|
|||||
| 1. | Zie de figuur
hiernaast. Uit gelijkvormige driehoeken volgt: h/r = 80/30 (rode kegel) en daaruit volgt r = 3/8h (80 - h)/r = 80/20 (blauwe kegel) en daaruit volgt 20(80 - h) = 80r Vul de eerste in de tweede in: 20(80 - h) = 80 3/8 h 1600 - 20h = 30h 50h = 1600 h = 32 en dan is r = 3/8 32 = 12 Hele rode kegel heeft inhoud 1/3 π 302 80 = 24000π Bovenste deel van de rode kegel heeft inhoud 1/3 π 122 32 = 1536π Hele blauwe kegel heeft inhoud 1/3 π 202 80 = 106662/3π Onderste deel van de blauwe kegel heeft inhoud 1/3 π 122 (80 - 32) = 2304π |
|
|||
| De hele figuur heeft inhoud 24000π + 106662/3π - 1536π - 2304π = 308262/3π | |||||
| 2. | a. | Zie hiernaast. PR = PQ = 8 dus dat wordt 2 cm. hoek RPQ is 90Ί |
 |
||
| b. | EF2 = 162 + 122 = 400 dus EF = 20 | ||||
| c. | De figuur bestaat uit een prisma
plus een piramide. Prisma heeft grondvlak 1/2 16 16 = 128 De hoogte is 6, dus de inhoud is 6 128 = 768 piramide heeft hetzelfde grondvlak, en hoogte 12 de inhoud is dus 1/3 128 12 = 512 De totale inhoud is dan 768 + 512 = 1280 |
||||
| 3. | Zie de figuur hiernaast. ARD.CDF is een prisma. Het grondvlak heeft oppervlakte 1/2 10 3 = 15 De hoogte is 8, dus de inhoud is 8 15 = 120 PQF.C is een piramide. |
|
|||
| ARPCFD (het deel
achter vlak APC) heeft inhoud 120 - 20 = 100, dus het deel vσσr
vlak APC heeft inhoud 240 - 100 = 140 De verhouding is dan 100 : 140 = 5 : 7 |
|||||
| 4. |
|
||||
| a | MN maakt een hoek van
60Ί met het horizontale vlak. tan 60Ί = NQ/MQ dus NQ = MQtan 60Ί = 1,5 1/3√3 = 1/2√3 Dan is ook CF = 1/2√3 |
||||
| b. | Hele prisma hierboven
heeft grondvlak 1/2
1/2√3
1,5 = 3/8√3 De hoogte is 2 + 1,5 + 1,5 + 2 = 7, dus de inhoud is 3/8√3 7 = 4,5466 m3 Daar moeten nog twee piramiden vanaf grondvlak van zo'n piramide is 2 CF = 2 0,5√3 = √3 hoogte is 1,5 dus inhoud 1/3 √3 1,5 = 0,5√3 = 0,8660 De inhoud van de dakkapel is dan 4,5466 - 2 0,8660 = 2,81 m3 |
||||
| 5. | a. | uit gelijkvormige driehoeken volgt:
(84 + h)/25 = h/10 10(84 + h) = 25h 840 + 10h = 25h 840 = 15h h = 56 inhoud hele piramide: 1/3 502 (84 + 56) = 1166662/3 inhoud onderste piramide: 1/3 202 56 = 74662/3 inhoud vaas 1166662/3 - 74662/3 = 109200 cm3 Dat is 109,2 liter |
|
||
| b. | Zie de figuur hiernaast. x/96 = 25/140 x = 120/7 Inhoud van de piramide onder AB: 1/3 (240/7)2 96 = 37616,326 Daar moet de piramide onder CD nog af, inhoud zand is 37616,326 - 74662/3 = 30149,659 cm3 Er zit dus 30,1 liter zand in de vaas van de maximale inhoud van 109,2 liter Dat is 30,1/109,2 100% = 27,6% |
|
|||
| 6. | Van de hele kubus moeten 4
piramides afgehaald worden. Als de piramide ribben 1 heeft is de inhoud van zo'n piramide gelijk aan 1/3 (1/2 1 1) 1 = 1/6 4 piramides hebben dan inhoud 2/3 De hele kubus heeft inhoud 1 Voor het lichaam blijft dan 1/3 deel over. |
|
|||
| 7. | a. | PC2 = 52 - 12
dus PC = √24 driehoek PGC heeft oppervlakte 1/2 · 1· √24 DCGH heeft oppervlakte 4√24 + 2 · 1/2√24 = 5√24 De hele bak is een prisma met grondvlak DCGH en hoogte CB De inhoud is dan 12 · 5√24 = 60√24 = 294 liter |
|
||
| b. | Het grondvlak van het prisma wordt dan DGC in
plaats van DCGH Oppervlakte DCG is 1/2 · 4 · √24 = 2√24 Inhoud is dan 2√24 · 12 = 24√24 = 117,6 liter |
|
|||
| 8. | De figuur bestaat uit een prisma
