|
|||||
| 1. | a. | r = 3,25 O = 4 • π • 3,252 = 421/4π |
|||
| b. | inhoud van de hele
bal: 4/3
•
π • 3,253 = 143,7933 inhoud lege binnenruimte 143,7933 - 100 = 43,7933 43,7933 = 4/3πr3 43,7933 = 4,189r3 r3 = 1,455 r = 2,19 De dikte is dan 3,25 - 2,19 = 1,06 cm |
||||
| 2. | a. | diameter 1 cm
betekent straal 0,5 cm de inhoud is dan 4/3π • 0,53 = 0,5236 cm3 1 liter is 1000 cm3 dus dat zijn 1000/0,5236 = 1909 kogeltjes (en een klein beetje) |
|||
| b. | oorspronkelijke straal:
4/3πr3
= 1000 r3 = 238,73 r = 6,20 oorspronkelijke oppervlakte: 4π • 6,202 = 483,60 nieuwe oppervlakte: 1909 • 4π • 0,52 = 5997,3 Dat is 5997,3/483,60 is ongeveer 12,4 keer zo groot. |
||||
| 3. | a. | De driehoeken BMP en BMQ zijn gelijk, want ze hebben twee dezelfde zijden en een rechte hoek. Dus is BQ = BP = 5 |
|
||
| b. | TP = 12, en voor TM gaat daar weer r (=MP) van af. | ||||
| c. | Pythagoras in driehoek TPB:
122 + 52 = TB2 = 169 dus
TB = 13 TQ = TB - BQ = 13 - 5 = 8 Pythagoras in driehoek TMQ: (12 - r)2 = 82 + r2 144 - 24r + r2 = 64 + r2 24r = 80 r = 31/3 |
||||
| d. | Inhoud hele kegel is
1/3
•
π • 52 • 12 = 314,16 Inhoud bol is 4/3 • π • (31/3)3 = 155,14 Het percentage is dan 155,14/314,16 • 100% = 49% |
||||
| 4. | 2πr
= 40000 geeft r = 6366,2 km de inhoud is dan 4/3 • π • 6366,33 = 1,08 • 1012 km3 en dat is 1,08 • 1021 m3 de dichtheid is dan 6 • 1024 / 1,08 • 1021 = 5556 kg/m3 de aarde lijkt het meest op radium. |
||||
| 5. | De oppervlakte van de
aarde is 4 •
π • 63782 = 5,1
• 108 km2 Nederland is daarvan 41528/5,1 • 108 = 0,00008ste deel, en dat is ongeveer 1/12000 ste deel |
||||
| 6. | a. | Stel dat de straal
van een tennisbal gelijk is aan r Dan is de hoogte van het blik 8r en de straal van het grondvlak r De oppervlakte van de cilindermantel is dan 2πr • 8r = 16πr2 De oppervlakte van een bal is 4πr2 dus de oppervlakte van vier ballen is 16πr2 Dat is inderdaad gelijk. |
|||
| b. | Voor één bal is de
oppervlakte 4πr2 De hoogte van de cilinder is dan 2r dus de oppervlakte 2πr • 2r = 4πr2 Dat is gelijk. Meer ballen opstapelen is hetzelfde als meer cilinders van één bal op elkaar zetten, dus dat blijft gelijk. Bij elke bal extra komt er ook een cilindermantelstuk van 2r hoogte extra bij. |
||||
| c. | Inhoud van de
cilinder:
π•r2 • 8r
= 8πr3 Inhoud van 4 ballen: 4 • 4/3π • r3 = 16/3πr3 Dat is 2/3 deel |
||||
| d. | Methode A: Het blik is 6r bij 4r bij 2r dus heeft inhoud 48r3 6 ballen hebben inhoud 6 • 4/3 π • r3 = 8πr3 dat is 8π/48 • 100% = 52,4% |
||||
| Methode B: h2 + r2 = (2r)2 dus h2 = 3r2 dus h = r√3 Het blik is 2r + r√3 bij 7r bij 2r (zie hiernaast) De inhoud is dan (2r + r√3) • 7r • 2r = 52,25r3 6 ballen hebben inhoud 6 • 4/3 π • r3 = 8πr3 dat is 8π/52,25 = 48,1% |
|
||||
| 7. | Zie het vooraanzicht
van de emmer hiernaast. Uit gelijkvormige driehoeken volgt: 15/(27 + h) = 10/h 15h = 10(27 + h) 15h = 270 + 10h 5h = 270 h = 54 dus de hele hoogte van de kegel is 81 De hele kegel heeft inhoud 1/3 • π • 152 • 81 = 6075π Het onderste deel heeft inhoud 1/3 • π • 102 • 54 = 1800π De emmer heeft dan inhoud 6075π - 1800π = 4275π = 13430 cm3 |
|
|||
| één druppel water
heeft inhoud 4/3π
• 0,23 = 0,03351 cm3 dan passen er 13430/0,03351 ≈ 400000 druppels in de emmer dat duurt 400000 seconden en dat is ongeveer 111 uur |
|||||
| 8. | De straal van de bol
en van het grondvlak van de cilinder is 38 cm. Inhoud cilinder: π • 382 • 130 = 187720π Inhoud halve bol: 1/2 • 4/3 • π • 383 = 365811/3π Samen is dat 2243011/3π = 704663 cm3 ≈ 705 liter |
 |
|||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
