Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

∠AEF is een buitenhoek van die driehoek PEF, dus is volgens de stelling groter dan elk van de andere twee hoeken van die driehoek.
Maar dan zou ∠AEF groter zijn dan ∠PFE
Dat kan niet, want die twee hoeken waren gelijk!
Dus bestaat er niet zo'n driehoek PEF.

Op dezelfde manier als in vraag a) kun je bewijzen dat de lijnen AB en CD elkaar ook niet aan de linkerkant kunnen snijden.
Dus kunnen ze elkaar nergens snijden, dus zijn ze evenwijdig.

∠AEF is ook gelijk aan zo'n groene hoek, want is overstaande hoek ermee.
Dus zijn de hoeken AEF en DFE gelijk, dus zijn de lijnen AB en CD volgens het bewijs in vraag b) evenwijdig.

Dan is ∠AEF + ∠FEB > ∠DFE + ∠FEB
De beide binnenhoeken ∠DFE + ∠FEB zijn dus samen minder dan twee rechte hoeken (want ∠AEF + ∠FEB zijn samen twee rechte hoeken)
Dan zegt postulaat 5, dat de lijnen elkaar aan die kant zullen snijden.

Maar de lijnen snijden elkaar niet (gegeven is dat ze evenwijdig zijn)
Dus zijn de binnenhoeken ∠DFE + ∠FEB samen NIET minder dan twee rechte hoeken. Dus kan niet gelden dat ∠AEF > ∠DFE.

Maar er kan ook niet gelden dat ∠AEF < ∠DFE.
Want dan zou aan de andere kant voor de twee binnenhoeken ∠AEF + ∠CFE gelden dat die minder dan twee rechte hoeken zijn.

omdat ∠AEF < ∠DFE en ∠AEF > ∠DFE beiden niet waar zijn moet wel gelden ∠AEF = ∠DFE

De overstaande hoek van ∠AEF is gelijk aan ∠AEF en die overstaande hoek vormt met ∠DFE twee F-hoeken.

∠EBA = ∠BAD (Z-hoeken)
∠BEA = ∠DAC (F-hoeken)
omdat ∠BAD = ∠DAC (gegeven) is dus ook ∠EBA = ∠BEA

driehoek ABE is dus gelijkbenig
dus geldt EA = BA

∠CBD = ∠BAE (F-hoeken)
∠ABC is gestrekt dus daar zie je dat twee rode en twee groene hoeken samen 180º zijn.
Dus zijn één rode en één groene hoek samen 90º

in driehoek SBA blijft dan voor ∠S 90º over.

de twee groene hoeken zijn gelijk (overstaande hoeken)

dan zijn de twee gele hoeken ook gelijk (beiden zijn samen met rood en groen een driehoek, dus 180º)

dan zijn de twee gezochte hoeken ook gelijk want dan zijn overstaande hoeken van de gele hoeken.

omdat ABCD een rechthoek is, is ∠BAC = ∠CDB
∠GEF = ∠CDB (F-hoeken)
∠EFB = ∠GEF (Z-hoeken)
Dus ∠BAC = ∠EFB
Verder is AC = DB = EF
dus zijn de driehoeken AFE en FAC congruent (ZHZ)
Dus is AE = CF

De zijden van CBD zijn √2 - 1 - √5
De zijden van ABC zijn 2 - √2 - √10

De zijden van ABC zijn precies √2 keer zo groot als die van CBD, dus de driehoeken zijn gelijkvormig.
Dan is ∠DCB = ∠CAB (de enkele groene hoek hiernaast)

∠BDC = ∠DAC + ∠DCA (buitenhoek driehoek ADC)
∠EBC = ∠BAC + ∠ACB (buitenhoek driehoek ABC)
maar ∠ACB = ∠BDC (beiden rood + groen)
dus ∠EBC = ∠BAC + ∠BDC

Zie de figuur hiernaast. Een rode en een groene hoek zijn samen steeds 90º
EIF ≅ ABH (ZHH) want EI = AB omdat ABCD een vierkant is
Dus is AF = AH

zie de figuur hiernaast.
∠BSF = rood + groen (buitenhoek driehoek BSC)

Dus ∠BSF = ∠FBS dus driehoek BSF is gelijkbenig.
Dan zijn FS en FB even lang.

10.

AC = AB (ABC is gelijkbenig)
AP = AP
∠CAP = ∠BAP (AD is bissectrice)
Dus zijn APC en APB congruent (ZZH)

Dus is CP = PB en ∠PCR = ∠PBQ
Maar ook is ∠RPC = ∠QPB (overstaande hoeken

dus zijn de driehoeken RPC en QPB congruent (HHZ)
dus is RC = QB

11.

BP = BQ
∠B = ∠B
∠R = ∠S (=90º)
Dus zijn de driehoeken BRP en BSQ congruent (ZHH).

Dan is BR = BS
Maar omdat ook BP = BQ
BP - BS = BQ -BR
PS = QR

Dan zijn de driehoeken QRT en PST congruent (ZHH)
Dus is PT = QT

12.

Trek lijnen door M en door P evenwijdig aan de raaklijn.
Dan zijn de rode hoeken hiernaast gelijk (F-hoeken)

Dan zijn beide driehoeken congruent, want beiden hebben schuine zijde r (straal van de cirkel) een rechte hoek en een rode hoek (ZHH)

Dus MV = PU
Dus RT = SR

Dan hebben de driehoeken MSR en MTR twee gelijke zijden en een rechte hoek, dus ze zijn congruent.

Dus is MS = MT

13.

De groene hoeken zijn buitenhoeken van de driehoeken met de rode hoeken.
Dus alle groenen samen zijn precies gelijk aan alle roden.
Elke blauwe is 180º - groene dus de 6 blauwen zijn samen 6 • 180 - 6 groenen = 1080 - 12 roden
Maar die drie paarsen zijn weer (buitenhoeken) gelijk aan de 6 blauwen samen, dus gelijk aan 180 - 12 roden
de drie gelen zijn elk 180º - paarse, dus drie gelen samen = 540 - 3 paarsen = 540 - (1080 - 12 roden)

Die gelen zijn samen 180º, dus 180 = 540 - (1080 - 12 roden)
12 roden = 720º

14.

MA = MC
MQ = MQ
dus zijn MQA en MQD congruent (twee zijden en een rechte hoek)
Dus is AQ = AC

Op dezelfde manier is CR = BR

2x = PA + PB
= PQ + QA + PR + BR
= PQ + QC + PR + CR
= PQ + QR + PR
Dus de omtrek van driehoek PQR is 2x