast, met enkele t-waarden
aangegeven. Geschikte waarden zijn bijv. a = -1/2π, b = 1/2π
|
|
||
| b. | x ' = 3cos(3t)
en y ' = -2sin(2t) Dat geeft v = √(9cos2(3t) + 4sin2(2t)) x-as: y = 0 cos 2t = 0 2t = 1/2π + k2π ∨ 2t = 3/2π + k2π t = 1/4π, -1/4π Dat geeft beiden v = √(8,5) ≈ 2,92 |
||||
| y-as: x = 0 sin(3t) = 0 3t = 0 + k2π ∨ 3t = π + k2π t = -1/3π, 0, 1/3π t = ± 1/3π geeft v = √12 ≈ 3,46 t = 0 geeft v = 3 |
|||||
| c. | Y1 =
√(9(cos(3X))^2 + 4(sin(2X))^2) calc - maximum geeft maximale snelheid 3,48 (bij t ≈ -1 en t ≈ 1) |
||||
| d. | Y1 =
√(9(cos(3X))^2 + 4(sin(2X))^2) calc - ∫f(x)dx voor X = - 1/2π tot X = 1/2π geeft L = 7,60 |
||||
| 8. | a. | sin(3t)
?=? 3sint - 4sin3t sin(2t + t) ?=? 3sint - 4sin3t sin2tcost + cos2tsint ?=? 3sint - 4sin3t 2sintcost • cost + (1 - 2sin2t)• sint ?=? 3sint - 4sin3t 2sintcos2t + sint - 2sin3t ?=? 3sint - 4sin3t 2sint(1 - sin2t) + sint - 2sin3t ?=? 3sint - 4sin3t 2sint - 2sin3t + sint - 2sin3t ?=? 3sint - 4sin3t 3sint - 4sin3t ?=? 3sint - 4sin3t q.e.d. |
|||
| b. | f '(x) = 3 - 12x2 en x zit tussen -1 en 1. | ||||
 |
|||||
| Y1 =
√(1 + (3 - 12X^2)^2) calc - ∫f(x)dx voor X = -1 tot X = 1 geeft L = 6,5186 |
|||||
| c. | x' = cost y ' = 3cos(3t) Y1 = √((cos(X))^2 + (3cos(3X))^2) calc - ∫f(x)dx voor X = -1/2π tot X = 1/2π geeft L = 6,5186 |
||||
| 9. | a. | raaklijn
horizontaal, dan is y' (t)= 0 y'(t) = 2cos2t = 0 ⇒ cos2t = 0 ⇒ 2t = 1/2π + k•2π ∨ 2t = 11/2π + k• 2π ⇒ t = 1/4π + k • π ∨ t = 3/4π + k • π tussen 0 en 2p geeft dat de oplossingen t = 1/4π, 3/4π, 11/4π, 13/4π dat geeft respectievelijk de punten (√2, 1) en (-√2, -1) en (-√2, 1) en (√2, -1) De horizontale afstand is dan 2√2 en de verticale is 2 De oppervlakte is dan 2 • 2√2 = 4√2. |
|||
| b. | y = 0,5
⇒ sin2t = 0,5 ⇒ 2t = 1/6π + k • 2π ∨ 2t = 5/6π + k • 2π. ⇒ t = 1/12π + k • π ∨ t = 5/12π + k • π tussen 0 en 2π geeft dat de oplossingen 1/12π, 5/12π, 11/12π, 15/12π dat geeft resp.: x = 1.93, x = 0.52, x = -1,93 en x = -0,52 de positieve oplossingen zijn x = 0,52 en x = 1,93 en de afstand daartussen is ongeveer 1,4 |
||||
| c. |
 |
||||
| Voer in Y1 = √((-2sin(X))^2+(2cos(2X))^2) calc - integraal met grenzen 0 en 2π geeft lengte ongeveer 12,2 |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
