|
|||||
| 1. | Het kapje met hoogte
h = 3 heeft inhoud 1/3
•
π • 32(18 - 3) = 45π Het kapje met hoogte h = 4 heeft inhoud 1/3 • π • 42(18 - 4) = 742/3π Het bolsegment heeft dan inhoud 742/3π - 45π = 292/3π |
 |
|||
| 2. | De inhoud van de bol
is 4/3
•
π • 103 25% daarvan is 3331/3π Dus moet gelden: 1/3 • π • h2(30 - h) = 3331/3π h2(30 - h) = 1000 tijd voor de GR: Y1 = X^2*(30 - X) Y2 = 1000 intersect geeft h = 6,527 Dan moet hij zijn mes op 10 - 6,527 = 3,473 cm vanaf het middelpunt zetten |
||||
| 3. | a. | zie het vooraanzicht hiernaast
(de afmetingen zijn niet op ware grootte getekend). MR2 = 152 + 82 = 289 dus MR = 17 uit gelijkvormigheid volgt dat x/6 = 8/17 dus x = 48/17 |
|
||
| b. | MQ2 + x2
= 62 MQ2 = √(36 - (48/17)2) » 5,29 Dan is PQ = 6 - 5,29 = 0,71 en dat is de hoogte van het bolsegment. inhoud = 1/3 • π • 0,712 (18 - 0,71) ≈ 9,02 |
||||
| 4. | r2
= MD2 + a2 dus MD2 =
r2 - a2 en MD =
√(r2 - a2) Op dezelfde manier is MC = √(r2 - b2) h = MC - MD = √(r2 - b2) - √(r2 - a2) ED = r - MD = r - √(r2 - a2) De inhoud van het bolsegment boven BD is 1/3π(r - √(r2 - a2))2(3r - r + √(r2 - a2)) = 1/3π(r - √(r2 - a2))2(2r + √(r2 - a2)) op dezelfde manier is de inhoud van het bolsegment boven AC gelijk aan: 1/3π(r - √(r2 - b2))2(2r + √(r2 - b2)) |
 |
|||
| het bolsegment
tussen de vlakken heeft inhoud 1/3π(r - √(r2 - a2))2(2r + √(r2 - a2)) - 1/3π(r - √(r2 - b2))2(2r + √(r2 - b2)) haakjes wegwerken maar: 1/3π • { (r2 - 2r√(r2 - a2) + r2 - a2 )(2r + √(r2 - a2)) - (r2 - 2r√(r2 - b2) + r2 - b2)(2r + √(r2 - b2)) } = 1/3π • { (2r2 - 2r√(r2 - a2) - a2 )(2r + √(r2 - a2)) - (2r2 - 2r√(r2 - b2) - b2)(2r + √(r2 - b2)) } = 1/3π • { 4r3 + 2r2√(r2 - a2) - 4r2√(r2 - a2) - 2r(r2 - a2) - 2a2r - a2√(r2 - a2) - 4r3 - 2r2√(r2 - b2) + 4r2√(r2 - b2) + 2r(r2 - b2) + 2b2r + b2√(r2 - b2) } = 1/3π • {-2r2√(r2 - a2) - 2r(r2 - a2) - 2a2r - a2√(r2 - a2) + 2r2√(r2 - b2) + 2r(r2 - b2) + 2b2r + b2√(r2 - b2) } = 1/3π • { 2r2 • (√(r2 - b2) - √(r2 - a2)) - 2r(r2 - a2 + a2 - r2 + b2 - b2) - a2√(r2 - a2) + b2√(r2 - b2) } = 1/3π • {2r2 • h - a2√(r2 - a2) + b2√(r2 - b2)} ....(1) Hier stoppen we eerst, en we gaan nu vanaf de gegeven formule "terugwerken" : 1/6πh(3a2 + 3b2 + h2) = 1/6π • h • (3a2 + 3b2 + (√(r2 - b2) - √(r2 - a2))2 = 1/6π • h • (3a2 + 3b2 + r2 - b2 + r2 - a2 - 2√(r2 - b2 )√(r2 - a2)) = 1/6π • h • (2a2 + 2b2 + 2r2 - 2√(r2 - b2 )√(r2 - a2)) = 1/3π • (√(r2 - b2) - √(r2 - a2)) • (a2 + b2 + r2 - √(r2 - b2 )√(r2 - a2)) = 1/3π • { a2√(r2 - b2) + b2√(r2 - b2) + r2√(r2 - b2) - (r2 - b2)√(r2 - a2) - a2√(r2 - a2) - b2√(r2 - a2) - r2√(r2 - a2) + (r2 - a2)√(r2 - b2) } het rode en blauwe valt weg, het groene en paarse kun je samennemen: 1/3π • {b2√(r2 - b2) + 2r2√(r2 - b2) - 2r2√(r2 - a2) - a2√(r2 - a2)} 1/3π • {2r2(√(r2 - b2) - √(r2 - a2)) - a2√(r2 - a2) + b2√(r2 - b2)} 1/3π • {2r2h - a2√(r2 - a2) + b2√(r2 - b2)} En dat is inderdaad gelijk aan (1). |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
