© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. modus = meest voorkomende = 5  (19 keer)
mediaan = middelste van 78 = nr. 39-40 = 4
gemiddelde = (1 • 12 + 2 • 16 + 3 • 10 + 4 • 8 + 5 • 19 + 6 • 13)/(12 + 16 + 10 + 8 + 19 + 13) = 279/78 = 3,58
       
2. a. De klassenmiddens zijn   19,75 - 20,25 - 20,75 - 21,25 - 21,75  - 22,25 - 22,75
Het gemiddelde is dan 
(19,75 • 14 + 20,25 • 28 + 20,75 • 56 + 21,25 • 32 + 21,75 • 10 + 22,25 • 6 + 22,75 • 1)/(14+28+56+32+10+6+1) = 3059,25/147 = 20,81

De modale klasse is de meest voorkomende en dat is de klasse 20,5 -< 21,0
       
  b. De middelste van 147 is nummer 74.
Die ligt in de klasse 20,5 -<21,0
Daarvσσr zijn al 42 getallen geweest dus het is de 32ste uit deze klasse.
Tussen 20,5 en 21,0 zitten 56 getallen.
Als we aannemen dat die gelijkmatig verspreid zijn, dan bevindt de mediaan zich op 32/56 ste deel vanaf het begin.
32/56 • 0,5 » 0,3
De mediaan zal bij 20,5 + 0,3 = 20,8 zitten  
       
3. a. modus is de meest voorkomende:  4  (hoogste frequentie)
mediaan is de middelste en dat is bij 50%.  Dat is 3.
Gemiddelde:  (2 • 15 + 3 • 43 + 4 • 22 + 5 • 12 + 6,5 • 8)/100 = 3,59
       
  b. de modus niet:  er kan niet eentje komen die meer dan 43 keer voorkomt.
de mediaan niet:  50% blijft in de groep met 3.
het gemiddelde wel.
       
  c. als daar X staat, dan geldt:   (2 • 15 + 3 • 43 + 4 • 22 + 5 • 12 + X • 8)/100 = 3,75
30 + 129 + 88 + 60 + 8X = 375
307 + 8X = 375
8X = 68
X = 8,5
       
4. a.
klasse 10-14 15-19 20-24 25-29
frequentie 18 8 41 9
 
    Het grootst mogelijk gemiddelde vind je als alle metingen in een klasse aan de rechterkant zitten.
Dat wordt  (14 • 18 + 19 • 8 + 24 • 41 + 29 • 9)/(18 + 8 + 41 + 9) = 1649/76 = 21,7

Het laagste gemiddelde vind je als ze allemaal aan de linkerkant van de klassen zitten. Dat wordt dan natuurlijk 4 lager dan het hoogste gemiddelde, dus 17,7
       
  b. De klasse van 20-24 moet in vijven worden verdeeld. Dan is er zeker ιιn bij die meer dan 8 is, immers 5 • 8 = 40
       
5. a. de hoogte van de staafjes optellen:  2 + 4 + 5 + 4 + 7 + 2 + 1 = 25 leerlingen
       
  b. (2 • 3 + 4 • 4 + 5 • 5 + 4 • 7 + 7 • 8 + 2 • 9 + 1 • 10)/25 = 159/25 = 6,36  
       
  c. Als er x zessen zijn, is het gemiddelde:  (2 • 3 + 4 • 4 + 5 • 5 + X • 6 +  4 • 7 + 7 • 8 + 2 • 9 + 1 • 10)/(25 + X) =  6,3
Dat geeft:  2 • 3 + 4 • 4 + 5 • 5 + X • 6 +  4 • 7 + 7 • 8 + 2 • 9 + 1 • 10 = 6,3(25 + X)
159 + 6X = 157,5 + 6,3X
1,5 = 0,3X
X = 5
Er waren dan 5 zessen
       
6. a. mediaan:  aflezen bij 50% geeft ongeveer €22,-  
       
  b. modus:  waar het polygoon het meest stijgt was de klasse het grootst
het steilste stukje is van 10-15. Dus dat is de modale klasse.		  
       
  c.
klasse 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65
klassenmidden 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5
aantal 10 10 20 8 9 3 2 2 16 10 5 3 2
    gemiddelde: 
(2,5 • 10 + 7,5 • 10 + 12,5 • 20 + 17,5 • 8 + 22,5 • 9 + 27,5 • 3 + 32,5 • 2 + 37,5 • 2 + 42,5 • 16 + 47,5 • 10 + 52,5 • 5 + 57,5 • 3 + 62,5 • 2)/100 = €26,-
       
