© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

         
1.   a. met de continuïteitscorrectie:   P(minder dan 790 pagina's) = P(X < 789.5)
normalcdf(0, 789.5, 800, 15) = 0,2420
P(5 keer minder) = 0,24205 = 0,0008
         
    b. P(hoogstens 619 pagina's met één cartridge)  geeft met de continuïteitscorrectie P(X < 619,5)
normalcdf(0, 619.5, 600, 15) =  0,9032
P(2 van de vier niet) = binompdf(4, 0.9032, 2) = 0,0459
         
2. P(lengte tussen 85 en 100) = normalcdf(85, 100, 90, 9) = 0,5775
P(minstens 20 van de 30) = P(X ≥ 20) = 1 - P(X ≤ 19) = 1 - binomcdf(30, 0.5775, 19) = 0,2120
         
3.   a. P(hoger dan 125) = normalcdf(125, 1099, 117, 18) = 0,3284
P(hoogstens 4 van de 20) = binomcdf(20, 0.3284, 4) = 0,1626
         
    b. P(tussen 110 en 120) = normalcdf(110, 120, 117, 18) = 0,2175
P(meer dan 8 van de 20) = P(X > 8) = 1 - P(X ≤  8) = 1 - binomcdf(20, 0.2175, 8) = 0,0173
         
    c. 6 van het gemiddelde afwijken is tussen  117 - 18 = 99 en  117 + 18 = 135
P(niet meer dan 6 afwijken) = normalcdf(99, 135, 117, 18) = 0,6827
P(precies 10 van de 30) = binompdf(20, 0.6827, 10) = 0,0420
         
4.   a. Y1 = normalcdf(0, 340, X, 12)
Y2 = 0,02
intersect geeft  X = μ = 364,64 gram
         
    b. Astepo:
Y1 = normalcdf(0, 340, X, 10)
Y2 = 0,02
intersect geeft  X = μ = 360,54 gram
300000 potten kosten dan :
300000 • 360,54 • 0,0040 + 120000 = 552648 euro, dus per 100000 potten is dat  184216 euro

Galdi:
Y1 = normalcdf(0, 340, X, 8)
Y2 = 0,02
intersect geeft  X = μ = 356,43 gram
250000 potten kosten dan :
250000 • 356,43 • 0,0040 + 100000 = 456430  euro, dus per 100000 potten is dat  182572 euro

Fimer:
Y1 = normalcdf(0, 340, X, 6)
Y2 = 0,02
intersect geeft  X = μ = 352,32 gram
320000 potten kosten dan :
320000 • 352,32 • 0,0040 + 140000 = 590970 euro, dus per 100000 potten is dat  184678 euro

De goedkoopste machine is Galdi.
         
5.   a. P(een sprong meer dan 6.60 m) = normalcdf(6.60, 1099, 6.40, 0,13) = 0,0620
P(minstens 3 van de 20 sprongen) = P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - binomcdf(20, 0.0620, 2) = 0,1237
         
    b. Y1 = 1 - binomcdf(20, X, 2)
Y2 = 0,90
intersect geeft  X = p = 0,2448

Y1 = normalcdf(X, 1099, 6.40, 0.13)
Y2 = 0,2448
intersect geeft  X = 6,49 m
         
    c. Bereken de kans dat alle sprongen minder dan 6.52 m zijn.
P(minder dan 6,62) = normalcdf(0, 6.62, 6.40, 0.13) = 0,9547
20 sprongen allemaal minder dan 6.62 heeft dan kans  0,954720 = 0,3957
verste sprong meer dan 6,52 heeft kans  1 - 0,3957 = 0,6043
         
6. Noem V = verschil meisje en jongen,  dus  meisje - jongen
μV = 165 - 178 = -13 cm
σV2 = 82 + 102 = 164  dus  σV = √164
een meisje is langer dan een jongen als  V > 0
normalcdf(0, 1099, -13, √164) = 0,1550

P(minstens 5 van de 30) = P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - binomcdf(30, 0.1550, 4) = 0,5063
         
