© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. √((x + c)2 + y2) = 2a - √((x - c)2 + y2)
(x + c)2 + y2 = 4a2 - 4a√((x - c)2 + y2) + (x - c)2 + y2
x2 + 2cx + y2 - 4a2 - x2 + 2cx - c2 - y2 = -4a√((x - c)2 + y2)
4cx - 4a2 = -4a√((x - c)2 + y2)
a2 - cx = a√((x - c)2 + y2)
       
  b. (a2 - cx)2 = a2 • ((x - c)2 + y2)
a4 - 2a2cx + c2x2 = a2x2 - 2a2cx + a2c2 + a2y2
x2(c2 - a2) - y2a2 = a2c2 - a4
x2(a2 - c2) + y2a2 = a4 - a2c2
       
  c. d(P,F1) + d(P,F2) =
√(b2 + c2) + √(b2 + c2) = 2a
2√(b2 + c2) = 2a
√(b2 + c2) = a
b2 + c2 = a2
       
  d. x2(a2 - c2) + y2a2 = a4 - a2c2
x2b2 + y2a2 = a2(a2 - c2)
x2b2 + y2a2 = a2b2 
deel alles door a2b2 :
     
       
2. a. 4y2 + 9x2 - 40y + 18x + 73 = 0
4(y2 - 10y) + 9(x2 + 2x) + 73 = 0
4(y2 - 10y + 25 - 25) + 9(x2 + 2x + 1 - 1) + 73 = 0
4(y - 5)2 - 100 + 9(x + 1)2 - 9 + 73 = 0
9(x + 1)2 + 4(y - 5)2 = 36
     
    a = 2 en b = 3 dus de brandpunten liggen op de y-as en c = √5
De brandpunten waren oorspronkelijk  (0, ±√5) en de toppen  (0, ±3) en (±2, 0)
1 naar links schuiven en 5 omhoog:
brandpunten (-1, 5±√5),   toppen  (-1, 5) (-1, 8) (-3, 5) (1, 5)
       
  b. 4y2 + x2 + 16y - 4x + 19 = 0
4(y2 + 4y) + x2 - 4x + 19 = 0
4(y2 + 4y + 4 - 4) + x2 - 4x + 4 - 4 + 19 = 0
4(y + 2)2 - 16 + (x - 2)2 - 4 + 19 = 0
(x - 2)2 + 4(y + 2)2 = 1
     
    a = 1 en b = 1/2  dus de brandpunten liggen op de x-as en c = √(3/4) = 1/2√3
De brandpunten waren oorspronkelijk  (±1/2√3,0) en de toppen (±1, 0)  en  (0, ±1/2)
2 naar rechts schuiven en 2 omlaag:
brandpunten:  (2±1/2√3, -2)  en toppen (1, -2) (3, -2) (2, -11/2) (2, -21/2)
       
  c. 2y2 + x2 + 20y - 14 = 0
2(y2 + 10y) + x2 - 14 = 0
2(y2 + 10y + 25 - 25) + x2 - 14 = 0
2(y + 5)2 - 50 + x2 - 14 = 0
x2 + 2(y + 5)2 = 64 		 
     
    a = 8 en b = √32 dus de brandpunten liggen op de x-as en c = √32
De brandpunten waren oorspronkelijk  (±√32, 0)  en de toppen (±8, 0) en (0, ±√32)
5 omlaag schuiven:
brandpunten (±√32, -5)  en toppen (0, -5-√32)  en  (0, -5+√32)
       
  d. 9y2 + 64x2 - 144y - 384x + 576 = 0
9(y2 - 16y)  + 64(x2 - 6x) + 576 = 0
9(y2 - 16y + 64 - 64) + 64(x2 - 6x + 9 - 9) + 576 = 0
9(y - 8)2 + 64(x - 3)2 - 576 - 576 + 576 = 0
64(x - 3)2 + 9(y - 8)2 = 576   		 
     
    a = 3 en b = 8 dus de brandpunten lagen oorspronkelijk op de y-as en c = √55
De brandpunten waren oorspronkelijk (0, ±√55) en de toppen (±3, 0) en (0, ±8)
3 naar rechts schuiven en 8 omhoog:
brandpunten (3, 8±√55) en toppen  (0, 8) (6, 8) (3, 0) (3, 16)
       
