|
|||||
| 1. | x3 + y3
= 3xy punt (y, x) geeft y3 + x3 = 3yx en dat is inderdaad dezelfde vergelijking als die van K. |
||||
| 2. | y3x
= 8 - 6y2 punt (-x, -y) geeft: (-y)3• -x = 8 - 6(-y)2 -y3 • -x = 8 - 6y2 y3x = 8 - 6y2 en dat is inderdaad dezelfde vergelijking als die van K. |
||||
| 3. | 2x3 + 2xy2
- 8xy + y2 - 3x2 + 8x
- 4y + 4 = 0 punt (x, 2 - y) geeft: 2x3 + 2x(2 - y)2 - 8x(2 - y) + (2 - y)2 - 3x2 + 8x - 4(2 - y) + 4 = 0 2x3 + 2x(4 - 4y + y2) - 16x + 8xy + 4 - 4y + y2 - 3x2 + 8x - 8 + 4y + 4 = 0 2x3 + 8x - 8xy + 2xy2 - 2xy3 - 16x + 8xy + 4 - 4y + y2 - 3x2 + 8x - 8 + 4y + 4 = 0 2x3 + 2xy2 + y2 - 3x2 = 0 punt (x, 2 + y) geeft: |
||||
| 4. | x4 - 4x3
+ 5x2 - 2x + y2 - 6y
+ 9 = 0 punt (1 - a, 3 - b) geeft: (1 - a)4 - 4(1 - a)3 + 5(1 - a)2 - 2(1 - a) + (3 - b)2 - 6(3 - b) + 9 = 0 1 - 4a + 6a2 - 4a3 + a4 - 4(1 - 3a + 3a2 - a3) + 5(1 - 2a + a2) - 2 + 2a + 9 - 6b + b2 - 18 + 6b + 9 = 0 1 - 4a + 6a2 - 4a3 + a4 - 4 + 12a - 12a2 + 4a3 + 5 - 10a + 5a2 - 2 + 2a + 9 - 6b + b2 - 18 + 6b + 9 = 0 a4 - a2 + 18 + b2 = 0 punt (1 + a, 3 + b) geeft: (1 + a)4 - 4(1 + a)3 + 5(1 + a)2 - 2(1 + a) + (3 + b)2 - 6(3 + b) + 9 = 0 1 + 4a + 6a2 + 4a3 + a4 - 4(1 + 3a + 3a2 + a3) + 5(1 + 2a + a2) - 2 - 2a + 9 + 6b + b2 - 18 - 6b + 9 = 0 1 + 4a + 6a2 + 4a3 + a4 - 4 - 12a - 12a2 - 4a3 + 5 + 10a + 5a2 - 2 - 2a + 9 + 6b + b2 - 18 - 6b + 9 = 0 a4 - a2 + 18 + b2 = 0 Dat zijn dezelfde vergelijkingen dus is de kromme symmetrisch ten opzichte van (1, 3) |
||||
| 5. | a. | x2y
- xy2 = 2 punt (-y, -x) invullen: (-x)2 • -y - -x • (-y)2 = 0 -x2y + xy2 = 0 x2y - xy2 = 0 Dat is de oorspronkelijke vergelijking weer, dus de kromme is symmetrisch ten opzichte van de lijn y = -x |
|||
| b. | delen door x2
: y - y2/x = 2/x2
Als x naar oneindig gaat, gaat y naar nul dus y = 0 is verticale asymptoot delen door y2 : x2/y - x = 2/y2 Als y naar oneindig gaat, gaat x naar nul dus x = 0 is horizontale asymptoot |
||||
| c. | Een lijn door de
oorsprong is y = ax Snijden met de kromme: x2 • ax - x (ax)2 = 2 ax3 - a2x3 = 2 x3 (a- a2) = 2 x3 = 2/(a- a²) Dat heeft altijd een oplossing, behalve als a - a2 = 0 a(1 - a) = 0 a = 0 ∨ a = 1 De lijnen y = 0 en y = x hebben geen punt met K gemeenschappelijk. |
||||
| 6. | a. | (x
+ y)2 = 2(x - y). x = 0 geeft y2 = -2y y(y + 2) = 0 ⇒ y = 0 ∨ y = -2 dus de snijpunten (0, 0) en (0, -2) y = 0 geeft x2 = 2x x(x - 2) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2 dus de snijpunten (0, 0) en (2, 0) |
|||
| b. | (x
+ y)2 = 2(x - y). x2 + 2xy + y2 = 2x - 2y delen door x2 : 1 + 2y/x + y²/x² = 2/x - 2y/x² als x naar oneindig gaat geeft dat geen horizontale asymptoot. delen door y2 geeft hetzelfde resultaat |
||||
| c. |
 |
||||
| d. | K lijkt symmetrisch
in de lijn y = -x Punt (-y, -x) invullen: (-y + -x)2 = 2(-y - -x) (-(y + x))2 = 2(-y + x) (x + y)2 = 2(x - y) Dat is de oorspronkelijke vergelijking weer, dus de kromme is symmetrisch ten opzichte van de lijn y = -x |
||||
| 7. | symmetrisch in de
x-as betekent dat (x, -y) de oorspronkelijke
vergelijking weer oplevert. symmetrisch in de y-as betekent dat (-x, y) dezelfde vergelijking oplevert. Als je dat na elkaar doet, dan levert dat dus nog steeds dezelfde vergelijking op. Dat na elkaar doen geeft dus dat (-x, -y) dezelfde vergelijking oplevert, dus is de kromme symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. |
||||
| 8. | a. | x3 - 4x2 + 4x + y2
= 16. punt (x, -y) invullen: x3 - 4x2 + 4x + (-y)2 = 16 dat is de oorspronkelijke vergelijking weer, dus de x-as is symmetrieas. |
|||
 |
|||||
| b. | y2
= 16 - x3 + 4x2 - 4x Als y moet bestaan moet dat groter of gelijk aan nul zijn. 16 - x3 + 4x2 - 4x ≥ 0 plot Y1 = 16 - X^3 + 4X^2 - 4X calc - zero geeft x = 4 x kan waarden kleiner of gelijk aan 4 aannemen Zie de kromme hiernaast. |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||