Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Kies een willekeurig punt V op de richtlijn.
teken de lijn door V loodrecht op r
teken de middelloodlijn van FV
waar die elkaar snijden ligt punt P
Dat is hierboven in het groen en in het paars gedaan

Teken de as van de parabool.
Teken een raaklijn in een willekeurig punt P van de parabool.
teken een willekeurige lijn die loodrecht op die raaklijn staat.
teken vanaf P een lijn evenwijdig aan de as.
• M is het snijpunt van de loodrechte lijn met de raaklijn
• V is het snijpunt van de loodrechte lijn met de lijn evenwijdig aan de as
• F is het snijpunt van de loodrechte lijn met de as.
verschuif die loodrechte lijn totdat MV = MF
dan heb je V, en dus de richtlijn gevonden en ook het brandpunt F.

Teken een lijn door A evenwijdig aan de as. Op deze lijn moet het voetpunt van A liggen.
Noem B het snijpunt van deze lijn met de as, en teken het midden M van AB.
Teken een lijn door M loodrecht op de raaklijn dat moet de lijn FV zijn.
F is dan het snijpunt van deze laatste lijn met de as, en V het snijpunt met de lijn evenwijdig aan de as.
De richtlijn gaat door V en staat loodrecht op AV.

zie hiernaast.

m is de middelloodlijn van FV, dus dat geeft punt V
RV is de lijn van R loodrecht op de richtlijn.
Dat geeft de richtlijn.

Teken FV_F loodrecht op de richtlijn. Het midden daarvan is de top T.

De conflictlijn van A met k is een parabool, die van B met k ook, en die van A en B de middelloodlijn.
Je vindt bijv. de parabool tussen A en k door een willekeurig voetpunt V op k te kiezen, en vervolgens de loodlijn op k door V te trekken.
Het snijpunt P van zo'n loodlijn met de middelloodlijn van AV is een punt van de parabool.

RQ is de conflictlijn tussen de rand van gebied A en de noord-zuid rand van gebied B.

PQ is een deel van de parabool met richtlijn de rand van gebied A en brandpunt K.

De lijn van P naar rechts loopt midden tussen beide landen.

D ligt op de parabolen dus is de afstand van D tot een brandpunt gelijk aan de afstand van D tot richtlijn k
de afstand van D tot k is daarom gelijk aan DA (D op parabool 1)
de afstand van D tot k is ook gelijk aan DB (D op parabool 2)
Dus DA = DB
Als DA = DB dan ligt D op de middelloodlijn van AB.

even ver van A als van k dat is parabool 1.
even ver van B als van k dat is parabool 2
even ver van A als van B is de middelloodlijn van AB en dat is DE.
Dat verdeelt het vlak in de drie gebieden hiernaast.
(het gebied onderaan loopt door onder lijn k)

Teken RA en ook de lijn RS (S is de projectie van R op lijn k)
Omdat R op de parabool ligt geldt dan RA = RS.
Dan is hoek CRA = hoek CRS (raaklijneigenschap van parabolen; CR is immers een raaklijn)

Maar dan zijn driehoeken CAR en CSR congruent

Dus is hoek ACR = hoek RCS

Dus is lijn CR de bissectrice van hoek ACS.

Teken een lijn van R evenwijdig aan de as van de parabool (de lijn naar het voetpunt van R)
De lijn RF maakt dezelfde hoek met de raaklijn als RV dus is RF te tekenen.

Waar RF de as van de parabool snijdt bevindt zich het brandpunt F

De richtlijn zit dan aan de andere kant van de top, even ver als F van de top af zit.

De conflictlijn van een punt met een lijn is een parabool, dus de conflictlijnen tussen C en A en C en B zullen twee parabolen zijn.
De conflictlijn tussen twee snijdende lijnen is de bissectrice daarvan, dus de conflictlijn tussen A en B zal de bissectrice zijn. Die zijn allemaal in de linkerfiguur hieronder getekend.

De raaklijnen zijn raaklijnen aan parabolen en dat zijn de bissectrices van de hoeken (raaklijneigenschap parabool) Dus β = ¹/₂ ∠KDL
Maar KDLG is een vierhoek met hoekensom 360º, en omdat twee hoeken ervan 90º zijn moeten de twee anderen samen 180º zijn, dus ∠KDL + α = 180 ⇒ ∠KDL = 180 - α
β = ¹/₂∠KDL = ¹/₂(180 - α) = 90 - ¹/₂α.

Als N op de parabool ligt, is de afstand tot de richtlijn (NC) gelijk aan de afstand tot het brandpunt (NM)
Dus NC = NM.
Maar ook NC = ND want N is het midden van DC.
dus geldt NC = ND = NM.
Dan is er een cirkel met middelpunt N waar M, D, en C op liggen.
DC is een middellijn van die cirkel.
De stelling van Thales zegt dan dat ∠DMC gelijk is aan 90º.

10.

PT is de middelloodlijn van FV (raaklijneigenschap parabolen)

PF = PV (P op de parabool)
FT = TV (middelloodlijn)
PT = PT
Dus de driehoeken PFT en PVT zijn congruent (ZZZ)

Dan is ∠PFT = ∠PVT = 90º

Twee hoeken van vierhoek PFTV tegenover elkaar zijn dus samen 180º, dus is PFVT een koordenvierhoek.

Dus liggen de punten P, F, V en T op een cirkel.

11.

∠FRG = ∠FSH (F hoeken).
∠RGF = ∠SHF (beiden 90º).
Dus zijn de driehoeken FRG en FSH gelijkvormig (hh).
Maar dan hebben de overeenkomstige zijden dezelfde verhoudingen.
Dus ^FR/_FS = ^FG/_FH.
Maar omdat FG = GH geldt dat ^FG/_FH = ¹/_2.
Dus is ook ^FR/_FS = ¹/₂ ⇒ FS = 2FR ⇒ RS = FS - FR = 2FR - FR = FR.

MR staat loodrecht op k (raaklijn eigenschap cirkel).
∠FMR = ∠FXR (gelijkvormigheid van de driehoeken).
Dus is MR evenwijdig aan XS (F-hoeken).
Als MR loodrecht op k staat, dan staat XS het ook, immers die zijn evenwijdig (F-hoeken).

Dan moet gelden XS = XF (eigenschap parabool).
Omdat FMR en FXS gelijkvormig zijn hebben overeenkomstige zijden dezelfde verhoudingen.
Omdat FM = MR (straal van de cirkel) is dan ook FX = XS.