© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.

       
  I. onderaan een prisma, daarop een piramide.

prisma:
   grondvlak  h2 + 1,52 = 32  ⇒  h = √6,75 dus oppervlakte  0,5 • 3 • √6,75 = 3,897
   hoogte 4, dus inhoud  3,897 • 4 = 15,588

piramide:
   grondvlak een driehoek en een rechthoek
   0,5 • 3 • 1 + 3 • 2 = 7,5
   hoogte √6,75, dus inhoud  1/3 • 7,5 • √6,75 = 6,495

totale inhoud is dan 15,588 + 6,495 ≈ 22,1
       
  II een balk plus 4 prisma's (AEF.DCB)  plus 4 piramides (A.EGHF)

balk heeft inhoud:   6 • 2 • 4 = 48

prisma.
grondvlak  0,5 • 1 • 2 = 1
hoogte 6, dus inhoud 1 • 6 = 6

piramide:
grondvlak  1 • 1 = 1
hoogte 2, dus inhoud  1/3 • 1 • 2 = 2/3

Samen geeft dat  48 + 4 • 6 + 4 • 2/3 = 742/3  = 74,7
       
  III twee prisma's en een balk en een piramide

balk:  4 • 4 • 2 = 32

prisma1 (bovenop): 
grondvlak  0,5 • 4 • 1 = 2
hoogte 4, dus inhoud 4 • 2 = 8

prisma2 (vooraan)
grondvlak  0,5 • 2 • 4 = 4
hoogte 2 dus inhoud 2 • 4 = 8

piramide:
grondvlak 1 • 2 = 2
hoogte 4 dus inhoud  1/3 • 2 • 4 = 8/3

Samen geeft dat 502/3 = 50,7
       
2. Zoals je hiernaast ziet is het een kubus waar 8 piramides zijn afgehaald.
x2 + x2 = 42  geeft  2x2  = 16  dus  x = √8

inhoud hele kubus:  (2√8)3  = 64√8

piramide:
grondvlak  0,5 • √8 • √8 = 4
hoogte √8 dus inhoud  1/3 • 4 • √8 = 4/3√8

Dan blijft over:  64√8 - 8 • 4/3√8 = 531/3√8 = 150,86 

       
3a.

       
  Onder vlak IJKL is er een balk waar 4 piramides zijn afgehaald.
Boven vlak IJKL is er een piramide.

De balk heeft inhoud 10 • 10 • 9 = 900   m3
een piramide heeft inhoud   1/3 • (1/2 • 5 • 5) • 3 = 121/2  m3
 
EH2 = 52 + 52  dus  EH = √50
De bovenste piramide heeft inhoud  1/3 • (√50 • √50) • 3 = 50 m3

Samen geeft dat inhoud  900 - 4 • 121/2 + 50 = 900  m3
       
3b. AE2  = 32 + 52 = 34  dus  AE = √34
Alle zijden van zo'n ruit zijn dus √34
EH = √50 (zie vraag a)

TM2 = (√34)2 - (1/2√50)2 = 34 - 12,5 = 21,5 dus  TM = √21,5
Oppervlakte HET is dan 1/2 • √50 • √21,5
Oppervlakte van de ruit is dan  √50 • √21,5 = √1075

De 4 ruiten samen hebben oppervlakte 4√1075 = 131 m2

       
4.

       
  De zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden 4.
h2 = 42 - 22 = 12  dus  h = √12
De oppervlakte van zo'n driehoek is dan 1/2 • 4 • √12 = 2√12
De oppervlakte van de zeshoek is dan 12√12
De inhoud van het hele prisma is  12 • 12√12 = 144√12
Daar moeten nog twee piramides van af.
Het grondvlak van zo'n piramide is driehoek ABC en de oppervlakte daarvan is 2√12 (gelijk aan de oppervlakte van zo'n gelijkzijdige driehoek)
De inhoud is dan 1/3 • 2√12 • 6 = 4√12
De inhoud van het lichaam is  144√12 - 2 • 4√12 = 136√12 ≈  417
       
5.

       
  De inhoud is:  piramide ABCD.E waar PQRS.E van afgehaald moet worden  en waar piramide PQRS.T bij opgeteld moet worden.
ABCD.E heeft inhoud  1/3 • 4 • 4 • 3 = 16
  Zie het vooraanzicht hiernaast.