7.   a. minimaal 3 punten betekent straal 9 of kleiner.
normalcdf(0, 9, 6, 3) = 0,8186		  
         
    b.
punten straal kans
1
2
3
4
5		 12-15
9-12
6-9
3-6
0-3		 normalcdf(12,15,6,3) = 0,0214
normalcdf(9,12,6,3) =  0,1359
normalcdf(6,9,6,3) = 0,3413
normalcdf(3,6,6,3) = 0,3413
normalcdf(0,3,6,3) = 0,1359 
      gemiddelde:  E = 1 • 0,0214 + 2 • 0,1359 + 3 • 0,3413 + 4 • 0,3413 + 5 • 0,1359 = 3,36
standaarddeviatie:  in de GR:  L1 = 1, 2, 3, 4, 5  en   L2 = 0.0214, 0.1359, 0.3413, 0.3413, 0.1359
stat-cal - 1Var stats (L1, L2)  geeft  σ = 0,97
         
8.   a.
gebeurtenis kans extra winst
hij verkoopt de broek p +15
hij verkoopt de broek niet 1 - p -5
 
      verwachtingswaarde:   15 • p - 5 • (1 - p)
15 • p - 5 • (1 - p) > 0
15p - 5 + 5p > 0
20p > 5
p > 0,25		  
         
    b. de nde zwembroek wordt verkocht als het aantal verkochte zwembroeken groter is dan n - 1
continuïteitscorrectie geeft dan  >n - 0,5
normalcdf(n - 0.5, 1099, 1000, 60)  = 0,25
Y1 = normalcdf(X - 0.5,  1099, 1000, 60)
Y2 = 0,25
intersect geeft  X = 1040-1041
de inkoper moet 1040 zwembroeken kopen.
         
9. a.
afstand 15,25 - 16,75 16,75 - 17,75 17,75 - 18,25 18,25 - 18,75 18,75 - 19,75 19,75 - 20,75
rechtergrens 16,75 17,75 18,25 18,75 19,75 20,75
aantal 13 48 39 37 50 13
aantal cumulatief 13 61 100 137 187 200
cum. % 6,5 30,5 50 63,5 93,5 100
         
   

         
    Zie de figuur. Er is zo goed mogelijk een rechte lijn door de meetpunten getekend.
Aflezen bij 50% en bij 84% geeft μ = 18,1 en σ = 2,1
         
  b. μS = 3 • 18,25 = 54,75
σS = 1 • √3 = √3
normalcdf(58, 1099, 54,75, √3) = 0,0303
         
  c. Bereken de kans dat alle worpen onder de 19,1 meter zijn.
P(één worp onder de 19,1) = normalcdf(0, 19.1, 18.25, 1) = 0,8023
P(30 worpen allemaal onder de 19,1) = 0,802330 = 0,0014
P(beste worp minstens 19,1 meter) = 1 - 0,0014 = 0,9986
         
10. a. meer dan 60 cm vanaf de 100m is dus onder de 99,4 m of boven de 100,6 m.
normalcdf(99.4, 100.6, 100, 0.47) = 0,7983
P(meer dan 60 vanaf de 100m) = 1 - 0,7983 = 0,2017
         
  b. aantal keren is binomiaal verdeeld.
n = 15
p = 0,2017  (vraag a)
P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - binomcdf(15, 0.2017, 3) = 0,3582
         
  c. Y1 = normalcdf(99.4, 100.6, 100, X)
Y2 = 0,90  (NIET opnieuw afstellen)
intersect geeft  X = σ = 0,36
         
11. a. Y1 = normalcdf(266 , 294 , 280 , X)  en  Y2 = 0,85 invoeren in de GR.
intersect levert  X = 9,7  dus   de standaardafwijking is 9,7
         
  b. 37 weken is 259 dagen,  het gemiddelde is 40 weken is 280 dagen.
normalcdf(-1099 , 259 , 280 , 10) = 0,01786... en dat is ongeveer 1,8%
Het aantal te vroeg geboren baby's is binomiaal verdeeld met n = 520 en p = 0,018
P(5 < X < 15) = P(X ≤ 14) - P(X ≤ 5) = binomcdf(520, 0.018 , 14) - binomcdf(520 , 0.018 , 5) =
0,947318... - 0,09348... =  0,85383...  Dus ongeveer  85%
         
