© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De lijnen door  (4, 6) die de parabool  y2 = 8x raken.
poollijn  6y = 4x + 16  dus  8x = 12y - 32
invullen in de parabool:  y2 = 12y - 32
y2 - 12y + 32 = 0
(y - 4)(y - 8) = 0
y = 4  ∨  y = 8
Dat geeft de punten  (2, 4) en (8, 8)
Lijn door (2, 4) en (4, 6)  :  y = x + 2
Lijn door (8,8) en (4, 6) :  y = 1/2x + 4
       
  b. De lijnen door  (2, 12)  die de ellips 4x2 + y2 - 80 = 0  raken
poollijn:  8x + 12y - 80 = 0  dus  x = 10 - 11/2y
invullen in de ellips:  4(10 - 11/2y)2 + y2 - 80 = 0
4(100 - 30y + 21/4y2) + y2 - 80 = 0
10y2 - 120y + 320 = 0
y2 - 12y + 32 = 0
(y - 4)(y - 8) = 0
y = 4 ∨   y = 8
Dat geeft de punten  (4, 4) en (-2, 8)
Lijn door  (4,4) en (2, 12):   y = -4x + 20
Lijn door  (-2, 8) en (2, 12) :  y = x + 10  
       
  c. De lijnen door  (1/2, 3/5)  die de hyperbool  2x2 - 5y2 + 13 = 0   raken
poollijn   x - 3y + 13 = 0  dus  x = 3y - 13
invullen in de hyperbool:   2(3y - 13)2 - 5y2 + 13 = 0
2(9y2 - 78y + 169) - 5y2 + 13 = 0
13y2 - 156y + 351 = 0
y2 - 12y + 27 = 0
(y - 3)(y - 9) = 0
y = 3 ∨  y = 9
Dat geeft de punten  (-4, 3) en (14, 9)
Lijn door  (-4, 3) en (1/2, 3/5) :  y = -8/15x + 13/15
Lijn door  (14, 9) en   (1/2, 3/5):   y = 28/45x + 13/45
       
2. a. De lijnen door  (-4, 24) die de ellips 9x2 + 4y2 + 36x - 24y = 828 raken.
poollijn  -36x + 96y + 18x - 72 - 12y - 288 = 828
-18x + 84y = 1188
x = 14/3y - 66
invullen in de ellipsvergelijking:  9(14/3y - 66)2 + 4y2 + 36(14/3y - 66) - 24y = 828
196y2 - 5544y + 39204 + 4y2 + 168y - 2376 - 24y - 828 = 0
200y2 - 5400y + 36000 = 0
y2  - 27y + 180 = 0
(y - 15)(y - 12) = 0
y = 15 ∨  y = 12
Dat geeft de punten   (4, 15)  en  (-10, 12)
       
  b. De lijnen door  (-13/5, -4)  die de hyperbool  5x2 - 2y2 + 40x + 8y = 0 raken.
-8x + 8y + 20x - 32 + 4y - 16 = 0
12x + 12y - 48 = 0
x = 4 - y
invullen in de hyperbool:  5(4 - y)2 - 2y2 + 40(4 - y) + 8y = 0
5(16 - 8y + y2) - 2y2 + 160 - 40y + 8y = 0
3y2 - 72y + 240 = 0
y2 - 24y + 80 = 0
(y - 20)(y - 4) = 0
y = 20 ∨  y = 4
Dat geeft de punten  (-16, 20) en (0, 4)
       
  c. De lijnen door  (11, 5)  die de parabool  y2 + 8y = 12x - 76  raken.
poollijn:   5y + 4y + 20 = 6x + 66 - 76
9y + 30  = 6x
x = 11/2y + 5
invullen in de parabool:  y2 + 8y = 12(11/2y + 5) - 76
y2 - 10y + 16 = 0
(y - 8)(y - 2) = 0
y = 8  ∨  y = 2
Dat geeft de punten  (17, 8)  en  (8, 2) 
       
3. a. y = 2x - 4 snijden met y2 = 4x:
4x = (2x - 4)2
4x = 4x2 - 16x + 16
4x2 - 20x + 16 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
(x- 4)(x - 1) = 0
x = 4 ∨  x = 1
Dat geeft de raakpunten  (1, -2)  en  (4, 4)

2yy'  = 4  geeft  y' = 2/y
in (1, -2) is de helling  y' = 2/-2 = -1  en dat geeft de raaklijn y = -x - 1
in (4,4) is de helling  y' = 2/4 = 1/2  en dat geeft de raaklijn  y = 1/2x + 2
raaklijnen snijden:  -x - 1 = 1/2x + 2
-3 = 11/2x  ⇒  x = -2  en  P = (-2, 1)   
       
  b. y2 = 4x  heeft in het algemeen poollijn   yyP = 2x + 2xP
Dat moet gelijk zijn aan  y = 2x - 4
Je ziet dat die twee gelijk zijn als je kiest  yP = 1  en  xP = -2
       
4. a. vermenigvuldig de lijnvergelijking met 10 en je krijgt de gevraagde vorm.

20x + 10y = 200  moet gelijk zijn aan  4xxP + yyP = 200
Je ziet direct dat dat klopt als  xP = 5 en yP = 10
       
  b. 14x + y = 100  geeft  28x + 2y = 200
28x + 2y = 200 moet hetzelfde zijn als 4xxP + yyP = 200
Dat is zo voor xP = 7 en yP = 2  dus P = (7, 2)
       
5. Van   2x2 - 6y2 = 24  is een poollijn  2xxP - 6yyP = 24
de gegeven lijn is  x + 12y + 6 = 0  ofwel   -4x - 48y = 24
Daaraan is direct te zien dat die twee gelijk zijn als   xP = -2  en  yP = 8  dus  P = (-2, 8)  
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)