Kies O als oorsprong dan is  TV de lijn y = 8 - 8x en EC de lijn y = 3 - 1,5x
snijden:  8 - 8x = 3 - 1,5x
6,5x = 5  dus  x = 10/13 en dan is  y = 24/13
Dan is  PQ = 20/13
Verder is de hoogte van piramide E.PQRS gelijk aan 3 - 24/13 = 15/13
De hoogte van piramide PQRS.T is 8 - 24/13 = 80/13

PQRS.E heeft inhoud  1/3 • (20/13 • 20/13) • 15/13 = 0,910
PQRS.T heeft inhoud  1/3 • (20/13 • 20/13) • 80/13 = 4,855

De torenspits heeft inhoud  16 - 0,910 + 4,855 = 19,95
 
       
6.

       
  A balk met inhoud 6  • 10 • 8 = 480
prisma met inhoud  (1/2 • 6 • 8) • 10 = 240
Totale inhoud 720
       
  B. Piramide A.BCD heeft hoogte  2 en grondvlak BCD met oppervlakte 1/2 • 6 • 8 = 24
inhoud is dan  1/3 • 24 • 2 = 16
Totale inhoud  720 - 2 • 16 = 688
       
  C1. AR is doorgetrokken naar S zodat PQS loodrecht op het grondvlak staat.
Omdat PQ lengte 3 heeft ligt PQ halverwege de hoogte van het dak.
Dan is AS de helft van AB en dat is 1.
De oppervlakte van PQS is  1/2 • 3 • 4 = 6
De inhoud van piramide A.PQS is  1/3 • 6 • 1 = 2
De inhoud van piramide R.PQS is  1/3 • 6 • 3 = 6
De inhoud van  RAPQ is dan  6 - 2 = 4
Totale inhoud 688 - 2 • 4 = 680
       
  C2. LM ligt op 2/3 deel van de hoogte van het dak
Daarom is AK = 1/3 • AB = 2/3
Oppervlakte KLM is  1/2 • 2 • (1/3 • 8) = 8/3
inhoud A.KLM is  1/3 • 8/3 • 2/3 = 16/27
Totale inhoud is 688 + 2 • 16/27 = 6985/27
       
7. de voorkant is een rechthoek plus een vierkant plus twee kwartcirkels.
rechthoek:  100 • 60 = 6000
vierkant:  20 • 20 = 400
twee kwartcirkels:  2 • 1/4 • π • 202 = 200p
totale oppervlakte is dan  6000 + 400 + 200π = 7028,32
De inhoud is dan  7028,32 • 40 = 281132,74 cm3
Dat is ongeveer 281 liter
       
8 a. Het karretje is een prima met hoogte 30
Het voorvlak is een rechthoek waar 2 driehoeken zijn afgehaald.
Oppervlakte is  50 • 30 - 1/2 • 20 • 10 - 1/2 • 10 • 20 = 1300 cm2

De inhoud is dan 1300 • 30 = 39000 cm3
       
  b. Het onderste deel is ook een prisma met hoogte 30
Het voorvlak is een rechthoek waar 1 driehoek is afgehaald.
Oppervlakte is  50 • 10 - 1/2 • 20 • 10 = 400
De inhoud is dan 400 • 30 = 12000
Dat is  12000/39000 • 100% = 30,8%
       
9. Het afgeslepen deel is een kegel met inhoud  1/3 • (π • 12) • 2 = 2/3π
De rest is een cilinder met inhoud   (π • 12) • h  = πh
Dus  2/3π + πh = 25
πh = 22,9056
h = 7,3 cm = 73 mm

       
10. R is het midden van EF.
Dan kun je het lichaam L krijgen door van een kubus twee afgeknotte piramiden weg te halen. Eentje daarvan is hiernaast rood getekend: PRQ.BFG.
De andere is  PRQ.AEH.

Inhoud PRQ.BFG = PRQ.AEH - E.BFG
= (1/3)•(1/2)•6•6•6 - (1/3)•(1/2)•3•3•3 = 31,5

De inhoud van L is dus  6•6•6 - 2•31,5 = 153
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)