3. Dat kun je zien aan a en b, want die zeggen hoeveel de ellips is afgeplat.
Als a groter wordt, dan liggen de snijpunten met de x-as juist steeds dichter bij de oorsprong
Als b groter wordt dan liggen de snijpunten met de y-as juist dichter bij de oorsprong. 
Dus:
a > b:  brandpunten op de y-as.
b > a:  brandpunten op de x-as.
       
4. Maak voor de duidelijkheid elke keer even een schets van de situatie.
       
  a a = 8 en b = 5, en de ellips ligt met het middelpunt in de oorsprong.
     
       
  b. a = 2 en b = 6, en de ellips ligt met het middelpunt in het punt  (2, 0)
     
       
  c. a = 3 en b = 1 en de ellips ligt met het middelpunt in het punt (4, -5)
     
       
  d. b = 6 en c = 8 dus  a = √(62 + 82) = 10. Het middelpunt is  (0,0)
     
       
  e. a = 5 en c = 3 dus b = √(52 - 32) = 4. Het middelpunt is (0, 2)  
     
       
5. Het middelpunt van de cirkel is M = (0, -2) en dat is het tweede brandpunt.
Het middelpunt van de ellips is (3, -2)  (midden tussen beide brandpunten)

De cirkel heeft straal 9
F = (6, -2) en de MF snijdt de cirkel in (9, -2) dus de top is  (71/2, -2) want die ligt daar midden tussen in.
a = 41/2 en c = 3 geeft  b = √(41/22 - 32) = √111/4
 
       
6. Omdat de top recht naast het brandpunt ligt, liggen de brandpunten horizontaal.
de afstand FT is 6, dus van T naar de richtcirkel ook, dus de richtcirkel gaat door (16, 0)
het middelpunt van die cirkel is dan (-2, 0)     (even ver van F als (16,0))
(-2, 0) is het tweede brandpunt van de ellips, dus het middelpunt is  (1, 0) (midden tussen de brandpunten)
Dan is  a = 9 en c = 3 dus  b = √(92 - 32) = √72
 
       
7. a. a = √6 en b = 3 en het middelpunt is (0,0) dus  (±√6, 0) en (0, ±3).
       
  b. vermenigvuldig de vergelijking met 54;
9x2 + 6y2 = 54
       
  c. y = x + 1 invullen in de ellipsvergelijking:
9x2 + 6(x + 1)2 = 54
9x2 + 6x2 + 12x + 6 = 54
15x2 + 12x - 48 = 0
x = (-12 ±√(3024))/30 = 1,43  of  -2,23
dat geeft de punten (1.43, 2.43)  en  (-2.23, -1.23)
       
8. a. 4y2 + x2 - 2x = 0
4y2 + x2 - 2x + 1 - 1 = 0
(x - 1)2 + 4y2 = 1		  
    Dat geeft  a = 1 en b = 1/2  dus c = √(1 - 1/4) = √(3/4) = 1/2√3
middelpunt van de ellips is (1, 0)
Neem het brandpunt  (1 + 1/2√3, 0)
snij de lijn x = 1 + 1/2√3 met de ellips
(1 + 1/2√3 - 1)2 + 4y2 = 1
3/4 + 4y2 = 1
4y2 = 1/4
y2 = 1/16
y = ±1/4
De afstand daartussen is  1/2.
       
  b. y = 0 geeft:  x2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0 ∨ x = 2
De snijpunten zijn  (0,0) en (2,0)
       
  c. y = x geeft   4x2 + x2 - 2x = 0
5x2 - 2x = 0
x(5x - 2) = 0
x = 0  ∨  x = 2/5
Dat geeft de punten  (0,0) en (2/5, 2/5)
De afstand daartussen is  √((2/5)2 + (2/5)2) = √(8/25) = 2/5√2
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)