plus twee piramides. CJ2 = 52 - 32= 16 dus CJ = 4 piramide C.HIDF heeft inhoud 1/3 (3 3) 4 = 12 prisma CJH.BIG heeft inhoud 1/2 4 3 3 = 18 De totale inhoud is dan 12 + 18 + 12 = 42 |
|
|||
| 9. | E.ABCD:
hoogte h, grondvlak a2 dus inhoud
1/3
a2 h C.EFGH: hoogte h, grondvlak b2 dus inhoud 1/3 b2 h E.BCF: hoogte EF = b, grondvlak BCF = 1/2 ah dus inhoud 1/6 abh E.HDC: hoogte EH = b, grondvlak HDC = 1/2 ah dus inhoud 1/6 abh Samen wordt dat ; 1/3 a2 h + 1/3 b2 h + 1/6 abh + 1/6 abh Neem de laatste twee termen samen en je hebt de gevraagde formule. |
|
|||
| 10. |
prisma: Het grondvlak is driehoek BCG met oppervlakte 0,5 6 6 = 18 De hoogte is AB = 6, dus de inhoud is 18 6 = 108 piramide: Driehoek MQG heeft twee hoeken van 45Ί. en is dus gelijkbenig. Als MQ = x dan geldt in driehoek MQG: x2 + x2 = 42 ofwel x = √8 en dat is de hoogte van de piramide Het grondvlak van de piramide is ABGH BG2 = 62 + 62 dus BG = √72 De inhoud van de piramide is dan 1/3 G h = 1/3 (√72 6) √8 = 48 De totale inhoud van het lichaam is dan 108 + 48 = 156 cm3 |
|
|||
| 11 |
|
||||
| a. | De
inhoud van een prisma is grondvlak hoogte. Het grondvlak van het prisma is BCGLF en de hoogte is BA = 40. GLF is een driehoek met basis 30 en hoogte 15, dus oppervlakte 0,5 30 15 = 225 Als je BCGF omgekeerd tegen zichzelf aanlegt krijg je een rechthoek van 50 bij 58 en oppervlakte 2900 Dus de oppervlakte van BCGF is 1450 Het totale grondvlak BCGLF heeft oppervlakte 1450 + 225 = 1675 Het prisma heeft inhoud 1675 40 = 67000 cm3 = 67 liter. |
||||
| b. | de
inhoud van de binnenbak is 90% van de inhoud van de buitenbak, dus dat
is een vermenigvuldigingsfactor 0,9. Omdat het om een inhoud gaat is dat gelijk aan k3 k3 = 0,9 geeft k = 0,91/3 = 0,965 De hoogte wordt dan 0,965 58 = 56 cm. |
||||
| 12. | a. | De figuur bestaat uit een balk en een
piramide. Balk: 4 5 6 = 120 Piramide: 1/3 4 5 6 = 20/3 Samen is dat 1262/3 |
|
||
| b. | Een prisma en twee piramides. Inhoud prisma: 1/2 6 4 6 = 72 Inhoud piramide: 1/3 2 6 4 = 16 Samen 72 + 2 16 = 104 |
|
|||
| 13. | Het is een afgeknotte piramide
(zie de figuur) Hele piramide: 1/3 1/2 8 8 16 = 512/3 Bovenste deel: 1/3 1/2 4 4 8 = 64/3 Het lichaam heeft dan inhoud 512/3 - 64/3 = 1491/3 |
|
|||
| 14. | Het
hele prisma heeft inhoud G h = (0,5 6 8) 9 = 216 Daar moeten twee piramides af. De inhoud van zo'n piramide is 1/3 G h = 1/3 3 6 8 = 48 Dus blijft over 216 - 2 48 = 120 cm3 |
||||
| 15. | a. | BJP =
100 en dus JP = 50 (J was het midden) JP2 = h2 + 272 (h is de hoogte van het prisma) h2 = 502 - 272 = 1771 h = √1771 = 42,08 De hele hoogte is dan 50 + 42,08 = 92,08. |
|||
| b. | MP =
0,5JK = 27 en dat is de hoogte van een piramide. Het grondvlak is driehoek PJK en die heeft oppervlakte 0,5 54 42,08 (zie vraag 6) = 1136,16 De inhoud van een piramide is dus 1/3 1136,16 27 = 10225,44 het prisma heeft inhoud G h = 1136,16 83 = 94301,28 de balk heeft inhoud 83 54 50 = 224100 Het overblijvende deel heeft inhoud 224100 + 94301,28 - 2 10225,44 = 297950,4 Dat is ongeveer 300000 mm3 en dat is 0,30 liter |
||||
| 16. | De oorspronkelijke
kubus had zijden 1 + √2 De oorspronkelijke inhoud is dan (1 + √2)3 = 1 + 3√2 + 6 + 2√2 = 7 + 5√2 Daar zijn 8 piramides afgehaald. Eιn zo'n piramide heeft inhoud 1/3 (1/2 1/2√2 1/2√2 ) 1/2√2 = 1/24√2 Dan blijft over 7 + 5√2 - 1/3√2 = 7 + 14/3√2 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