12. a. normalcdf(-1E99 , 20 , 25 , X) = 0,05
Voer deze beide in in de GR bij Y1 = en Y2 = en gebruik intersect om het snijpunt te vinden.
Neem bijv. window:  Xmin = 0 , Xmax = 10 , Ymin = 0 , Ymax = 0,10
Dat geeft  X = 3,0397... dus  σ  ≈ 3,04
         
  b. Het aantal boompjes korte dan 20 is binomiaal verdeeld met  n = 40 en p = 0,05
P(X = 1) = binompdf(40 , 0.05 , 1) = 0,27
         
  c. normalcdf(140 , 170 , 145 , 15) = 0,58276... ≈ 0,58
         
  d. Stel dat er k  kleine bomen zijn, dan zijn er 100 - k grote bomen.
Dat levert in totaal   k • 10 + (100 - k) • 15 = 10k + 1500 - 15k = 1500 - 5k euro op, en dat moet 1300 euro zijn
Daaruit volgt dat  k = 40. Dus van de 100 bomen moeten er 40 klein zijn, dus  40% van de bomen is klein.
normalcdf(-1E99 , X , 145 , 15) = 0,40
Invoeren in de GR en met intersect het snijpunt vinden geeft  X = 141,19979..  cm
Conclusie: de grens moet liggen bij ongeveer 141 cm. 
         
13. a. normalcdf(19, 21, 20, 0.6) = 0,9044 dus ongeveer  90%
         
  b. De kans op minder dan 19,5 cl is bij één glas gelijk aan  normalcdf(0, 19.5, 20, 0.6) = 0,2023
Het aantal met minder dan 19,5 cl is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,2023
P(X ≤ 3) = binomcdf(10, 0.2023, 3) ≈ 0,875  
         
  c. normalcdf(0, 258, 260, X) = 0,18
Y1  = normalcdf(0, 258, 260, X) en Y2 = 0,18
Window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 5,  Ymin = 0, Ymax = 0,4 en dan intersect levert X ≈ 2,18
         
14. a. σ = 45,5 - 0,272 • 122 = 12,316
normalcdf(115, 10000, 122, 12.316) = 0,715
         
  b. De kans voor één persoon is (aflezen) ongeveer 0,26
Voor vier personen is de kans dan  0,264 = 0,005  
         
  c. Als μ = 120 dan is σ = 45,5 - 0,272 • 120 = 12,86
Het gaat dus om IQ's tussen ongeveer 107 en 133
P(IQ > 133) is ongeveer 0,15
P(IQ > 107) is ongeveer 0,84
Daartussenin zit dus  0,84 - 0,15 = 0,69 en dat is inderdaad ongeveer 68%
         
   

         
15.   a. De kans op een tijdrovende patiënt is normalcdf(15,1E99,10,4) = 0,1056
De verwachtingswaarde is dan 12 • 0,1056 = 1,27 tijdrovende patiënten per spreekuur
         
    b. P(makkelijke) = P(tijdrovende) = 0,1056 (zie vraag 4)
P(gewone) = 1 - 0,1056 - 0,1056 = 0,7887   (of nomalcdf(5,15,10,4))
P(2 makkelijk en 10 gewoon) = 0,10562 • 0,788710 • 12 nCr 2 = 0,07
         
    c. P(meer dan 120 minuten) = 0,5.
Het aantal is binomiaal verdeeld met n = 12 en p = 0,5
P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - binomcdf(12 , 0.5 , 5) = 1 - 0,387 = 0,61
         
16. a. Hij moet de plantjes met een levensduur korter dan 50 dagen vervangen:
normalcdf(0, 50, 80, 20) = 0,0668
Dat zijn dus  0,0668 • 2000 = 134 plantjes.
         
  b. Er zijn nu twee soorten plantjes:
134 nieuwe en 1866 ouden.

Van de ouden gaan degenen met levensduur tussen 50 en 100 dagen dood:
normalcdf(50, 90, 80, 20) = 0,6246  dus dat zijn 0,6246 • 2000 = 1249 plantjes

Van de nieuwen gaan degenen met levensduur minder dan 40 dagen dood.
normalcdf(0, 50, 80, 20) = 0,0227 dus dat zijn  0,0227 • 134 = 3 plantjes

In totaal moet hij 1249 + 3 = 1252 plantjes vervangen.
         
