© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. a. vul y = -4/3x + 5 in in de vergelijking van de cirkel:
x2 + (-4/3x + 5)2 = 9
x2 + 16/9x2  - 40/3x + 25 = 9
25/9x2 - 40/3x + 16 = 0
25x2 - 120x + 144 = 0
De discriminant van deze vergelijking is  (-120)2 - 4 • 25 • 144 = 0
Dus de cirkel en de lijn hebben maar ιιn snijpunt.
Dat betekent dat ze elkaar raken.
       
  b. -4/3x + 5 = 0  geeft  4/3x = 5  dus  x = 3,75.  Dus  B is het punt  (3.75, 0)
A is het punt  (0, -3)  (want de cirkel heeft straal 3)
De helling van AB is dan  (0 - - 3)/(3,75 - 0) = 0,8

helling AB • helling l  =  0,8 • -4/3 = -16/15
Dat is niet gelijk aan -1, dus ze snijden elkaar niet loodrecht.
       
2. a. M = (0, 5)  en  D = (4, 8)
MD heeft helling  (8 - 5)/(4 - 0) = 3/4
Dus lijn l heeft helling  -4/3  want die staat daar loodrecht op.
l gaat door (4, 8)  dus  8 = -4/3 • 4 + b
Dat geeft  b = 40/3 en l is de lijn  y = -4/3x + 40/3
y = 0  geeft dan  4/3x = 40/3  ofwel  x = 10  
       
  b. MD heeft helling 3/4  (zie vraag 3)
Noem het snijpunt van MD met de x-as punt
Dan geldt  tan(∠MPO) = 3/4  dus  ∠MPO = 36,87Ί
Dan is ∠PMO = 90 - 36,87 = 53,13Ί
Dus ook de hoek tussen DM en de y-as is 53,13Ί
Dus ∠DMC = 2 • 53,13 = 106,26Ί
Het stuk CD van het touwtje is 106,26/360 ste deel van de hele cirkelomtrek.
Dat is dus 106,26/360 • 2π • 5 = 9,27.

AC = BD = √(62 + 82) = 10

Het hele touwtje heeft lengte  20 + 9,27 = 29,3
       
3. MA staat loodrecht op l dus AM heeft helling  -4/3
A = (4, 3)  dus voor AM geldt   3 = -4/3 • 4 + b   en dat geeft b =  81/3
MA is de lijn  y = -4/3x + 81/3.
M ligt bij x = 5, dus  y = -4/3 • 5 + 81/3 = 5/3
M = (5, 5/3)  en  A = (4, 3)  dus  AM = √((5 - 4)2 + (5/3 - 3)2) = 5/3
De straal van de cirkel is gelijk aan de y-coφrdinaat van M dus c raakt de x-as
       
4. MA staat loodrecht op l
l heeft rc = 0,5  dus MA heeft rc -2
y = -2x + b moet door  M(-1,3)  gaan en dat geeft  b = 1
MA is de lijn  y = -2x + 1
A is het snijpunt van MA met l:  -2x + 1 = 0,5x - 1,5
2,5x = 2,5  dus  xA = 1
A is dan het punt  (1, -1)
De straal van de cirkel is MA = √((-1-1)2 + (3 - - 1)2) = √20
Omdat MABC een vierkant is  (MB = straal cirkel, en alle hoeken 90Ί)  is ook AC = BC = √20
Het gekromde deel is een kwartcirkel, dus heeft lengte  0,25 • 2π√20
Totale omtrek is  2√20 + 0,25 • 2π√20  ≈ 15,97
       
5. l is de lijn   y = ax + b
a =  f '(4)
f ' = 4/2√x  dus  f '(4) = 1
y = 1x + b  moet door  (4,9) gaan dus 9 = 4 + b  dus  b = 5
l is de lijn y = x + 5
snijden met de cirkel:     (x + 2)2 + ( x + 5 + 1)2  = 8
x2 + 4x + 4 + x2 + 12x + 36 = 8
2x2 + 16x + 32 = 0
x2 + 8x + 16 = 0
(x + 4)(x + 4) = 0
x = -4
l heeft maar ιιn snijpunt met c dus ze raken elkaar.
       
