© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De hoogte is 24 en de straal is 6, dan is de schuine zijde  √(242 + 62) = √612
De zijde van het karton moet minstens de diameter zijn, en die is 2√612 ≈ 49,5 cm
       
  b. Er wordt  6/√612 ste deel van de cirkel gebruikt.
Dat heeft oppervlakte  6/√612 • π • 612 = 466,31
Het hele karton heeft oppervlakte (2√612)2 = 2448
ze gooit  2448 - 466,31 = 1981,69 weg en dat is  1981,69/2448 • 100% = 81%
       
2. de omtrek van de grondcirkel is 70, dus de straal ervan is  70/2π = 11,14 cm
dan is de schuine zijde van de kegel  √(11,142 + 182) = 21,17 cm
dan is er 11,14/21,17 = 0,526ste deel nodig
de oppervlakte is dan  0,526 • π • 21,172 = 740,9 cm2
       
3. 0,5 liter is 500 cm3
1/3 • π • r2 • 20 = 500
r2 = 23,87
r = 4,89 cm
de schuine kant heeft lengte  √(4,892 + 202) = 20,59 cm
dan is er  4,89/20,59 = 0,237ste deel nodig
de oppervlakte is dan 0,237 • π • 20,592 = 316 cm2
       
4. de schuine kant heeft lengte R = √(r2 + h2)
de hele cirkel van de uitslag heeft omtrek  2πR
de grondcirkel heeft omtrek 2πr dus er wordt  2πr/2πR = r/R ste deel gebruikt
de oppervlakte is r/R • πR2 = πrR  = πr√(r2 + h2)
       
5. de schuine kant van de kegel heeft lengte √(82 + 3,32) = 8,654 m
Er is  3,3/8,654 = 0,381ste deel van de uitslagcirkel gebruikt
Dat heeft oppervlakte  0,381 • π • 8,6542 = 89,71 m2
Als de dikte overal d is, dan geldt  89,71 • d = 30
d = 0,33 meter, dus dat is 33 cm.
       
6. hoogte 9,5 en inhoud 515 geeft  πr2 • 9,5 = 515
dan is r2 = 17,25  dus  r = 4,15
De manteloppervlakte van het bovenste deel  is  2π • 4,15 • 9,5 = 247,95 m2
De bovenkant heeft oppervlakte  π • 4,152 =  54,21
De onderkant heeft ook oppervlakte 54,21 maar daar hoeft een deel niet van geverfd te worden
De straal van het onderste deel is 0,5 • 4,15 = 2,08
Dus hoeft  π • 2,082 = 13,55 m2 niet te worden geverfd, en dus 54,21 - 13,55 = 40,66 m2 wel.

De manteloppervlakte van het onderste deel is  2 • π • 2,08 • 41 = 535,06 m2

Dat geeft een totale te verven oppervlakte van  247,95 + 54,21 + 40,66 + 535,06 = 878 m2 
       
7. de breedte van de afgeknotte kegel loopt van 12 tot 2 over een hoogteverschil  van 6,5 cm
 
Δh 6,5 ??
Δb 10 12
  ?? = 7,8 dus de oorspronkelijke kegel was 7,8 cm hoog.
     
  De straal van het grondvlak van de kegel is 6 cm.
De schuine kant heeft lengte  √(62 + 7,82) = √96,84 = 9,84 cm
De uitslag van de hele kegel is dan  6/9,84 = 0,6098ste deel van de hele cirkel.
De oppervlakte is 0,6098 • π • 9,842 = 185,49  cm2
Het stuk wat er af moet heeft schuine kant  √(12 + 1,32) = 1,64
(die 1,3 is natuurlijk 7,8 - 6,5)
De oppervlakte is 0,6098 • π • 1,642 = 5,15
Dan blijft over 185,49 - 5,15 = 180,34
       
  Het onderste cilinderdeel moet daar nog bij.
Dat heeft oppervlakte  2 • π • 1 • 4 = 25,13

Samen geeft dat oppervlakte 205,5 cm2
       
8. De straal van de grondcirkel is 2 m
De schuine kant heeft lengte √(22 + 62) = √40 = 6,32 m
De kegeluitslag is dan  2/6,32 = 0,316ste deel van de hele cirkel.
De oppervlakte daarvan is  0,316 • π • 6,322 = 39,74 m2

Het topje is een verkleining met factor 1/4 van de hele kegel, dus de oppervlakte ervan is  (1/4)2 • 39,74 = 2,48 m2
400 cm2 is  0,04 m2  dus er zijn  2,48/0,04 = 62 donkerblauwe pannen nodig.

Het lichtblauwe deel heeft oppervlakte 39,74 - 2,48 = 37,25 m2  dus daar zijn  37,25/0,04 = 931 pannen voor nodig.
       
9. a. Als de kleinste cirkel straal r heeft, dan heeft de grootste cirkel straal r + 20
Omdat van beide cirkels hetzelfde deel is getekend (zelfde hoek bij het middelpunt) zijn de verhoudingen tussen de straal en de omtrek gelijk.
Dus  (r + 20)/125 = r/35
35(r + 20) = 125r
700 = 90r
r = 77/9.
De hele omtrek van de kleinste cirkel is dan  2π • 77/9 = 48,87
Dus er is  35/48,87 = 0,716 ste deel getekend.

De oppervlakte van het grootste cirkeldeel is dan  0,716 • π • (77/9 + 20)2 = 1736,11
De oppervlakte van het kleinste cirkeldeel is dan 0,716 • π • 77/92 = 136,11
De kraag heeft oppervlakte  1736,11 - 136,11 = 1600 cm2
       
  b. de schuine kant van de kegel heeft lengte 20
het grondvlak heeft straal  125/(2π) = 19,89
het bovenvlak heeft straal 35/(2π) = 5,57

Dan geldt:  h2 + (19,89 - 5,57)2 = 202
h2 = 194,9
h ≈ 14

       
10. De oorspronkelijke kegel waar de fez van afkomstig is had hoogte 36 (want er moet nog twee keer 6 van de 12 af om nul te krijgen, dus nog twee keer de hoogte erbij)
De straal van de grondcirkel is 9.
Dus is de schuine kant van de kegel  √(92 + 362) = √1377 = 37,11
Om de hele kegel te tekenen moet je een cirkel met straal 37,11 tekenen, en daarvan heb je 9/37,11 = 0,2425ste deel nodig.
De oppervlakte is dan 0,2425 • π • 37,112 = 1049,20

Om af te knotten moet er nog 0,2425ste deel van een cirkel met straal  2/3 • 37,11 van af (immers het eraf gehaalde  deel is 2/3 van de hele kegel).
Dat is moppervlakte 0,2425 • π • (2/3 • 37,11)2 = 466,24
Dan blijft voor de fez over 1049,20 - 466,24 = 582,96 cm2
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)