© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Bij de rode hoek hoort de rode koorde (BD)
Bij de blauwe hoek C hoort de blauwe koorde (DA).

Die koorden zijn samen de hele cirkel, dus hebben samen middelpuntshoeken van 360º

Dan zijn de omtrekshoeken de helft daarvan:  180º

Dus ∠A + ∠C = 180º

       
2. Omdat de hoeken ADB en AEB 90º zijn, is AB de middellijn van een cirkel waar D en E ook op liggen (stelling van Thales)

Dus liggen A, B, D en E op één cirkel en is ABDE een koordenvierhoek.

Dan ∠BAD + ∠BED = 180º
Maar ook is  ∠BED + ∠CED = 180º (rechte lijn)

Dus is  ∠BAD = ∠BAC = ∠CED  (beiden zijn 180º - ∠BED)

       
3. a. Teken een cirkel die door A, Q en M gaat.
Dan is de omtrekshoek van koorde QM gelijk aan 45º
Maar hoek MDQ is óók 45º (diagonaal van het vierkant)

Dus ligt D ook op deze cirkel (alle punten van de cirkel hebben omtrekshoek 45º met koorde MQ).

Dus is 't een koordenvierhoek.
 

       
  b. Als AMQD een koordenvierhoek is, dan is hoek AMQ 90º (want samen met hoek QDA 180º)
Maar dan is QM de hoogtelijn in driehoek APQ.

Volgens dezelfde redenering is PQAB ook een koordenvierhoek, en is  PN ook een hoogtelijn van driehoek APQ.

De derde hoogtelijn van deze driehoek gaat door het snijpunt van de andere twee.

       
4. ∠ABC = 100º

∠APC = 80º  want APCB is een koordenvierhoek
∠AQC = 80º want AQCB is een koordenvierhoek

Dus zijn de hoeken CPD  en AQD gelijk aan 100º  (rechte lijn)

Als PQ een kwartcirkel is, dan is de middelpuntshoek van PQ gelijk aan 90º en de omtrekshoek dus gelijk aan 45º

Dus ∠PAQ = 45º  en  ∠PCQ = 45º

Noem het snijpunt van PC en AQ punt S.
Dan is ∠PSA =  55º  (hoekensom driehoek PSA)
Dan is ∠PSQ = 125º (rechte lijn AQ)

Vierhoek PSQD heeft hoeken 100º + 100º + 125º + ∠D = 360º
Dus is ∠D =  35º


       
5. a. Omdat M het midden van AB is, is AM = BM
Verder is AO = OB  (straal van de cirkel)
Dan zijn de driehoeken  AOM en BOM gelijkvormig (drie gelijke zijden)

Dus hebben ze gelijke hoeken en is ∠AMO = ∠BMO
Omdat die hoeken samen 180º zijn, moet elke dus wel 90º zijn
Dus staat MO loodrecht op AB.
 

       
  b. Bij spiegelen in lijn MO komt punt F terecht op F'. Dus staat FF' loodrecht op MO.
FM = F'M dus driehoek FMF"is gelijkbenig en de basishoeken MFF' en MF'F zijn gelijk.
Maar omdat zowel FF' als AB loodrecht op MO staan zijn zij evenwijdig.
Dan is ∠ XMF gelijk aan ∠MFF' (Z-hoeken) en evenzo is ∠YMF' gelijk aan ∠FF'M.
Daarom moeten de hoeken XMF en F'MY ook welk gelijk zijn

       
  c. FF'DE is een koordenvierhoek (de punten liggen immers op een cirkel)
Dus ∠F'DE + ∠F'FM = 180º
Dan is ook ∠F'MY + ∠F'DE = 180º (immers ∠FF'M = ∠F'MY)
Maar dan is ook vierhoek MF'DY een koordenvierhoek: overstaande hoeken zijn samen 180º.
       
  d. MY is een koorde van de koordenvierhoek MF'DY dus de omtrekshoeken daarvan zijn gelijk.
Dat betekent dat ∠MF'Y = ∠MDY
Maar ook is ∠MDY = ∠CDE = ∠CFE  (omtrekshoeken van koorde CE op de grote cirkel)
Daaruit volgt ∠MF'Y = ∠MFC
       
  e. De driehoeken FXM en F'YM zijn congruent (zijde-hoek-hoek). Dus is XM = MY
       
6. ab. ∠BPD is de omtrekshoek van koorde AB.
∠BCA is ook de omtrekshoek van koorde AB, en die is 60º (gelijkzijdige driehoek)
Dus is ∠BPA ook 60º

