© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Driehoek EBG is gelijkzijdig met zijden 4√2.
BM2 + EM2 = EB2
BM2 = (4√2)2 - (2√2)2 = 32 - 8 = 24
BM = √24

tanα = √24/√2 = √12
α = tan-1 √12 = 73,9º

       
  b. tan(NDB) = 2/4√2
∠NDB = tan-1 (2/4√2) = 19,47º

tan(MBF) = 2√2/4
∠MBF = tan-1(2√2/4) = 35,26º

dan is ∠DBM = 90º - 35,26º = 54,74º
dan is ∠DSB = 180º - 54,74º - 19,47º = 105.79º

α = 180º - 105,79º = 74,2º

       
  c. tan(BQG) = 4√2/3
∠BQG = tan-1(4√2/3) = 62,06º

tan(HBG) = 4/4√2
∠HBG = tan-1(4/4√2) = 35,26º

dan is ∠QBS = 90º - 35,26º = 54,74º
dan is ∠QSB = 180º - 54,74º - 62,06º = 63,2º

       
  d. M is het midden van TC, dus is MP = 1/2TN = 2

tan(PAM) = MP/PA = 2/3√2
∠PAM = tan-1(2/3√2) = 25,24º

∠ASN = 180º - 90º - 25,24º = 64,8º
 

       
  e. EC = AE = √52 (Pythagoras)
Dus driehoek ACE is gelijkbenig, en MC = MA = 2

cos(MCE) = MC/CE = 2/√52
∠MCE = cos-1(2/√52) = 73,9º

       
  f. Als K' het punt onder K is, dan is  BK' = 8  (2 zijden van gelijkzijdige driehoekjes van 4)

Dan is BK2 = 82 + 62 = 100  dus  BK = 10

sin(MSB) = MB/SB = 2/5
∠MSB = sin-1(2/5) = 23,58º

∠ASB = 2 • 23,58º = 47,2º

 

       
2. Noem het midden van het linkerzijvlak R.

CP2 = CR2 +  PR2 = 62 + 1,52 = 38,25
CP = √38,25

CS2 = 1,52 + 1,52 = 4,5
CQ2 = CS2 + QS2 = 4,5 + 42 = 20,5
CQ = √20,5

PQ2 = 22 + 1,52 = 6,25  dus  PQ = √6,25 = 2,5
       
  CPQ is een driehoek met zijden  √38,25 en √20,5 en 2,5
cosinusregel:  2,52 = 38,25 + 20,5 - 2 • √38,25 • √20,5 • cos(QCP)
cosQCP = 0,9374
∠QCP = cos-10,9374 = 20,4º
       
3. a. tan(ECD) = 3/4  dus  ∠ECD = tan-1(3/4) = 36,87º

tan(ECA) = 1/4 dus ∠ECA = tan-1(1/4) = 14,04º

dan is ∠ACD = 36,87º + 14,04º = 50,9º

       
  b. BF2 = 42 + 42 = 32  dus  BF = √32 = CE

tan(FCE) = 1/√32  dus  ∠FCE = tan-1 (1/√32) = 10,02º

tan(ECD) = 3/√32  dus  ∠ECD= tan-1(3/√32) = 27,94º

dan is  ∠FCD = 10,02º + 27,94º ≈ 38,0º
 

       
  c. Herhaal de berekening van vraag b) maar nu met AF = x
BF2 = 42 + x2 = 16 + x2  dus  BF = √(16 + x2)

tan(FCE) = 1/√(16 + x2)  dus  ∠FCE = tan-1 (1/√(16 + x2) )
tan(ECD) = 3/√(16 + x2)    dus  ∠ECD = tan-1(3/√(16 + x2) )

∠FCD = tan-1 (1/√(16 + x2) ) + tan-1(3/√(16 + x2) )

De snelheid waarmee ∠FCD verandert is gelijk aan de afgeleide daarvan.
Voer in je GR in:  Y1 = tan-1 (1/√(16 + x2) ) + tan-1(3/√(16 + x2) )  en  Y2 = nDerive(Y1, X, X)
calc - maximum van Y2 geeft dan (denk erom bij het instellen van WINDOW dat de hoek afneemt dus de afgeleide is negatief):    x = 3,15
       