7. De 12 meisjes scoren samen 12 • 8,5 = 102 punten.
Als er X jongens zijn, dan scoren die samen 7,6X punten
in de hele klas zitten  12 = X leerlingen en die scoren samen (12 + X) • 8 punten

Dus 102 + 7,6X = (12 + X) • 8
102 + 7,6X = 96 + 8X
6 = 0,4X
X = 15 jongens
       
8. Joris heeft plaats 9 of minder (want hij is voor Michel die 10e is)
plaats 9 of minder is de middelste van alle plaatsen.
Dat betekent dat er hoogstens 17 plaatsen zijn, en ook een oneven aantal plaatsen.
omdat  Koen 16e is moeten er minstens 16 plaatsen zijn.
Dus er zijn precies 17 deelnemers.
       
9. Er zijn 3 plaatsen waar je een getal X zou kunnen toevoegen:

A.  onder de 6.  Dan is de mediaan 6 en het gemiddelde  (X + 3 + 6 + 9 + 10)/5 = (28 + X)/5
(28 + X)/5 = 6  geeft  28 + X = 30  en dat geeft als oplossing X = 2

B.  6 tm 9. Dan is de mediaan X en het gemiddelde weer  (28 + X)/5
(28 + X)/5 = X  geeft  28 + X = 5X  en dat geeft las oplossing  X = 7

C.  boven de 9.  Dan is de mediaan 9 en het gemiddelde weer (28 + X)/5
(28 + X)/5 = 9  geeft  28 + X = 45  en X = 17

De getallen die je kunt toevoegen zijn dus  2 of  7 of 17
       
10. a. Hij haalt in 100 beurten dan 80 punten.
Dat betekent dat hij 100 keer mis heeft gestoten en 80 keer raak.
Van de 180 keer heeft hij 80 keer geraakt.
De kans om de raken is dus 80/180 = 0,4444
       
  b. in 100 beurten haalt hij  100g punten
Dus van 100 + 100g keer stoten raakte hij 100g keer.
kans  = p =  100g/(100 + 100g) = 100g/100(1 + g) = g/(1 + g)
       
  c. 0,8 = g/(1 + g)
0,8(1 + g) = g
0,8 + 0,8g = g
0,8 = 0,2g
g = 4		  
       
11. a. Het totaal aantal behaalde punten was  20 • 6,2 + 28 • 6,0 + 15 • 5,4 = 373
Dat was voor 20 + 28 + 15 = 63 leerlingen.
Het gemiddelde is dan  373/63 = 5,92
       
  b. er zijn in totaal 63 + 25 = 88 leerlingen
als het gemiddelde 6,0 moet worden dan moeten zij allemaal samen 6,0 • 88 = 528 punten halen.
A5D moet dan nog  528 - 373 (zie vraag a) = 155 punten halen.
Dat is een gemiddelde van 155/25 = 6,2
       
12.
leeftijd 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45
aantal 24 45 60 32 26 24 10 4
       
  a. modus = meest voorkomende = klasse 16-20

mediaan:  er zijn in totaal 24 + 45 + 60 + 32 + 26 + 24 + 10 + 4 = 225 leden.
De middelste is dan nummer 113
Die zit in de klasse 16-20

gemiddelde.
de klassenmiddens zijn  8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43
gemiddelde is dan  (8 • 24 + 13 • 45 + 18 • 60 + 23 • 32 + 28 • 26 + 33 • 24 + 38 • 10 + 43 • 4)/225 = 4665/225 = 20,73 
       
  b. als alle gewichten in elke klassen helemaal aan de linker kant liggen wordt het gemiddelde 2 lager dus 18,73
als alle gewichten in elke klassen helemaal aan de rechter kant liggen wordt het gemiddelde 2 lager dus 22,73
       
  c. de 75 vrouwen hebben een gezamenlijk leeftijd van 75 • 18 = 1350 jaar.
iedereen samen geeft een totale leeftijd van 225 • 20 = 4500 jaar.
de 150 mannen hebben dus een gezamenlijk leeftijd van 4500 - 1350 = 3150 jaar.
Dat is gemiddeld  3150/150 = 21 jaar
       
