© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 9x2 - 4y2 - 18x + 45 = 0
9(x2 - 2x) - 4y2 + 45 = 0
9(x2 - 2 + 1 - 1) - 4y2 + 45 = 0
9(x - 1)2 - 4y2 = -36		  
     
    a = 2  en  b = 3 en de asymptoten waren oorspronkelijk  y = ± 11/2x
die zijn 1 naar rechts geschoven, dus dat geeft  y = ± 11/2(x - 1)
Dat zijn y = 11/2x - 11/2  en  y = -11/2x + 11/2		  
       
  b. (x + 2)2 - 4(y - 3)2 = 16  
     
    a = 4 en b = 2 dus de asymptoten waren oorspronkelijk y = ±1/2x
die zijn 2 naar links en 3 omhoog geschoven dus dat geeft  y - 3 = ±1/2(x + 2)
Dat zijn dan  y = 1/2x + 4  en  y = -1/2x + 2    		 
       
  c. 4x2 - y2 + 6y - 5 = 0
4x2 - (y2 - 6y) - 5 = 0
4x2 - (y2 - 6y + 9 - 9) - 5 = 0
4x2 - (y - 3)2 = -4		  
     
    a = 1 en b = 2 dus de asymptoten waren oorspronkelijk  y = ±2x
die zijn 3 omhoog geschoven dus dat wordt  y = ±2x + 3		  
       
  d. 16x2 + 128x = 25y2 + 100y + 244
16(x2 + 8x) - 25(y2 + 4y) = 244
16(x2 + 8x + 16 - 16) - 25(y2 + 4y + 4 - 4) = 244
16(x + 4)2 - 25(y + 2)2 = 400 		 
     
    a = 5 en b = 4 dus de asymptoten waren oorspronkelijk  y = ±4/5x
die zijn 4 naar links en 2 omlaag geschoven, dus dat geeft  y + 2 = ±4/5(x + 4)
dat zijn de lijnen y = 4/5x + 11/5  en  y = -4/5x - 51/5		  
       
2. Omdat de asymptoten elkaar snijden in (0,0) is dat het midden van de hyperbool.
b/a = 4 geeft  b = 4a en dan is de hyperboolvergelijking; 
 
  Dat geeft 16x2 - y2 = ±16a2
(√8, 8) invullen:    128 - 64 = 64 = 16a2 (positieve variant) ⇒  a = 2 en b = 8  (beiden zijn afstanden, dus positief)
Dan is c = √(22 + 82) = √68
de brandpunten zijn dan  (0, ±√68) en de vergelijking is:
 
       
3. y  = 2x - 1  en   y = -2x + 7  eerst maar eens met elkaar snijden om het middelpunt van de hyperbool te vinden:
2x - 1 = -2x + 7
4x = 8
x = 2 en y = 3  Dus het middelpunt van deze parabool is (2, 3)

b/a = 2 dus  b = 2a  en dat geeft algemene vergelijking  (x - 2)²/a² - (y - 3)²/4a² = ±1
vermenigvuldig met 4a2 :     4(x - 2)2 - (y - 3)2 = ±4a2
(8,7) invullen:  4 • 36 - 16 = 128 = 4a2  (de positieve variant)  dus  a = √32  (a is positief) en dan is  b = 2√32
  4(x - 2)2 - (y - 3)2 = 128
       
4. loodrecht op elkaar: dan zijn de richtingscoëfficiënten met elkaar vermenigvuldigd gelijk aan -1
b/a • -b/a = -1
(b/a)2 = 1
b/a = 1  (beiden zijn positief)
b = a
       
5. a. De asymptoten zijn   2x - y - 1 = 0   en   4y + 3x - 8 = 0
de hyperbool is dan   (2x - y - 1)(4y + 3x - 8) = p
punt (1, 2) invullen:   -1 • 3 = -3 = p
(2x - y - 1)(4y + 3x - 8) = -3
       
  b. De asymptoten zijn  x - y  + 1 = 0   en  3x - y + 1 = 0
de hyperbool is dan   (x - y + 1)(3x - y + 1) = p
punt (0, 0) invullen:   1 • 1 = 1 = p
(x - y + 1)(3x - y + 1) = 1 
       
  c. De asymptoten zijn  y - x = 0 en  y + 2 + 2x = 0
de hyperbool is dan  (y - x)(y + 2 + 2x) = p
punt  (0, 2) invullen:   2 • 4 = 8 = p
(y - x)(y + 2 + 2x) = 8
       
6. De asymptoten zijn x = 0 en y = ax + b  dus  x = 0 en  ax + b - y = 0
de hyperbool is dan  x(ax + b - y) = p
ax2 + bx - xy = p
xy = ax2 + bx - p
y = ax + b - p/x
noem die constante b nu c en verander de constante -p in b en je hebt de gezochte vergelijking
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)