4.

       
  a. Verplaats bijvoorbeeld BQ naar HM (M midden van BF)   (AH naar BG zou ook een optie zijn)
AM2 = 42 + 22 = 20  dus  AM = √20
AH2 = 42 + 42 = 32  dus  AH = √32
HM2 = HF2 + FM2 = 32 + 4 = 36 dus  HM = 6
cosinusregel in driehoek HMA:   20 = 32 + 36 - 2 • √32 • 6 • cosAHM
Dat geeft  cos(AHM) = 0,7071  en  ∠AHM = 45º
       
  b. Verplaats bijvoorbeeld BD naar PM  (M midden van FG)
PM2 = 22 + 22 = 8  dus PM = √8
AP2 = AH2 + HP2 = 32 + 4 = 36  dus  AP = 6
AM is gelijk aan AP dus ook 6;  driehoek APM is gelijkbenig met tophoek A
Als N het midden van PM is, dan is  cos(NPA) = PN/PA = 0,5√8/6 = 0,2357
Dus ∠NPA = 76,4º 
       
  c. Verplaats bijvoorbeeld PF naar BM (M midden van DC)  en ook AQ naar BN (N midden van GC).
BM2 = 42 + 22 = 20 dus  BM = √20
BN2 = 42 + 22 = 20 dus  BN = √20
MN2 = 22 + 22 = 8  dus  MN = √8
MNB is een gelijkbenige driehoek met zijden √20 en √20 en √8, en het gaat om hoek B
Teken de hoogtelijn van B naar het midden P van MN
sin(MBP) = 0,5√8/√20  dus  ∠MBP = sin-1(0,5√8/√20) = 18,43º
Dan is ∠MBN = 2 • 18,43º = 36,87º
       
5. a. Verplaats bijvoorbeeld BF naar EP (met P op AB zodat PB = 2 en dus AP = 6)
Het is handig om het prisma eerst recht te maken: AGD.BHC.
AG2 = 32 + 22 = 13
Dus AG = EQ = √13
EP2 = EQ2 + QP2 = 13 + 9 = 22
Dus EP = ED = √22
PD2 = 62 + 62 = 72  dus   PD = √72 = 6√2
    sin(PEM) = 3√2/√22  dus  ∠PEM = sin-1(3√2/√22) = 64,76º
Dan is ∠PED = 2 • 64,76º = 129,52º
De hoek tussen de rode lijnen is dan 180º - 64,76º = 50,5º
       
  b.

       
    Verplaats bijvoorbeeld AC naar BP (zodat CP = 8)
BE2 = 52 + 13 = 38  (want EQ = AG = √13)  dus  BE = √38.
BP2 = 82 + 62 = 100  dus  BP =10
EP2 = ER2 + RP2 = 13 + 132 = 182  dus  EP = √182.
cosinusregel in driehoek EBP:  182 = 38 + 100 - 2√38 • 10 • cosEBP
Dat geeft  cosEBP = -0,3569  en dus  ∠EBP = 110,91º
Dan is de hoek tussen de rode lijnen gelijk aan  180º - 110,91º  = 69,1º
       
  c. Verplaats bijvoorbeeld BE naar PF (met PB = 2)
PF2 = 52 + QF2 = 25 + 13 = 38 dus PF = √38
DF2 = DG2 + GF2  dus DF is ook √38
PD2 = 102 + 62 = 136 dus PD = √136
Driehoek DFP is gelijkbenig met top F.

Teken de hoogtelijn FF' daarin

    sin(F'FP) = F'P/FP = 0,5√136/√38 = 0,9459  dus ∠F'FP = 71,07º
Dan is ∠DFP = 2 • 71,07º = 142,14º
De hoek tussen de rode lijnen is 180º - 142,14º = 37,9º
       
6. Als AB = 1  dan is  AH = √2  en HB = √3
tanAHB = 1/√2  geeft  ∠AHB = 35,26º
AHC is gelijkzijdig dus ∠AHC = 60º
AHF is gelijkzijdig dus ∠AHF = 60º
tanBHC = 1/√2, dus ∠BHC = ∠AHB
tanBHF = 1/√2 dus ∠BHF = ∠AHB
CHF is gelijkzijdig dus ∠CHF = 60º
Je vindt dus twee verschillende hoeken. 
       