∠CPA is de omtrekshoek van koorde AC
∠CBA is ook de omtrekshoek van koorde AC en die is 60º
Dus is ∠CPA ook 60º

Dus is ∠BPD ook 60º (rechte lijn CPD)

       
  c. Omdat ∠BPD 60º is, en BP = DP, is driehoek BPD gelijkzijdig, dus is ook zijde BD = BP

∠PCB = ∠PAB want beiden zijn de omtrekshoek van koorde PB

Dan is  DAPB ≅ DCDB  (ZHH)

Dan is  AP = CD

       
  d. AP = CD (vraag c) = CP + PD = CP + BP
       
7. ∠ARS + ∠APS = 180º  (koordenvierhoek ARSP
∠ARS + ∠CRS = 180º (rechte lijn)
dus ∠APS = ∠CRS

∠BQS + ∠BPS = 180º  (koordenvierhoek PSQB
∠BQS + ∠SQC = 180º  (rechte lijn)
dus  ∠BPS = ∠SQC

Omdat ∠APS + ∠BPS = 180º (rechte lijn) geldt ook dat
∠CRS + ∠SQC = 180º . Dus is CRSQ een koordenvierhoek.

       
8.

     
8. ∠CSD = 90º dus S ligt op een cirkel met middellijn CD (Thales)
∠CPD = 90º dus D ligt ook op die cirkel.
Conclusie: CDPS is een koordenvierhoek

∠SPD + ∠DCS = 180º
∠SPC + ∠DCS = 90º want vergeleken met de vorige regel is ∠DPC er afgegaan
∠SDC + ∠DCS = 90º

Uit de laatste 2 regels volgt dat ∠SDC = ∠SPC

Op dezelfde manier zijn ook CRSE en QPBC en ARQC koordenvierhoeken.
En op dezelfde manier bewijzen we dan ook dat 
∠CRS = ∠CES  en  ∠QPB = ∠QCB en  ∠ARQ = ∠ACQ

∠SPB + ∠QPB + ∠SRA + ∠QRA =
∠SPB + ∠QCB + ∠SRA + ∠ACQ =
90º + ∠SPB + ∠SRA  (want ∠QCB + ∠ACQ = 90º)
90º + (90º - ∠SPC) + (90º - ∠SRC)
270º - (∠SPC + ∠SRC)
270º - (∠SDC + ∠SEC)  en die laatste twee zijn samen 90º omdat de driehoek rechthoekig is.
270º - 90º = 180º

Dus is PQRS een koordenvierhoek.
       
9. a. ∠DBC = ∠DAC  (omtrekshoek van DC)
Dus zijn de driehoeken AED en BCD gelijkvormig
AE/AD = BC/BD  dus  AE • BD = BC • AD

     
  b. ∠ADB = ∠EDC  (beiden ∠EDB plus de rode hoek
∠ABD = ∠ACD (omtrekshoek van AD)
Dus zijn de driehoeken ABD en  ECD gelijkvormig
AB/BD = EC/CD  dus  AB • CD = EC • BD
       
  c. Gebruik de resultaten van a. en b.:
AC • BD = (AE + EC) • BD = AE • BD + EC • BD = BC • AD  + AB • CD

links staat het product van de diagonalen,
rechts staat de som van de producten van de overstaande zijden.
       
10. Omdat de hoeken APM en ARM beiden 90º zijn is MRAP een koordenvierhoek.
Dan zijn de hoeken PAM en MRQ gelijk (omtrekshoek van PM)

Omdat de hoeken BRM en BQM beiden 90º zijn is MQRB een koordenvierhoek.
Dan zijn de hoeken MRQ en MBQ gelijk (omtrekshoek van QM)

Dus geldt  ∠MBQ = ∠MAP
Verder is MP = MQ (straal cirkel)
en  ∠MPA = ∠MQB  (beiden 90º)

Dus de driehoeken MPA en MQB zijn congruent (HHZ)
Dus is PA = QB		  
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)