6. a. Als de lijn de cirkel raakt dan is er ιιn snijpunt.
Voor het snijpunt vul je de vergelijking van de lijn in in de cirkel:
x2 - 4x + (1/2x + 41/2)2 - 6(1/2x + 41/2) = -8
x2 - 4x + 1/4x2 + 41/2x + 201/4 - 3x - 27 + 8 = 0
vermenigvuldig voor het gemak alles met 4:
4x2 - 16x + x2 + 18x + 81 - 12x - 108 + 32 = 0
5x2 - 10x - 5 = 0
D = 102 - 4 • 5 • 5 = 0
Dan is er ιιn oplossing, en dat is dus een raakpunt. 
       
  b. x2 - 4x + y2 - 6y = -8
x2  - 4x + 4 - 4 + y2 - 6y + 9 - 9 = -8
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 5
M = (2, 3)
Lijn loodrecht op k heeft r.c. -2
y = -2x + b  door punt (2,3)  geeft 3 = -4 + b  dus  b = 7
l is de lijn  y = -2x + 7  dus  S = (0, 7) en dat is het middelpunt van c2
MS = √(22 + 42) = √20 en dat is de straal van c2
c2 is de cirkel x2 + (y - 7)2 = 20
       
7. a. y = 2x + 2 invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (2x + 2)2 = 6x + 6(2x + 2) - 13
x2 + 4x2 + 8x + 4 = 6x + 12x + 12 - 13
5x2 - 10x + 5 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
x = 1
y =  2 • 1 + 2 = 4
Het raakpunt is  (1, 4) 
       
  b. Dan moet het middelpunt M even ver van S (en T) als van O afliggen
x = 0  geeft  y = 2 • 0 + 2 = 2  dus  T = (0, 2)
y = 0  geeft  2x + 2 = 0  dus  x = -1  dus  S = (-1, 0)
M = (-0.5, 1)
MS = √(0,52 + 12) = √1,25
OM = √(0,52 + 12) = √1,25
Dat is inderdaad gelijk, dus O ligt op de cirkel.

OF
OTS is een rechthoekige driehoek, en dat is de helft van een rechthoek
M is het midden van de cirkel en van de rechthoek.
De diagonalen van een rechthoek delen elkaar doormidden dus OM = OT = OS
Dus O ligt op de cirkel d.
       
8. x = 0  geeft  y = √4 = 2  dus  A = (0, 2)
y = √(3x + 4) = (3x + 4)0,5
y '   = 0,5(3x + 4)-0,5 • 3    dus  y '(0) = 0,5 • 4-0,5 • 3 = 0,75
k heeft helling 0,75
l heeft dus helling  -4/3
l is de lijn  y = -4/3x + 2
y = 0 geeft  4/3x = 2  dus  x = 1,5  en  M = (1.5, 0)
MA = √(1,52 + 22) = 2,5
Dus ook MP = 2,5  en MQ = 2,5
Dat geeft  xP = -1   en  xQ = 4 
       
9. MA = MB = 3 dus de straal van de cirkel is 3.
MA en MB staan loodrecht op de y-as (want het is een halve cirkel) dus M = (0, 3)
De cirkel heeft dan als vergelijking  x2 + (y - 3)2 = 9

MK is evenwijdig aan OP  dus heeft helling 1
MK is de lijn  y = x + 3
Snijden met de cirkel:

x2 + (x + 3 - 3)2 = 9
2x2 = 9
x2 = 4,5
xK = √4,5
Dan is  yK = 3 + √4,5
       
10. a. f(x) = -6 • (2x - 3)-1
f '(x) = -6 • -1 • (2x - 3)-2 • 2

f ' (0) = -6 • -1 • (-3)-2 • 2 = 12/9 = 4/3
f '(3) = -6 • -1 • (3)-2 • 2 = 12/9 = 4/3
       
  b. Maak een vergelijking van de lijn door M en A
Die heeft rc -3/4  (want loodrecht op l)
Gaat door A:   0 = -3/4 • 3 + b geeft  b = 9/4
Bereken het snijpunt van de lijn met lijn m:
4/3x + 4 = -3/4x + 9/4
25/12x = -7/4
x = -0,84
Dan is y = -3/4 • -0,84 + 9/4 = 2,88
S = (0.84, 2.88)
Het midden van  AS is  (1.08, 1.44)
Dat is inderdaad punt M1
       
  c. x2 + y2 - 3x - 4y = 0
x2 - 3x + 2,25 - 2,25 - 4y + 4 - 4 = 0
(x - 1,5)2 - 2,25 + (y - 2)2 - 4 = 0
(x - 1,5)2 + (y - 2)2 = 6,25
M2 = (1.5, 2)
2 = 4/3 • 1,5  dus M2 ligt inderdaad op k
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)