|
|||||
| 1. | a. | un =
6un-1 - 8un-2
met u0 = 2 en u1
= 3 De karakteristieke vergelijking wordt g2 - 6g + 8 = 0 (g - 4)(g - 2) = 0 g = 2 ∨ g = 4 Algemene oplossing: un = A • 2n + B • 4n u0 = 2 geeft 2 = A + B dus B = 2 - A u1 = 3 geeft 3 = 2A + 4B 3 = 2A + 4(2 - A) 3 = 2A + 8 - 4A -5 = -2A A = 21/2 en dan is B = 2 - 21/2 = -1/2 Dat geeft un = 21/2 • 2n - 1/2 • 4n |
|||
| b. | un = 21/2un
- 1 - un - 2 met
u0 = 1 en u1 = 20 De karakteristieke vergelijking wordt : g2 - 21/2g +1 = 0 (g - 2)(g - 1/2) = 0 g = 2 ∨ g = 1/2 Algemene oplossing: un = A • 2n + B • (1/2)n u0 = 1 geeft 1 = A + B ofwel B = 1 - A u1 = 20 geeft 20 = 2A + 1/2B 20 = 2A + 1/2(1 - A) 20 = 2A + 1/2 - 1/2A 191/2 = 11/2A A = 13 en dan is B = 1 - 13 = -12 Dat geeft un = 13 • 2n - 12 • (1/2)n |
||||
| c. | un = -9un-1
- 18un-2 met u0
= -4 en u1 = 3 De karakteristieke vergelijking wordt g2 + 9g + 18 = 0 (g + 3)(g + 6) = 0 g = -3 ∨ g = -6 Algemene oplossing: un = A • (-3)n + B • (-6)n u0 = -4 geeft A + B = -4 dus B = -4 - A u1 = 3 geeft 3 = -3A - 6B 3 = -3A - 6(-4 - A) 3 = -3A + 24 + 6A -21 = 3A A = -7 en dan is B = -4 - - 7 = 3 Dat geeft un = -7 • (3)n + 3 • (-6)n |
||||
| d. | un = -4un
-1 + 5un-2 met
u0 = 1 en u1 = 0 De karakteristieke vergelijking wordt: g2 + 4g - 5 = 0 (g - 1)(g + 5) = 0 g = 1 ∨ g = -5 Algemene oplossing: un = A • 1n + B • (-5)n u0 = 1 geeft 1 = A + B dus B = 1 - A u1 = 0 geeft 0 = A - 5B 0 = A - 5(1 - A) 0 = A - 5 + 5A 5 = 6A A = 5/6 en dan is B = 1 - 5/6 = 1/6 Dat geeft un = 5/6 • 1n + 1/6 • (-5)n |
||||
| 2. | a. | un = un - 1 + un - 2 met u0 = u1 = 1 | |||
| b | De karakteristieke
vergelijking wordt: g2 - g - 1 = 0 ABC-formule: g = (1 ±√(1 + 4))/2 = 1/2 ± 1/2√5 Algemene oplossing: un = A • (1/2 + 1/2√5)n + B • (1/2 - 1/2√5)n u0 = 1 geeft A + B = 1 dus B = 1 - A u1 = 1 geeft A • (1/2 + 1/2√5) + B • (1/2 - 1/2√5) = 1 A • (1/2 + 1/2√5) + (1 - A) • (1/2 - 1/2√5) = 1 A • (1/2 + 1/2√5) + (1/2 - 1/2√5) - A • (1/2 - 1/2√5) = 1 A • √5 = 1 - 1/2 + 1/2√5 A • √5 = 1/2 + 1/2√5 A = (½ + ½√5)/√5 = ½/√5 + 1/2 = 1/10√5 + 1/2 dan is B = 1 - A = -1/10√5 + 1/2 Dat geeft un = (1/10√5 + 1/2) • (1/2 + 1/2√5)n - (1/10√5 - 1/2) • (1/2 - 1/2√5)n |
||||
| 3. | un
= 0 • un - 1 + un-2 met u0
= 2 en u1 = 4 Karakteristieke vergelijking g2 - 1 = 0 g = 1 ∨ g = -1 Algemene oplossing: un = A • 1n + B • (-1)n u0 = 2 geeft 2 = A + B dus B = 2 - A u1 = 4 geeft 4 = A - B 4 = A - (2 - A) 4 = A - 2 + A 6 = 2A A = 3 en dan is B = 2 - 3 = -1 Dat geeft un = 3 • 1n - 1 (-1)n u2009 = 3 • 12009 - 1 • (-1)2009 = 3 - - 1 = 4 |
||||
| 4. | a. | un = aun-1 +
bun-2 De karakteristieke vergelijking wordt g2 - ag - b = 0 Als a + b = 1 dan is b = 1 - a en dan is de vergelijking g2 - ag - 1 + a = 0 g = 1 geeft 1 - a - 1 + a = 0 en dat klopt inderdaad. |
|||
| b. | Noem de twee
oplossingen van de karakteristieke vergelijking 1 en g Algemene oplossing: un = A • 1n + B • gn 1n = 1 voor elke n dus dat wordt un = A + B • gn |
||||
| c. | un = 1 + 3 • 2n
De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn kennelijk g = 1 en g = 3 (g - 1)(g - 3) = g2 - 4g + 3 Dat gaf als recursievergelijking un = 4un - 1 - 3un - 2 u0 = 1 + 3 • 20 = 4 en u1 = 1 + 3 • 21 = 7 Samen: un = 4un - 1 - 3un - 2 met u0 = 4 en u1 = 7 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||