Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Zet een rij dozen met nummers 3,4,5,... naast elkaar.
Knip het veelvlak uit elkaar en leg elk vlak in een doos waarvan het nummer overeenkomt met het aantal zijden van het betreffende vlak.

Stel dat alle vlakken in een verschillende doos kunnen en dat er n vlakken zijn.
Dan zijn er dus n dozen gevuld.
Omdat de dozen 1 en 2 leeg blijven zijn dus in ieder geval ook de dozen met de nummers n + 1 en n + 2 (of hoger) gevuld.

Maar als de doos met nummer n + 1 gevuld is, dan is er dus een vlak met n + 1 zijden.
Maar omdat al die n + 1 zijden aan nieuwe vlakken grenzen zijn er dus minstens n + 2 vlakken.
Dat is tegenstrijdig met het feit dat er slechts n vlakken waren.
Dus kunnen niet alle vlakken in een verschillende doos.

Teken een regelmatige vijfhoek met de hoekpunten op de cirkel.
Van die vijf hoekpunten moeten er minstens drie één kleur hebben (duiventil)
Die drie punten zijn de hoekpunten van een gelijkbenige driehoek.
Het punt van de tophoek van die driehoek ligt midden tussen beide andere in.

De totale som van de 10 getallen is hoogstens 945 (de 10 grootsten), dus de som van een deelverzameling varieert van 1 tot 945. (de duivengaten)
Het aantal verschillende deelverzamelingen (niet leeg) uit 10 getallen dat je kunt maken is 2¹⁰ - 1 = 1023 (elk getal hoort wel of niet bij de deelverzameling) Dit zijn de duiven.
Omdat er meer duiven dan gaten zijn moeten er dus minstens twee duiven in hetzelfde gat........

Sterker nog: je kunt ook altijd twee deelverzamelingen vinden die geen overlapping hebben.
Immers als twee deelverzamelingen met overlapping toegestaan mogelijk zijn, dan zijn die zonder overlapping óók mogelijk; laat gewoon de dubbelen weg, daarmee blijft de som van beiden gelijk!

Laten we naar de middens van de verbindingslijnen kijken.
Het midden van twee punten heeft coördinaten:

Dat midden is weer een roosterpunt als de coördinaten geheel zijn, en dat is zo als x₁ + x₂ en y₁ + y₂ beiden even zijn.
x₁ + x₂ is even als de pariteit van x₁ en x₂ gelijk is (beiden even of beiden oneven)
Van de vijf punten zijn er altijd minstens drie waarvoor dat geldt. (2 gaten: even en oneven en vijf duiven: de x-en, dus minstens drie in één van de gaten)
Van deze drie punten geldt voor de y-coördinaten van minstens twee hetzelfde (2 gaten en 3 duiven).
Dus er zijn minstens 2 punten waarvoor het midden weer een roosterpunt is.

Noem de getallen A
Stel dat de rest bij delen door N-1 gelijk is aan R_A
Dan zijn er N getallen R_A (de duiven)
De resten R kunnen gelijk zijn aan 0 t.m. N-2 (de gaten)
Duiventil: Er moeten dus minstens 2 resten gelijk zijn.
Maar als twee verschillende getallen bij delen door N-1 dezelfde rest hebben, dan is hun verschil deelbaar door N-1.

Als er 25 mensen in 30 stoelen zitten, zijn er 5 stoelen leeg.
Die vijf stoelen verdelen de 30 stoelen in 6 groepen (eventueel van nul stoelen)
25 mensen verdelen over 6 groepen: dan moet er een groep met meer dan 5 zijn (6 • 4 = 24)

Elk team speelt 9 wedstrijden.
Omdat geen team alles verliest kan het aantal winstpartijen gelijk zijn aan 1,2,3,4,5,6,7,8 of 9
Dat zijn 9 gaten voor 10 duiven...

Bij 20 leerlingen zijn er 20 nCr 2 = 190 koppeltjes.
Er worden 20 • 10 = 200 brieven verstuurd.
Dus moet minstens één koppeltje twee brieven hebben: aan elkaar dus!