17. a. normalcdf(0, 53, 60, 8) = 0,1908 dus dat zijn  0,1908 • 48 = 9 eieren Small
normalcdf(53, 63, 60, 8) = 0,4554 dus dat zijn 0,4554 • 48 = 22 eieren Medium
normalcdf(63, 1099, 60, 8) = 0,3538  dus dat zijn 0,3538 • 48 = 17 eieren Large
         
   

         
  b. x kleine (S/M) eieren en dus 48 - x grote (L) eieren  levert   0,06x + 0,08 • (48 - x) op.
Dat moet 3,50 zijn;
0,06x + 3,84 - 0,08x = 3,50
0,02x = 0,34
x = 17
Er moeten dus minstens 17 grote (L) eieren zijn.

P(L) = 0,3538 (zie vraag a)
P(minstens 17 van de 48) is een binomiale verdeling
P(X ≥ 17) = 1 - P(X ≤ 16) = 1 - binomcdf(48, 0.3538, 16) = 0,5520
         
18. a. (70 á 80) • 0,07 = 4,90 á 5,60
(60 á 70) • 0,08 = 4,80 á 5,60
(50 á 60) • 0,10 = 5,00 á 6,00
(40 á 50) • 0,12 = 4,80 á 6,00
(30 á 40) • 0,15 = 4,50 á 6,00 
Dat is allemaal ongeveer gelijk.
         
  b. Y1 = (normalcdf(0, 1000/70, X, 10) • 0,07 + normalcdf(1000/70, 1000/60, X, 10) • 0,08 + normalcdf(1000/60, 1000/50, X, 10) • 0,10 + normalcdf(1000/50, 1000/40, X, 10) • 0,12 + normalcdf(1000/40, 10^99, X, 10) • 0,15) • 20000

Y2 = 80000

Intersect levert  X = 18,64 gram
         
19. a .Je krijgt het grootste percentage mensen als je de zithoogtes rond het midden van de klokvorm kiest, want daar is de oppervlakte het grootst.
Neem dus minimumhoogte  46 - 4 = 42 cm  en  maximumhoogte 46 + 4 = 50 cm
Daartussen valt dan   normalcdf(42, 50, 46, 3.8) = 0,70749...
Dat is minder dan 71% dus 71% is niet haalbaar.
         
  b. Noem de lengte van de gasveer X
tussen  (46 - 0,5X) en  (46 + 0,5X)  valt dan 90% van de klokvorm
Dus  normalcdf(46 - 0.5X, 46 + 0.5X, 46, 3.8) = 0,9
Invoeren bij Y1 en Y2 en dan intersecvt geeft  X = 12,5 cm
         
  c. Iedereen met zithoogte tussen 34,0 en 58,0 kan een stoel met ideale zithoogte vinden.
normalcdf(34.0, 58.0, 46, 3.8) = 0,9984
Dat is meer dan 99% dus de onderzoeker heeft gelijk.
         
20.   P(X ≥ 8) = 0,12
1 - binomcdf(20, p , 7) = 0,12
Dat geeft p = 0,259
dekans dat een persoon zwaarder is dan 80 kg is dus 0,259
normalcdf(80, 10000000, 70, X) = 0,259
σ  = 15,47
de lichtste 10%:
normalcdf(0, X, 70, 15.47) = 0,10
X = 54,6 kg
De lichtste 10% heeft gewicht minder dan 54,6 kg.
X =
         
21. a. De verdeling is rechtsscheef.
De mediaan zal kleiner zijn dan het gemiddelde, omdat er vergeleken met een symmetrische verdeling nu de metingen aan de rechterkant verder naar buiten liggen. Daardoor is de mediaan gelijk gebleven, maar het gemiddelde groter geworden.
         
  b.

68% moet tussen  m + s en m - s liggen.
m is bij 50%
34% omhoog of omlaag geeft  m ± s
dus aflezen bij 84% of bij 16% 
dat geeft  s » 0,3 
         
  c.

 

klassemidden

1,9

2,1

2,3

2,5

2,7

2,9

3,1

aantal

36

28

16

10

4

4

2

L1 = 1,9 - 2,1 - enz. 
L2 = 36 - 28 - enz
1 VAR stats geeft   x = 2,176 en  s = 0,3
         
  d.

 

andescondor

7

 

c

reuzenalbatros

9

3

d

zeearend

a

4

e

totaal

b

 

1176

a = 12  dus  b = 28
dan is  c, d, e  =  294, 378, 504
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)