© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. √((x + c)2 + y2) - √((x - c)2 + y2) = 2a
 √((x + c)2 + y2) = √((x - c)2 + y2) + 2a
(x + c)2 + y2 = (x - c)2 + y2 + 4a•√((x - c)2 + y2) + 4a2
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 - 2cx + c2 + y2 + 4a•√((x - c)2 + y2) + 4a2
4cx - 4a2 =  4a•√((x - c)2 + y2)
cx - a2 = a•√((x - c)2 + y2)
       
  b. (cx - a2)2 = a2•((x - c)2 + y2)
c2x2 - 2ca2x + a4 = a2 • (x2 - 2cx + c2 + y2)
c2x2 - 2ca2x + a4 = a2x2 - 2a2cx +  a2c2 +  a2y2
x2(c2 - a2) - a2y2 = a2c2 - a4
       
  c. x2b2 - a2y2 = a2 (c2 - a2)
x2b2 - a2y2 = a2b2 
deel alles door a2b2:
   
       
2. a. Met toppen (-1,1) en (5,1) en brandpunt  (7,1)
Het middelpunt is M = (2, 1) en de toppen liggen horizontaal
a = 3 en c = 5  geeft dan b = √(25 - 9) = 4
de verplaatsing is 2 naar rechts en 1 omhoog
     
       
  b. Met top (-2,2) en brandpunten (-2, 6)  en  (-2, -4).
M = (-2,0) en de toppen liggen verticaal tov elkaar
b = 2 en c = 6 geeft  a = √(36 - 4) = √32
de verplaatsing is 2 naar links
   
       
  c. Door (6,√5) met toppen (-4,0) en (4,0).
M = (0,0) en de toppen liggen horizontaal tov elkaar.
a = 4, dus dat geeft:
     
    Die moet door (6, √5) gaan:   36/16 - 5/b² = 1
5/b² = 20/16
b2 = 4		  
     
       
3. a. x2 - 7y2 - 14y - 70 = 0
x2 - 7(y2 + 2y) - 70 = 0
x2 - 7(y2 + 2y + 1 - 1) - 70 = 0
x2 - 7(y + 1)2 + 7 - 70 = 0
x2 - 7(y + 1)2 = 63
x²/63 - (y + 1)²/9 = 1
    a = √63 en b = 3  dus  c = √72 en de toppen liggen horizontaal tov elkaar.
de verschuiving is 1 naar beneden.
Dat geeft toppen (±√63, -1) en brandpunten (±√72, -1)
       
  b. 16x2 - 9y2 - 32x + 36y + 124 = 0
16(x2 - 2x) - 9(y2 - 4y) + 124 = 0
16(x2 - 2x + 1 - 1) - 9(y2 - 4y + 4 - 4) + 124 = 0
16(x - 1)2 - 9(y - 2)2 - 16 + 36 + 124 = 0
16(x - 1)2 - 9(y - 2)2 = -144
     
    a = 3 en b = 4 dus c = 5 en de toppen liggen verticaal tov elkaar.
de verschuiving is 1 naar rechts en 2 naar boven.
Dat geeft toppen (1, 6) en (1, -2)  en brandpunten (1, 7) en (1, -3)
       
  c. x2 - 3y2 + 6x + 18 = 0
x2 + 6x + 9 - 9 - 3y2 + 18 = 0
(x + 3)2 - 3y2 = -9  		 
     
    a = 3 en b = √3 dus c = √12 en de toppen liggen verticaal tov elkaar.
de verschuiving is 3 naar links
Dat geeft toppen (-3, ±√3) en brandpunten (-3, ±√12)		  
       
  d. 2y2 - x2 - 4y + 2x + 5 = 0
-2y2 + x2 + 4y - 2x - 5 = 0
x2 - 2x - 2(y2 - 2y) - 5 = 0
(x2 - 2x + 1 - 1) - 2(y2 - 2y + 1 - 1) - 5 = 0
(x - 1)2 - 1 - 2(y - 1)2 + 2 - 5 = 0
(x - 1)2 - 2(y - 1)2 = 4 		 
     
    a = 2 en b = √2 geeft  c = √6 en de toppen liggen horizontaal tov elkaar.
de verschuiving is 1 naar rechts en 1 omhoog.
Dat geeft toppen  (3, 1) en (-1, 1)  en brandpunten (1-√6, 1) en (1+√6, 1)
       
4. De middelpunten zijn (0,0) en (6, 0) en de straal is 4.
Dan zijn de toppen van de hyperbool de punten (1, 0) en (5, 0) en het middelpunt is (3, 0)
a = 2 en c = 3 geeft  b = √(9 - 4) = √5
de verschuiving is 3 naar rechts, dus dat geeft:
 
       
5. Het middelpunt van de cirkel is (-2, 0) en de straal is 5
De top en het middelpunt liggen op de x-as dus de hyperbool ligt met de as horizontaal
De afstand van de top tot de cirkel is 2, dus het brandpunt is (7, 0)  (even ver aan de andere kant)
Die F is het middelpunt van de tweede richtcirkel.
Het midden van de hyperbool is dan (21/2, 0)     (midden tussen beide brandpunten)
Dan is a = 21/2 en c = 41/2 dus  b = √(14)
De verschuiving is 21/2 naar rechts, dus dat geeft;
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)