13. Stel dat er x knikkers in vaas A zitten en dus 101 - x in vaas B
na het overbrengen zitten er dan  x - 1 knikkers in vaas A en  102 - x in vaas B

De som van alle knikkers is  1 + 2 + ... + 101 = 0,5 • 101 • 102 = 5151
Stel verder dat  de som van de knikkers in vaas A in het begin gelijk is aan S en in vaas B dus  5151 - S
na het overbrengen is die som dan  S - 40  en in vaas B dan  5191 - S

Het gemiddelde van de eerste vaas vooraf is   S/x  en na afloop  (S - 40)/(x - 1)
Dus S/x + 1/4 = (S - 40)/(x - 1)   ....(1)
Het gemiddelde van de tweede vaas vooraf is  (5151 - S)/(101 - x)  en  na afloop  (5191 - S)/(102 - x)
Dus  (5151 - S)/(101 - x)  + 1/4 = (5191 - S)/(102 - x)  ..... (2)

Dat zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden.
vermenigvuldig (1) met x en met (x - 1)  dat geeft   S(x - 1) + 0,25x(x - 1) = (S - 40)x
Sx - S + 0,25x2 - 0,25x = Sx - 40x
S = 0,25x2 + 39,75x

vermenigvuldig (2) met  (101 - x) en met (102 - x) 
dat geeft  (5151 - S)(102 - x) + 0,25(101 - x)(102 - x) =  (5191 - S)(101 - x)
525402 - 5151x - 102S + Sx  + 0,25(10302 - 203x + x2) =  524291 - 5191x - 101S + Sx
525402 - 5151x - 102S + 2575,5 - 50,75x  + 0,25x2 = 524291 - 5696x - 101S
0,25x2 - 10,75x + 3686,5 = S

dus is 0,25x2 - 10,75x + 3686,5  = 0,25x2 + 39,75x
50,5x = 3686,5
x = 73
Dan is  S = 0,25 • 732 + 39,75 • 23 = 4234

controle:
73 knikkers met som 4234 geeft gemiddelde  58
72 knikker smet som 4194 geeft gemiddelde  58,25

28 knikkers met gemiddelde 917 geeft gemiddelde 32,75
29 knikkers met som 957 geeft gemiddelde 33
       
14. Stel dat de eerste a kg weegt en de tweede b kg.
Dan geldt:  (a + b)/2 = a + 1  en daaruit volgt  b = a + 1.
De eerste twee wegen dus  a en a + 1

Stel dat de derde c kg weegt.
Dan geldt:  (a + a + 1 + c)/3 = a + 2 en daaruit volgt  c = a + 5
De eerste drie wegen dus  a en a + 1 en a + 5

Stel dat vierde d kg weegt.
Dan geldt:  (a + a + 1 + a + 5 + d)/4 = a + 3  en daaruit volgt  d = a + 6
De eerste vier wegen dus  a en a + 1 en a + 5  en a + 6

Stel dat  de vijfde e kg weegt.
Dan geldt:  (a + a + 1 + a + 5 + a + 6 + e)/5 = a + 4  en daaruit volgt  e = a + 8

Het verschil tussen de vijfde en de eerste is dus 8 kg.
       
       
15.
  school A school B samen
jongens 71 81 79
meisjes 76 90 ?
samen 74 84  
       
  stel dat school A x jongens en y meisjes heeft.
Dan is  71x + 76y = 74(x + y)  ofwel  2y = 3x

stel dat school B  p jongens en q meisjes heeft.
Dan is  81p + 90q = 84(p + q)  ofwel  6q = 3p  ofwel p = 2q

maar uit de gegevens van de jongens volgt   71x + 81p = 79(x + p) ofwel  2p = 8x dus p = 4x

we willen graag  (76y + 90q)/(y + q)  weten
ga daar allemaal x van maken:
y = 1,5x
q = 0,5p = 2x
76y + 90q = 76 • 1,5x + 90 • 2x = 294x
y + q = 1,5x + 2x = 3,5x
Dus het gemiddelde is  (76y + 90q)/(y + q) = 294x/3,5x = 294/3,5 = 84 
       
16. Noem de getallen van linksonder met de klok mee  a, b, c en d
Dan geldt:  (a + c)/2 = 13  en (b + d)/2 = 14 en (a + c)/2 = 8  en         
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)