© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.

       
  b.

       
  c.

       
2.
       
  Het eerst eerst een driehoek, dan (als je omhoog gaat) een zeshoek, en daarna weer een driehoek.
Zie de figuur hierboven.
De randen van de vloeren die in het zelfde vlak van de kubus liggen zijn evenwijdig.
       
3.

       
4. a. GH is de schuine zijde van een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden 10 en 10.
Dus  102 + 102 = GH2  ⇒  GH = √200
De omtrek van EFGHKLMN is dan  4•40 + 4•√200 ≈ 217
Er blijft dan 500 - 217 = 283 cm lint over.
       
  b. 1e oplossing:
De lange zijden van de achthoek nemen af van 100 naar 40 over een hoogteverschil van 40.
Dat is een afname van 60 cm over een hoogte verschil van 40 cm.
Over een hoogte verschil van 10 cm wordt dat dan  1/4 • 60  =15 cm afname.
De lange zijden worden dus 100 - 15 = 85 cm.

De korte zijden nemen toe van 0 naar √200 over een hoogte verschil van 40 cm.
Over een hoogteverschil van 10 cm is dat  1/4 • Ö200 toename.
De korte zijden worden dus  1/4 • √200

De totale lengte wordt daarmee  4 • 85 + 4 • 1/4 • √200 = 354,142... cm.
Er blijft dan 500 - 354,142... ≈ 146 cm lint over.

2e oplossing:
Op hoogte 40 is het lint 400 cm lang en op hoogte 80 is het lint 217 cm lang.
Dat is een afname van 183 cm over een hoogteverschil van 40 cm.
Over een hoogteverschil van 10 cm geeft dat een afname van  1/4 • 183 = 46 cm.
Het lint wordt dus 400 - 46 = 354 cm lang.
Er blijft dan 500 - 354 = 146 cm lint over.
       
5. Van het vierkant worden twee rechthoekige driehoekjes afgesneden (POD en LMB in de figuur hier vlak boven)
Stel PD = x dan is de oppervlakte van de zeshoek  9 - x2
9 - x2 = 5  ⇒  x = 2
PD = 2  ⇒  PK = 2  (want DK = 4)
De driehoeken EAD en EKP zijn gelijkvormig
Omdat PK = 2/3AD is ook EK = 2/3EA = 2/3 • 4
De hoogte is dus  4 • 1/3 = 11/3
       
6. a.    
       
  b.

       
  c. Over de hele filterhoogte neemt PQ toe van 0 tot 13. Over 1/3 van de hoogte dus 1/3 • 13 = 13/3
Over de hele filterhoogte neemt QR af van 6 naar 0, over 1/3 van de hoogte dus 1/3 • 6 = 2
dus is QR = 6 - 2 = 4
De straal van de halve cirkels is dus  0,5 • 13/3 = 13/6 en de oppervlakte samen 2 • π • (13/6)2
de totale oppervlakte wordt daarmee  4 • 13/3 +  2 • π • (13/6)2 = 32 cm2
       
7.

       
  Vaas I.
De hoogte is 40 hokjes en dat komt overeen met 20 cm, dus elk hokje is 0,5 cm en de hoogte van een schijfje is 4 cm
Van onderaf zijn de breedtes van de cilinders   22 en 24 en 18 en 8 en 7,5 hokjes.
Dat is  11 en 12 en 9 en 4 en 3,75 cm.
De stralen zijn dan  5,5 en 6 en 4,5 en 2 en 1,875 cm.
De inhoud is  π • 10 • (5,52 + 62 + 4,52 + 22 + 1,8752) = 1181 cm3  ≈  1200 cm3 .

Vaas II.
De hoogte is 40 hokjes en dat komt overeen met 50 cm, dus elk hokje is 1,25 cm en de hoogte van een schijfje is 10 cm
Van onderaf zijn de breedtes van de cilinders   11 en 15 en 17 en 12 en 12 hokjes.
Dat is  13,75 en 18,75 en 21,25 en 15  en 15 cm.
De stralen zijn dan  6,875 en 9,375 en 10,625 en 7,5 en 7,5 cm.
De inhoud is  π • 10 • (6,8752 + 9,3752 + 10,6252 + 7,52 + 7,52) = 11327 cm3  ≈ 11300 cm3 .

Vaas III.
De hoogte is 32 hokjes en dat komt overeen met 30 cm, dus elk hokje is 0,9375 cm en de hoogte van een schijfje is 6,4 cm
Van onderaf zijn de breedtes van de cilinders 12 en 21 en 28 en 32 en 27 hokjes.
Dat is  11,25 en 19,6875 en 26,25 en 30 en 25,3125 cm.
De stralen zijn dan  5,625 en 9,84375 en 13,125 en 15 en 12,65625 cm.
De inhoud is  π • 6,4 • (5,6252 + 9,843752 + 13,1252 + 152 + 12,656252) = 13793 cm3  ≈  13800 cm3 .
       
8. h = 3, 9, 15, 21 zijn de middens van de plakjes, dus die lopen van 0-6, 6-12, 12-18, 18-24
De dikte van een plakje is dan 6.
Inhoud:  6 • π • (3,22 + 2,62 + 4,42 + 3,22) = 279,6π ≈ 878 cm3
       
9. a. Zie hiernaast.
(0,5b)2 + h2 = R2 = 100
(0,5b)2 = 100 - h2
0,5b = √(100 - h2)
b = 2 • √(100 - h2)
       
  b. 10 plakjes meten we bij h = 0,5 - 1,5 - 2,5 - .... - 9,5
b = 2 • √(100 - h2)  dus  r = b = √(100 - h2). Dat geeft:		  
   
h 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5
r 9,99 9,87 9,68 9,37 8,93 8,35 7,60 6,61 5,27 3,12
r2 99,75 97,75 93,75 87,75 79,75 69,75 57,75 43,75 27,75 9,75
    de dikte is 1, dus de inhoud wordt:  π • 1 •  (99,75 + 97,75 + ... + 9,75) = 667,5π ≈ 2097
       
  c. I = 2/3πr3 = I = 2/3π • 103 = 6662/3π = 2094,4
Dat scheelt 2,6/2094,4 • 100% = 0,1%
       
  d. Geen afwijking, want de stukjes die er extra worden gerekend en de stukjes die weggelaten worden heffen elkaar precies op, omdat de rand van de kegel een rechte lijn is.
Dus 0%.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)