7.

       
  De hoek zal het grootst zijn als P het dichtst bij A ligt, en dat is als P recht tegenover A ligt, dus als de hoek DKA 90º zal zijn.
5/sin120 = 2/sinABE  in het bovenaanzicht geeft  sinABE = 0,3464 dus   ∠ABE = 20,27º
Dan is ∠AEB = 180º - 120º - 20,27º = 39,73º
sin39,73 = AL/2  geeft AL = 2 • sin39,73 = 1,278
AK = 3 + 1,278 = 4,278  en  tanPAK = PK/AK = 3/4,278 = 0,7012  dus  ∠PAK = 35,0º is de grootste hoek.

De kleinste hoek zul je vinden als P zo ver mogelijk van A af zit, en dat is als P = H
cos39,373 = EL/2  geeft  EL = 2 • cos39,73 = 1,538 dus KC = 5 - 1,538 = 3,462
AC2 = AK2 + KC2 = 4,2782 + 3,4622 = 30,287 dus  AC = 5,503
tanPAK = HC/AC = 3/5,503 = 0,545 dus ∠PAK = 28,6º  is de kleinste hoek.
       
8. a. Verplaats FK bijvoorbeeld naar BM (M midden van DC)
BM2 = 42 + 22 = 20  dus  BM = √20
BE2 = 42 + 42 = 32 dus BE = √32
AM = BM = √20
ME2 = AM2 + EA2 = 20 + 16 = 36 dus ME = 6

cosinusregel in driehoek MBE:
36 = 20 + 32 - 2 • √20 • √32 • cos EBM
cosEBM = 0,316  geeft  ∠EBM = 71,58º
 

       
  b. Verplaats AC bijvoorbeeld naar NM (N midden van AB)
TN2 = TB2 - NB2 = 64 - 16 = 48
dus TN = TM = √48
NM2 = 42 + 42 = 32 dus NM = √32
Driehoek TNM is gelijkbenig met top T.
cosTMN = 0,5NM/TM = 0,5√32/√48 = 0,4082
∠TMN = 65,9º

       
  c. Verplaats AM bijvoorbeeld naar BN (N midden van CG)
BN2 = 42 + 22 = 20  dus  BN = √20
HN = BN = √20
HB2 = HD2 + DB2 = 16 + 32 = 48  dus HB = √48

driehoek BNH is gelijkbenig met tophoek N.
cosHBN = 0,5HB/BN = 0,5√48/√20 = 0,7746
∠HBN = 39,2º

       
9. Verplaats bijvoorbeeld AB naar PQ (Q midden van BC)
Dan is PQ = 1/2AB = 3
PD2 = 32 + 62 = 45  dus PD = √45

AQ2 = AB2 - BQ2 = 36 - 9 = 27
DQ2 = AD2 + AQ2 = 36 + 27 = 63 dus DQ = √63

cosinusregel in driehoek PQD:
63 = 45 + 9 - 2 • 3 • √45 • cosQPD
cosQPD = -0,2236
∠QPD = 102,92º
De hoek tussen DP en PQ is dan 180º - 102,92º = 77,1º

       
10. Verplaats bijvoorbeeld BG naar MN (N midden van EH)
Neem voor de zijden van de kubus bijvoorbeeld 4.

MN2 = 22 + 22 = 8  dus  MN = √8

Als N' de projectie van N op AD is,
is CN'2 = 42 + 22 = 20
CN2 = CN'2 + NN'2 = 20 + 16 = 36  dus  CN = 6

AC2 = 42 + 42 = 32
CM2 = AC2 + AM2 = 32 + 4 = 36 dus CM = 6

       
  Driehoek CMN is gelijkbenig met top C.
cosCNM = 0,5NM/CN = 0,5√8/6 = 0,2357
∠CNM = 76,4º
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)